Zaremba hipotézise

Zaremba sejtése a számelmélet állítása az irreducibilis törtek folyamatos törtekkel való ábrázolásáról : létezik egy abszolút állandó a következő tulajdonsággal: mert bármelyik létezik , amely kiterjesztésre [1] : $\lambda$ $q\geqslant 2$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\displaystyle {\frac {a}{q}}=[a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac { 1}{a_{2}+{\frac {1}{\pontok +{\frac {1}{a_{s)))))))))))))))

a következő egyenlőtlenségek állnak fenn:

a_{i}\leqslant \Lambda ,\ i=1,\dots ,s

A legerősebb megfogalmazás az önkényes értéket és a kellően nagy értéket tartalmazza . [2] . $\Lambda =5$ $q$ $\Lambda =3$ $q$

A hipotézist Stanisław Zaremba Jr. ( Pol. Stanisław Krystyn Zaremba ) állította fel 1972-ben. Kutatásában a fő áttörést Burgain és Kontorovich ( németül: Alex Kontorovich ) 2014-es írása adja, amelyben szinte minden számra bebizonyosodik a sejtés gyenge változata. Ezt követően eredményeik sokszorosan javultak.

Motiváció

Történelmileg a sejtés a numerikus integráció optimális módszerének keresése kapcsán merült fel a Monte Carlo-módszer szellemében . A hiányos hányadosok korlátozásán keresztül Zaremba megbecsülte a rács karakterisztikáját , amely leírja pontjainak minimális távolságát a koordináták középpontjától [3] . Számos szovjet matematikus is elgondolkodott ezen a sejtésen a numerikus integráció kapcsán, de ezt sehol sem közölték nyomtatott formában [4] .

Maga a problémafelvetés is a diofantusz közelítésekhez kapcsolódik . Egy tetszőleges valós szám törtével történő közelítéséhez a minőség kanonikus mértéke az a szám , amelyre vonatkozóan (minél nagyobb , annál jobb a közelítés). Ismeretes, hogy a racionálisakat a legjobban a konvergenseik közelítik meg , amelyekre a becslés ismert . Mivel tehát feltétel nélküli becslés jelenlétében az előző becslés nem lehet jobb, mint . Alulról is könnyű hasonló (akár konstans) becslést kapni, így Zaremba sejtése pontosan az irreducibilis , rosszul közelíthető , tetszőleges nevezőjű törtek létezésére vonatkozó állítás. [5] $\alpha$ ${\frac {p}{q))$ $c$ ${\displaystyle {\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p}{q))}{\Bigg \vert }={\frac {1}{cq^{2))))$ $c$ $\alpha$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{q_{n}q_ {n+1}}}$ ${\displaystyle q_{n+1}<(a_{n}+1)q_{n))$ $a_{n}\leqslant \Lambda$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{(\Lambda +1 )q_{n}^{2}}}$

Általánosítások

A hiányos hányadosok "ábécéi"

Gyakran felmerül egy általánosabb kérdés [6] : hogyan függenek az ábécétől (természetes számok véges halmazától) a tulajdonságok (nevezők halmazai , amelyekre vannak irreducibilis törtek a feltétellel )? Konkrétan, melyikhez tartozik a készlet majdnem az összes vagy az összes elég nagy méretű ? ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}\in {\mathcal {A}}$ $i=1,\dots ,s$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$

Hensley sejtése

Hensley 1996-ban megvizsgálta a hiányos hányadosokra vonatkozó korlátozások összefüggését a megfelelő törtek Hausdorff-dimenziójával , és felállított egy hipotézist, amelyet később megcáfoltak [7] :

A halmaz akkor és csak akkor tartalmazza az összes kellően nagy számot, ha ( az intervallum törteinek halmaza, amelynek minden parciális hányadosa az ábécében található , a Hausdorff-dimenzió. ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>{\frac {1}{2}}$ ${\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}$ $(0;1)$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}$

Az ellenpélda [8] az ábécére készült: ismert, hogy , de ugyanakkor . ${\mathcal {A}}=\{2,4,6,8,10\}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})\körülbelül 0{,}517$ $4k+3\not \in {\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$

Bourgain és Kontorovich ennek a sejtésnek egy gyengébb formáját javasolta, amelyben a nevezőket további korlátozásokkal. Ugyanakkor a sűrűségváltozatát erősebb megszorításra bizonyították, mint [9] . $d$ ${\frac {1}{2))$

A Hausdorff-dimenzió számítása

A Hausdorff-dimenzió kiszámításának kérdését az alakzatú ábécék esetében a diofantinus közelítések elmélete már jóval Zaremba sejtése előtt megvizsgálta, és nyilvánvalóan az 1928-as munkából származik [10] . Abban a cikkben, amelyben a sejtést javasolták, Hensley egy általános algoritmust írt le polinomiális futási idővel a következő eredmény alapján [11] : egy adott ábécé esetén néhány művelettel pontosan kiszámítható az érték . ${\mathcal {A}}=\{1,\dots ,N\}$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$ $2^{{-N}}$ $O(N^{7})$

Van egy olyan sejtés, hogy az ilyen dimenziók értékkészlete mindenhol sűrű. Számítógépes számításokból ismert, hogy a szomszédos elemei közötti távolság legalább nem kisebb [12] . $\{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}):|{\mathcal {A}}|\leqslant \infty \}$ ${\frac {1}{50}}$

Az egymást követő számokból álló ábécék esetében Hensley a következő becslést kapta:

\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots ,N\}})=1-{\frac {6}{\pi ^{2}N}} -{\frac {72\log N}{\pi ^{4}N^{2}}}+O\left({\frac {1}{N^{2}}}\jobbra)

Konkrétan megállapították, hogy:

\lim \limits _{N\to \infty }{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots ,N\}})}=1

Ezt a tényt lényegében felhasználták Bourgain és Kontorovich központi eredményének bizonyításakor [13] .

Promóciók

Gyenge pontos eredmények

Niederreiter bebizonyította a sejtést a kettes hatványaira és a három hatványaira mint [14] . $\Lambda =3$ $\Lambda =4$

Rukavishnikova a Korobov egyszerű eredményét kidolgozva kimutatta a létezést bármely törtre a feltétellel , ahol az Euler-függvény [15] . $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}<\varphi (q)\log q,\ i=1,\dots ,s$ $\varphi (q)$

Sűrűség eredmények

A legerősebb és legáltalánosabb Bourgain és Kontorovich eredménye:

|{\mathcal {D}}_{\{1,\dots ,50\}}\cap [1;N]|=Nem(N)

vagyis Zaremba paraméteres sejtése szinte minden számra igaz. Eredményük nem csak erre az ábécére vonatkozott, hanem a [16] feltételhez tartozó bármely másra is . Ezt követően az eredményüket javították a és a maradék tagra , ahol egy konstans [17] . $\Lambda =50$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0{,}98397$ $\Lambda =5$ ${\displaystyle N^{-c))$ $c>0$

Gyengébb kényszerek esetén ugyanez a módszer lehetővé teszi annak kimutatását, hogy a halmaz pozitív sűrűségű. Különösen a további fejlesztésekből ismert, hogy ez akkor igaz, amikor , beleértve a [18]-ra is . ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0,25({\sqrt {17}}-1)\körülbelül 0,7807...$ ${\mathcal {A}}=\{1,2,3,4\}$

Hausdorff-dimenziós határok

Hensley megmutatta, hogy ha , akkor . Később Bourgain és Kontorovich ezt az egyenlőtlenséget javította a helyett . [19] Később erősebb becsléseket kaptak az egyes értéktartományokra . Közelebbről ismert, hogy és -nél a kitevő egységre hajlik [20] . $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})=\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}\cap [1;N]|\gg N^{\delta }$ $\delta +{\frac {(2\delta -1)(1-\delta )}{5-\delta }}-o(1)$ $\delta$ $\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\{1,2,3,5\}}\cap [1;N]|\gg N^{0.99}$ $\delta \to {\frac {{\sqrt {40}}-4}{3}}\kb. 0,7748...$

Az egyik vagy másik ábécén belüli törtek teljes száma, amelynek nevezője nem haladja meg a , legfeljebb egy állandót, [21] . $N$ ${\displaystyle N^{2\delta ))$

Moduláris verzió

Hensley azt találta, hogy a Zaremba-hipotézist kielégítő törtek nevezői egyenletes eloszlásúak (a multiplicitás figyelembevételével) modulo . [22] Ez különösen azt jelenti, hogy léteznek olyan törtek, amelyeknek a nevezője nulla (és bármely más érték) egy vagy másik modulo.

Hensley (1994) eredményének következménye: bármelyikre létezik olyan függvény , hogy bármelyikre : létezik egy irreducibilis tört , amelynek nem teljes hányadosait határolja . $\Lambda \geq 2$ $q=q_{\Lambda }(n)\equiv 0{\pmod {n))$ $n$ ${\frac {a}{q))$ $\lambda$

Ebben az esetben ez az állítás egyenértékű lenne Zaremba sejtésével. Később a prímszámokra becsléseket kaptunk a szélsőséges esetekben a növekedési rátáról: $q_{\Lambda }(n)=n$ $n$ $q_{\Lambda }(n)$

valamilyen állandóra igaz, hogy [23] ; $c$ $q_{2}(n)=O(n^{c})$

Bármelyikhez létezik elég nagy , hogy [24] . $\varepsilon >0$ $\lambda$ $q_{\Lambda }(n)=O(n^{1+\varepszilon })$

Kutatási módszerek

A Bourgain és Kontorovich tanulmányáig visszanyúló modern módszerek figyelembe veszik a Zaremba-sejtést a 2x2-es mátrixok nyelvén, és tanulmányozzák a mátrixcsoportok megfelelő tulajdonságait . A konvergensek aránya miatt a bővítés felírható mátrixok szorzataként: ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$

{\begin{pmatrix}*&a\\*&q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\ 1&a_{2}\end{pmatrix}}\dots {\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{s}\end{pmatrix}}\

ahol az első mátrixban szereplő csillagok zárják azokat a számokat, amelyek értéke nem lényeges.

Ettől vezérelve tanulmányozzuk a következő alakú mátrixok által generált csoportot:

{\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}0&1\\1&a'\end{pmatrix)),\ a,a'\in {\mathcal {A} }

a benne lévő mátrixok jelenlétére, amelyek egyik vagy másik értéke a jobb alsó pozícióban van. Az ilyen értékek eloszlásának elemzésére trigonometrikus összegeket használnak , nevezetesen a Fourier-együtthatók speciális analógjait [25] .

Az ilyen eszközök használata, valamint a szorzathalmazokkal való tényleges munka ( ahol a halmaz elemei mátrixok) aritmetikai-kombinatorikus jelleget ad a feladatnak.

Jegyzetek

↑ A folytonos törtek általános elmélete szerint egy ilyen bővítés egyedülálló.
↑ Borosh, Niederreiter, 1983 , p. 69
↑ Niederreiter, 1978 , p. 988-989, lásd még a „jó rácspontok” fogalmának leírását a oldalon. 986
↑ Kan, Frolenkov, 2014 , p. 88
↑ Korobov, 1963 , p. 25, 5. lemma
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , 1. rész
↑ Hensley, 1996 , p. 16, 3. hipotézis
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , lásd az 1.3-as sejtést és az azt követő megjegyzést
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , 1.7. sejtés, 1.8. tétel
↑ Lásd a második bekezdést: Good, 1941
↑ Hensley, 1996 , p. 44, 3. tétel
↑ Jenkinson, 2004 , lásd a 4. részt a számítási eredmények áttekintéséért, az 5. részben pedig az értékek sűrűségeloszlásával kapcsolatos eredményeket $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , 1.11. jegyzet
↑ Niederreiter, 1986 .
↑ Moshchevitin, 2012 , p. 23. cikk 5.1
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , 1.20. jegyzet
↑ Magee, Ó, tél, 2019 , p. 92.
↑ Kahn, 2017 .
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , megjegyzés 1.15, tétel 1.23
↑ Kahn, 2020 , lásd ugyanott az egyéb értékek eredményeinek áttekintését $\delta$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , 1.13. jegyzet
↑ Hensley, 1994 , p. 54, 3. következmény.
↑ Moscsevitin, Shkredov, 2019 , 2. tétel
↑ Shkredov, 2020 , 5. tétel
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , p. 142-144

Irodalom

I. J. Jó. A folytonos törtek töredimenziós elmélete // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1941. - 1. évf. 37 , iss. 3 . — P. 199–228 .
N. M. Korobov. Számelméleti módszerek közelítő elemzésben. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 224 p.
H. Niederreiter. Kvázi-Monte Carlo módszerek és pszeudo-véletlen számok (angol) // Bull. amer. Math. Soc.. - 1978. - 1. évf. 84 , iss. 6 . — P. 957–1041 .
I. Borosh & H. Niederreiter. Optimális szorzók pszeudo-véletlen számgeneráláshoz lineáris kongruenciális módszerrel // BIT Numerical Mathematics. - 1983. - 1. évf. 23 . — P. 65–74 .
H. Niederreiter. Diadikus törtek kis parciális hányadosokkal // Monatshefte für Mathematik. - 1986. - 1. évf. 101 . — P. 309–315 .
D. Hensley. A korlátos parciális hányadosokkal rendelkező törtek eloszlási módja $n$ // Pacific Journal of Mathematics. - 1994. - 1. évf. 166 , iss. 1 . — P. 43–54 .
D. Hensley. Polinom idő algoritmus a folytonos törtkántorhalmazok Hausdorff-dimenziójához // Journal of Number Theory. - 1996. - 1. évf. 58 , iss. 1 . — P. 9–45 .
Ó, Jenkinson. A korlátos típusú törthalmazok Hausdorff-dimenzióinak sűrűségéről: a texasi sejtés // Sztochasztika és dinamika. - 2004. - 20. évf. 4 , iss. 1 . — P. 63–76 .
NG Moshchevitin. Néhány nyitott problémáról a diofantinus közelítésben . - 2012. - arXiv : 1202.4539v5 .
J. Bourgain, A. Kontorovich. Zaremba sejtéséről // Annals of Mathematics. - 2014. - Kt. 180 . - P. 137-196 . - arXiv : 1107.3776v2 .
I. D. Kan, D. A. Frolenkov. A Burgain–Kontorovich-tétel erősítése // Izvesztyija RAN. - 2014. - T. 78 , sz. 2 . – 87–144 . (Orosz)
I. D. Kan. A Bourgain–Kontorovich-tétel erősítése. V // A Steklov Matematikai Intézet közleményei. - 2017. - T. 296 . – 133–139 . (Orosz)
M. Magee, H. Ó, D. Winter. A Schottky-félcsoportok egységes kongruenciája számolása $SL_{2}({\mathbb {Z} })$ // Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) . - 2019. - 1. évf. 2019 , sz. 753 . — P. 89–135 . - arXiv : 1601.03705 .
NG Moshchevitin, azonosító Shkredov. Zaremba sejtésének moduláris formáján . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .
I. D. Kan. Egy Bourgain-Kontorovich tétel megerősítése // Far Eastern Mathematical Journal. - 2020. - 20. évf . 2 . – S. 164–190 . (Orosz)
Shkredov azonosító. Növekedés a Chevalley csoportokban a parabolikus alcsoportokhoz és egyes alkalmazásokhoz képest . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .