Kupola (geometria)
| Ötszögletű kupola (példa) | |
|---|---|
| Típusú | Sok kupola |
| Schläfli szimbólum | { n } || t{ n } |
| arcok | n háromszög , n négyzet , 1 n - gon , 1 2 n - gon |
| borda | 5n _ |
| Csúcsok | 3n _ |
| Szimmetria csoport | C n v , [1, n ], (* nn ), 2n sorrend |
| Rotációs csoport | C n , [1, n ] + , ( nn ), n |
| Kettős poliéder | ? |
| Tulajdonságok | konvex |
A kupola két sokszög összekapcsolásával kialakított test , amelyben az egyiknek (alapnak) kétszer annyi oldala van, mint a másiknak (a felső felületnek). A sokszögeket egyenlő szárú háromszögek és téglalapok kötik össze . Ha a háromszögek szabályosak és a téglalapok négyzetek , míg az alap és a csúcs szabályos sokszögek , a kupola egy Johnson poliéder . Ezeket a három- , négy- és ötlejtős kupolákat a kuboktaéder , a rombikuboktaéder és a rombikozidodekaéder metszeteinek felvételével kaphatjuk meg.
A kupola prizmának tekinthető , ahol az egyik sokszög félig összehúzódik a csúcsok páros összekapcsolásával.
A kupolához hozzárendelhető a kiterjesztett Schläfli szimbólum { n } || t{ n } egy szabályos sokszöget jelölő {n}, amely a párhuzamos csonka másolatához kapcsolódik, t{n} vagy {2n}.
A kupolák a prizmatoidok egy alosztálya .
Példák
| n | 2 | 3 | négy | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Név | {2} || t{2} | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} |
| kupola | Átlós kupola |
Három lejtős kupola |
Négyszögű kupola |
öt lejtős kupola |
Hatszögletű kupola (lapos) |
| Rokon egységes poliéderek |
háromszög prizma   
|
Cuboctahedron
|
Rhombicubo- oktaéder 
|
Rhombicos dodekaéder 
|
Rhombotry – hatszögletű mozaik 
|
A fent említett három poliéder nem triviális konvex kupola, szabályos lappal. A „ hatszögletű kupola” egy lapos figura, a háromszög alakú prizma pedig 2. fokú „kupolának” (szegmens és négyzet kupola). A sok sokszög oldalú kupolák azonban csak szabálytalan három- és téglalap alakú lapokkal építhetők.
Csúcskoordináták
A kupola meghatározása nem követeli meg az alap és a felső felület helyességét, de célszerű figyelembe venni azokat az eseteket, amikor a kupolák szimmetriája maximális, C n v . Ebben az esetben a felső lap egy szabályos n -gon, míg az alap egy szabályos 2n -gon, vagy egy 2n -gon két különböző oldalhosszúsággal (egyen át) és ugyanolyan szögekkel, mint egy szabályos 2n -gon . A kupolát célszerű úgy elhelyezni a koordinátarendszerben, hogy az alapja az xy síkban legyen úgy, hogy a felső felület párhuzamos ezzel a síkkal. A z tengely egy n rendű szimmetriatengely , a tükörsíkok ezen a tengelyen haladnak át, és felezik az alap oldalait. Ezenkívül kettévágják a felső felület oldalait vagy sarkait, vagy mindkettőt. (Ha n páros, a tükrök fele felezi az oldalakat, a fele pedig a sarkokat. Ha n páratlan, minden tükör kettévágja a felső lap egyik oldalát és egyik sarkát.) Az alap csúcsait V 1 -től számokkal számozzuk. V 2 n , és a felső lapok csúcsai - V 2 n +1 és V 3 n közötti számok . A csúcskoordinátákat ezután a következőképpen írhatjuk fel:
- V 2 j −1 : ( r b cos[2π( j − 1) / n + α], r b sin[2π( j − 1) / n + α], 0)
- V 2 j : ( r b cos(2π j / n − α), r b sin(2π j / n − α), 0)
- V 2 n + j : ( r t cos(π j / n ), r t sin(π j / n ), h ),
ahol j = 1, 2, …, n .
Mivel a V 1 V 2 V 2 n +2 V 2 n +1 stb. sokszögek téglalapok, az r b , r t és α értékére korlátozások vonatkoznak. Távolság V 1 V 2 van
r b {[cos(2π / n − α) − cos α] 2 + [sin(2π / n − α) − sin α] 2 } 1 ⁄ 2 = r b {[cos 2 (2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos 2 α] + [sin 2 (2π / n − α) − 2sin(2π / n − α) sin α + sin 2 α]} 1 ⁄ 2 = r b {2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]} 1 ⁄ 2 = r b {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2a V 2 n +1 V 2 n +2 távolság pedig az
r t {[cos(π / n ) − 1] 2 + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {[cos 2 (π / n ) − 2cos(π / n ) + 1] + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2 .Egyenlőnek kell lenniük, tehát ha ennek a közös élnek s hosszúságú ,
r b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2 r t = s / {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2És ezeket az értékeket be kell cserélni a csúcsok fenti képleteire.
Csillagkupolák
| n / d | négy | 5 | 7 | nyolc |
|---|---|---|---|---|
| 3 | {4/3} |
{5/3} |
{7/3} |
{8/3} |
| 5 | — | — | {7/5} |
{8/5} |
| n / d | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|
| 2 | Keresztezett háromszög kupola |
pentagram kupola |
Heptagram kupola |
| négy | — | Keresztezett pentagram kupola |
Keresztezett heptagram kupola |
Csillagkupolák léteznek minden { n / d } alapra, ahol 6 / 5 < n / d < 6 és d páratlan. A határokon kupolák lapos alakokká változnak. Ha d páros, akkor az alsó {2 n / d } alap elfajul – kupolát vagy félkupolát alkothatunk, ha eltávolítjuk ezt a degenerált lapot, és hagyjuk, hogy háromszögek és négyzetek kapcsolódjanak egymáshoz. Különösen a tetrahemihexaéder tekinthető {3/2}-kupolának. Minden kupola orientált , míg az összes kupola tájolatlan. Ha n / d > 2 egy kupola esetében, a háromszögek és négyzetek nem fedik le a teljes alapot, és egy kis membrán marad az alapon, amely éppen a lyukat fedi. Így a fenti ábrán látható {5/2} és {7/2} kupoláknak van membránja (nem töltve), míg az {5/4} és {7/4} kupoláknak nincs.
A kupola { n / d } vagy kupola h magasságát a képlet adja meg . Pontosabban, h = 0 az n / d = 6 és n / d = 6/5 határokon, és h a legnagyobb, ha n / d = 2 (egy háromszög alakú prizma, ahol a háromszögek függőlegesek) [1] [2] .
A fenti képeken a csillagkupolák színekkel hangsúlyozzák arcukat - az n / d - gon arc pirossal, a 2 n / d - gon arc sárgával, a négyzetek kékkel, és a háromszögek zöldek. A kupolák piros n / d -szögletes felülettel, sárga négyzet alakú felülettel és kékre festett háromszög alakú felülettel rendelkeznek, míg a második alapot eltávolították.
Hyperdomes
A hiperdóm vagy poliéder kupolák a kupolákhoz hasonló domború, nem egységes négydimenziós poliéderek családja. Minden ilyen poliéder alapja egy szabályos poliéder (háromdimenziós) és ennek kiterjesztése [3] .
A táblázat a Segmentochora fogalmát használja – ez az ábra a következő tulajdonságoknak felel meg:
1. minden csúcs ugyanazon a hipergömbön van 2. minden csúcs két párhuzamos hipersíkon van 3. minden él hossza 1A síkban két szegmensszög (szegmentogon) található - egy szabályos háromszög és egy négyzet.
A 3-dimenziós térben piramisok, prizmák, antiprizmák, kupolák.
| Név | Tetraéder kupola | Cubic Dome | Oktaéder kupola | Dekaéder kupola | Hatszögletű mozaik kupola | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Schläfli szimbólum | {3,3} ∨ rr{3,3} | {4,3} ∨ rr{4,3} | {3,4} ∨ rr{3,4} | {5,3} ∨ rr{5,3} | {6,3} ∨ rr{6,3} | |||||
Szegmentált arcindex [ 3] |
K4.23 | K4.71 | K4.107 | K4.152 | ||||||
A körülírt kör sugara |
egy | négyzet((3+sqrt(2))/2) = 1,485634 |
sqrt(2+sqrt(2)) = 1,847759 |
3+sqrt(5) = 5,236068 |
||||||
| Kép | ||||||||||
| Fő sejtek | ||||||||||
| Csúcsok | 16 | 32 | harminc | 80 | ∞ | |||||
| borda | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞ | |||||
| arcok | 42 | 24 {3} + 18 {4} | 80 | 32 {3} + 48 {4} | 82 | 40 {3} + 42 {4} | 194 | 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} | ∞ | |
| sejteket | 16 | 1 tetraéder 4 háromszög prizma 6 háromszög prizma 4 háromszög prizma 1 koboktaéder |
28 | 1 kocka 6 négyzet prizma 12 háromszög prizma 8 háromszög alakú piramis 1 rombikubotaéder |
28 | 1 oktaéder 8 háromszög prizma 12 háromszög prizma 6 négyzet alakú piramis 1 rombikubotaéder |
64 | 1 dodekaéder 12 ötszögű prizma 30 háromszög prizma 20 háromszög alakú piramis 1 rombikozidodekaéder |
∞ | 1 hatszögletű burkolólap ∞ hatszögletű prizma ∞ háromszög prizma ∞ háromszög gúla 1 rombusz alakú háromszögletű burkolat |
| Kapcsolódó egységes 4- poliéder |
5-cellás rangsorolt
|
Rangsorolt Tesseract
|
Rangsorolt 24 cellás
|
Rangsorolt 120 cella
|
Ranked Hexagonal Mosaic Honeycomb
| |||||
Jegyzetek
- ↑ kupolák . Letöltve: 2015. november 18. Az eredetiből archiválva : 2021. június 3.
- ↑ félkupolák . Letöltve: 2015. november 18. Az eredetiből archiválva : 2021. április 13.
- ↑ 12 Klitzing, 2000 , pp. 139-181.
Irodalom
- NW Johnson . Konvex poliéder szabályos arcokkal // Kanada. J Math. - 1966 .. - Kiadás. 18 . — S. 169–200 .
- Dr. Richard Klitzing. Konvex Segmentochora. — Szimmetria: kultúra és tudomány. - 2000. - T. 11. - S. 139-181.
Linkek
- Weisstein, Eric W. Cupola (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
- Szegmentotópok