A csillag alakú poliéder ( csillagtest ) egy nem konvex poliéder , amelynek lapjai metszik egymást. A nem csillagozott poliéderekhez hasonlóan a lapok párokban kapcsolódnak az élekhez (ebben az esetben a belső metszésvonalak nem tekinthetők éleknek).
A poliéder csillagalakja egy olyan poliéder, amelyet úgy kapunk, hogy egy adott poliéder lapjait éleken keresztül meghosszabbítjuk, amíg a következő metszéspontjuk nem lesz más lapokkal az új élek mentén.
A szabályos csillagpoliéderek olyan csillagpoliéderek, amelyek lapjai azonos ( kongruens ) szabályos vagy csillagsokszögek . Ellentétben az öt klasszikus szabályos poliéderrel ( platóni testek ), ezek a poliéderek nem konvex szilárdtestek.
1811 -ben Augustin Lou Cauchy megállapította, hogy csak 4 szabályos csillagtest létezik (ezeket Kepler-Poinsot-testeknek nevezik ), amelyek nem platóni és csillagtestek vegyületei. Ezek közé tartozik a Johannes Kepler által 1619 -ben felfedezett kis csillagos dodekaéder és a nagy csillagos dodekaéder , valamint a Louis Poinsot által 1809 -ben felfedezett nagy dodekaéder és nagy ikozaéder . A fennmaradó szabályos csillagozott poliéderek vagy a platóni szilárdtestek vegyületei, vagy a Kepler-Poinsot szilárdtestek vegyületei [1] .
A félig szabályos csillagpoliéderek olyan csillagpoliéderek, amelyek lapjai szabályosak vagy csillagsokszögek , de nem feltétlenül ugyanazok. Ebben az esetben az összes csúcs szerkezetének azonosnak kell lennie (homogenitási feltétel). G. Coxeter , M. Longuet-Higgins és J. Miller 1954-ben 53 ilyen testületet sorolt fel, és hipotézist állított fel listájuk teljességére vonatkozóan [2] . Sopov S.P.-nek csak jóval később, 1969 -ben sikerült bebizonyítania, hogy az általuk bemutatott poliéderek listája valóban teljes.
A csillag alakú poliéderek számos formáját maga a természet javasolja. Például a hópelyhek a csillagozott poliéderek lapos vetületei. Egyes molekulák a háromdimenziós alakzatok megfelelő szerkezetével rendelkeznek.
Ezeken az ábrákon minden arc a saját színével van festve a szépség és a tisztaság érdekében.
Egységes poliéderek - szabályos és félszabályos konvex poliéderek (platoni és arkhimédeszi testek); a szabályos és félszabályos csillagpoliédereket összefoglalóan egységes poliédereknek nevezzük. Ezeknél a testeknél minden lap szabályos sokszög (konvex vagy csillag alakú), és minden csúcsa azonos (vagyis vannak egy poliéder ortogonális transzformációi önmagába, és bármely csúcsot áthelyeznek egy másikba). Pontosan 75 egységes poliéder létezik.
A tetraédernek és a hexaédernek ( kockának ) nincs csillagalakja, mivel lapjaik már nem metszik egymást, ha éleken átnyúlnak.
Az oktaédernek csak egy csillagképe van . A csillag alakú oktaédert Leonardo da Vinci fedezte fel , majd csaknem 100 évvel később I. Kepler fedezte fel újra, és ő nevezte el Stella octangula - nyolcszögletű csillagnak. Ezért ennek a formának van egy második neve is: "Kepler stella octangula"; valójában két tetraéder vegyülete .
A dodekaédernek 3 csillagképe van: kis csillagú dodekaéder , nagy dodekaéder , nagy csillagú dodekaéder (csillagozott nagy dodekaéder, végső forma). Az oktaédertől eltérően a dodekaéder bármelyik csillagképe nem a platóni szilárdtestek vegyülete , hanem egy új poliédert alkot.
A nagy dodekaéder lapjai ötszögek, amelyek minden csúcsban öttel találkoznak. A kis csillagozott és nagy csillagozott dodekaédereknek van arcuk - ötágú csillagok (pentagramok), amelyek az első esetben 5-tel, a másodikban pedig 3-mal konvergálnak egy csúcsban.
A nagy csillagozott dodekaéder csúcsai egybeesnek a körülírt dodekaéder csúcsaival.
Az ikozaédernek 59 csillagképe van, ebből 32 teljes, 27 pedig hiányos ikozaéder szimmetriájú, amit Coxeter Duval, Flazerrel és Petrie-vel együtt a J. Miller által felállított korlátozási szabályokkal igazolt. Ezen csillagképek egyike (20., Wenninger szerint 41-es modell), amelyet nagy ikozaédernek neveznek (lásd az ábrát), egyike a négy szabályos Kepler-Poinsot csillagrendszerű poliédernek . Lapjai szabályos háromszögek, amelyek minden ötös csúcsnál összefolynak; ezen a tulajdonságon a nagy ikozaéder osztozik az ikozaéderrel.
A csillagformák között vannak még: öt oktaéderből álló vegyület, öt tetraéderből álló vegyület, tíz tetraéderből álló vegyület . Az első csillagkép a kis triambikus ikozaéder .
Ha az egyes arcokat a végtelenségig folytatjuk, akkor a testet sokféle rekesz veszi körül – az arcok síkjai által határolt térrészek. Az ikozaéder összes csillagozott formája megkapható, ha ilyen rekeszeket adunk az eredeti testhez. Magán az ikozaéderen kívül lapjainak nyúlványait 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 , tíz különböző alakú és méretű rekesz választja el a tértől. A nagy ikozaéder ezekből a darabokból áll, kivéve az utolsó hatvan darabot. A következő csillagforma az utolsó.
A kuboktaédernek 4 csillagképe van, amelyek megfelelnek a Miller által bevezetett korlátozásoknak. Ezek közül az első egy kocka és egy oktaéder kombinációja.
Az ikozidodekaédernek sok csillagképe van, amelyek közül az első az ikozaéder és a dodekaéder vegyülete.
Az ikozidodekaédernek 32 lapja van, ebből 12 szabályos ötszögletű lap, a maradék 20 pedig szabályos háromszög.
A csillagkép arra a folyamatra utal, amikor egy poliédert egy másik poliéderből készítenek a lapjainak kiterjesztésével. Ehhez síkokat rajzolunk át az eredeti poliéder lapjain, és figyelembe veszik az ezen síkok metszéspontjaként kapott összes lehetséges élt, és kiválasztják a megfelelőeket [4] .
A kocka és a tetraéder nem teszi lehetővé a csillagképezést. Az oktaédernek egyetlen szerkezete van - a csillagozott oktaéder . A dodekaéder három csillagformát ad.
| Az ikozaéder csillagformái | |
|---|---|
| |