Poliéderek kapcsolata

A poliéderek vegyületei olyan alakzatok, amelyek néhány poliéderből állnak, amelyeknek közös középpontja van. A kapcsolatok a sokszögű kapcsolatok , például a hexagram háromdimenziós megfelelői .

Egy kapcsolat külső csúcsai összekapcsolhatók egy konvex poliéder , az úgynevezett konvex hajótest kialakításával . A csatlakozás a domború hajótest egyik oldala .

A vegyületen belül egy kisebb domború poliéder képződik a vegyület összes tagjának közös részeként. Ezt a poliédert a csillagpoliéderek magjának nevezik .

Megfelelő csatlakozások

A reguláris poliéder kapcsolatok olyan kapcsolatokként definiálhatók, amelyek a szabályos poliéderekhez hasonlóan csúcstranzitív [en] , éltranzitív és homloktranzitív [ . A poliédereknek öt szabályos kapcsolata van.

A legismertebb a két tetraéder vegyülete . Kepler ezt a vegyületet latinul stella octangula -nak (csillagozott oktaédernek) nevezte. A két tetraéder csúcsai egy kockát határoznak meg , metszéspontjuk pedig egy oktaéder , amelynek lapjai ugyanazon a síkon fekszenek, mint az alkotó tetraéderek lapjai. Így a konjunkció az oktaéder csillagának redukciója, és valójában annak egyetlen lehetséges redukciója.

A csillagozott oktaéder kettős szabályos vegyületként is felfogható.

Az öt tetraéderből álló vegyületnek két tükörváltozata van, amelyek együtt tíz tetraéderből álló vegyületet adnak. A tetraéderek összes vegyülete önkettős, és az öt kockából álló vegyület kettős az öt oktaéder vegyületével.

Kettős vegyületek

A kettős vegyület egy poliéder és duálisának vegyülete, amelyek egymással szemben helyezkednek el egy közös beírt vagy félig beírt gömbhöz képest úgy, hogy az egyik poliéder éle metszi a kettős poliéder kettős élét. A szabályos poliédereknek öt ilyen vegyülete van.

A tetraéder önduális, így a tetraéder kettős vegyülete a duálisával egyben csillagoktaéder is.

A kocka-oktaéder és dodekaéder-ikozaéder kettős vegyület a kuboktaéder és az ikozidodekaéder csillagredukciói .

A kis csillagos dodekaéder és a nagy dodekaéder együttállása kívülről ugyanarra a kis csillagos dodekaéderre hasonlít, mivel a nagy dodekaéder teljes egészében benne van. Emiatt a fenti kis csillag alakú dodekaéder képe drótvázként jelenik meg.

Homogén vegyületek

1976-ban John Skilling kiadta az Uniform Compounds of Uniform Polyhedra [1] című kiadványt , amelyben 75 vegyületet sorolt ​​fel (köztük 6 végtelen hasábszerű vegyülethalmazt, #20-25), amelyeket az egyenletes poliéderekből forgatással nyertek. (Minden csúcs vertex-tranzitív .) A lista öt szabályos politóp vegyületet tartalmaz a fenti listából. [egy]

Ezt a 75 homogén vegyületet az alábbi táblázat sorolja fel. A legtöbb vegyületben a különböző színek különböző összetevőknek felelnek meg. Néhány királis pár tükörszimmetria szerint színezett.

• 1-19: Keverék (4,5,6,9,17 az öt helyes vegyület )

• 20-25: Prizmaszimmetria diéderszimmetriába ágyazva a 3D térben ,

• 26-45: Prizmaszimmetria oktaéderes vagy ikozaéderes szimmetriában,

• 46-67: Tetraéder szimmetria oktaéderes vagy ikozaéderes szimmetriában,

• 68-75: enantiomorf párok

Egyéb kapcsolatok

• Három oktaéder összekapcsolása
• Négy kocka csatlakoztatása

Két poliéder, amelyek vegyületek, de elemeiket szigorúan egy kis összetett ikozidodekaéder (egy ikozidodekaéder és egy nagy dodekaéder vegyülete ) és egy nagy összetett ikozidodekaéder (egy kis csillag dodekaéder vegyülete) zárja be. és egy nagy ikozaéder ). Ha elfogadjuk a homogén poliéder általánosított definícióját, akkor homogének lesznek.

A Skilling listáján szereplő entianomorf párok szakasza nem tartalmaz két nagy snub dodecicosidodekaédert , mert a pentagram lapjai egybeesnek. Az egyező lapok eltávolítása húsz oktaéder összekapcsolását eredményezi .

Négydimenziós kapcsolatok

A négydimenziós térben nagyszámú szabályos poliéder szabályos kapcsolata van. Coxeter felsorolt ​​néhányat a Regular Polyhedra [2] című könyvében .

Önkettős:

Kettős párok:

Homogén kapcsolatok konvex négydimenziós poliéderekkel:

Kettős pozíció:

Szabályos csillag négydimenziós poliéderek kapcsolata

Önálló kettős csillag csatlakozások:

A csillagok kettős párja:

Csillagok homogén vegyületei :

Csoportelmélet

A csoportelmélet szempontjából , ha G a politópok vegyületének szimmetriacsoportja, és a csoport tranzitív módon hat egy politópra (tehát bármely politóp lehet bármely másikban, mint a homogén vegyületekben), akkor ha H az egyik kiválasztott vegyület stabilizátora . politóp, a politópokat a G / H pálya határozhatja meg .

Mozaikok összekapcsolása

Az euklideszi síkban tizennyolc kétparaméteres szabályos csempekapcsolat-család található. Öt egyparaméteres család és tizenhét elszigetelt csempézés ismert hiperbolikus térben, de a lista nem teljes.

A 2 { p , p } euklideszi és hiperbolikus családok (4 ≤ p ≤ ∞, p egész szám) hasonlóak a gömb alakú oktaéderekhez , 2 {3,3}.

A szabályos euklideszi méhsejt-kapcsolatok jól ismert családja az ötödik és nagyobb dimenziójú terekben a hiperbolikus méhsejt végtelen családja , amelyeknek közös csúcsai és lapjai vannak. Egy ilyen kapcsolatnak tetszőleges számú cellája lehet.

Vannak kettős-szabályos csempézési csatlakozások is. Egy egyszerű példa a hatszögletű burkolólap E 2 csatlakozása és a kettős háromszögletű burkolás . Két hiperbolikus méhsejt euklideszi kapcsolata szabályos és duálisan szabályos.

Jegyzetek

1. ↑ Skilling, 1976 , p. 447–457.
2. ↑ Coxeter, 1973 , p. 305, VII. tábla.
3. ↑ Richard Klitzing, Egységes vegyület Csillagozott ikozaéder archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél
4. ↑ Richard Klitzing, Uniform összetett Demidistesseract Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél
5. ↑ Richard Klitzing, Egységes keverék, kettős elrendezésű 24 cellás archiválva : 2016. április 2. a Wayback Machine -nél

Irodalom

• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 . - doi : 10.1017/S0305004100052440 . .
• P. Cromwell. Poliéder. - Egyesült Királyság: Cambridge, 1997. - 79–86. o. Archimédeszi szilárdtestek . - ISBN 0-521-55432-2 .
• Magnus Weninger. Kettős modellek . - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - P.  51-53 . .
• Michael G Harman Többéderes vegyületek. - kiadatlan kézirat, 1974. .
• Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. - 1876. - T. 11. - S. 5–97.
• HSM Coxeter . 8. fejezet: Csonkolás // Szabályos politópok . — 3. kiadás. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .

• Anthony Pugh. Poliéder: vizuális megközelítés. - Kalifornia: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . 87. oldal Öt szabályos vegyület

Külső linkek

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Összetett poliéderek – a Virtual Reality Polyhedra-ból
  • Az egységes poliéderek egységes vegyületei
• Skilling 75 egységes vegyülete az egységes poliéderekből
• Skilling egységes poliédereinek egységes vegyületei
• Többéderes vegyületek
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Kis csillagú dodekaéder és nagy dodekaéder vegyülete {5/2,5}+{5,5/2}