Tetraéder szimmetria

Involúciós szimmetriák C s , (*) [ ] =	Ciklikus szimmetria C nv , (*nn) [n] =	Diéder szimmetria D nh , (*n22) [n,2] =
Politóp csoportok , [n,3], (*n32)
Tetraéder szimmetria T d , (*332) [3,3] =	Oktaéder szimmetria O h , (*432) [4,3] =	Ikozaéder szimmetria I h , (*532) [5,3] =

Egy szabályos tetraédernek 12 forgási (orientációmegőrző) szimmetriája és 24-es rendű [ szimmetriája van, amelyek a visszaverődések és az elforgatások kombinációját foglalják magukban.

Az összes szimmetria csoportja izomorf az S 4 csoporttal , a négy elemből álló szimmetrikus permutációs csoporttal, mivel a tetraéder csúcsainak minden permutációjára pontosan egy ilyen szimmetria létezik. Az orientációmegőrző szimmetriák halmaza egy csoportot alkot, amely az S 4 csoport A 4 váltakozó alcsoportja .

Részletek

A királis és a teljes (vagy az akirális tetraéder szimmetria és a piritoéder szimmetria ) diszkrét pontszimmetriák (vagy ezzel egyenértékű szimmetriák egy gömbön ). A köbös szigonia krisztallográfiai szimmetriacsoportjaiba tartoznak .

A sztereografikus vetítésben a tetrakisexaéder élei 6 kört (vagy központi sugárirányú vonalat) alkotnak a síkon. Ezen körök mindegyike tetraéderes szimmetriájú tükröt képvisel. E körök metszéspontja 2-es és 3-as rendű forgáspontokat ad.

ortogonális vetítés	Sztereografikus vetítés
	4-szeres	3x	2-szeres
Királis tetraéder szimmetria, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Piritoéder szimmetria, T h , (3*2), [4,3 + ],
Akirális tetraéder szimmetria, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Királis tetraéder szimmetria

T , 332 , [3,3] + vagy 23 12-es rendű - királis vagy rotációs tetraéderes szimmetria . Három merőleges 2-szeres forgástengely létezik, mint például a királis diéderszimmetria D 2 vagy 222, és négy további háromszoros tengely. Ez a csoport izomorf az A 4 -gyel , amely 4 elemből álló váltakozó csoport . Valójában eznégy, háromszoros tengely páros permutációinak csoportja: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12) (34), (13) (24), (14) (23).

A T konjugáltsági osztályai a következők:

• identitás
• 4 × 120°-os elforgatás az óramutató járásával megegyező irányban (felülről nézve): (234), (143), (412), (321)
• 4 × 120°-os forgatás az óramutató járásával ellentétes irányban (ugyanaz)
• 3 × 180°-os elforgatás

A 180°-os elforgatások az azonosságtranszformációval együtt egy Dih 2 típusú normál alcsoportot alkotnak egy Z 3 típusú faktorcsoporttal . Ez utóbbi három eleme az azonos transzformáció, az "óramutató járásával megegyező forgás" és az "óramutató járásával ellentétes forgatás", amely három merőleges 2-szeres tengely permutációjának felel meg az orientáció megőrzése mellett.

A 4 a legkisebb csoport, amely azt mutatja, hogy a Lagrange-tétel fordítottja általában nem igaz – adott egy véges G csoport és a szám d osztója | G |, a G csoportnak nincs szükségszerűen d -rendű alcsoportja - a G = A 4 ​​csoportnak nincs 6-os rendű alcsoportja.

A királis tetraéderes szimmetria alcsoportjai

Shen gyapjú	Coxeter		Orbifold [ hu	G-M	Szerkezet	Ciklusok	Rendelés	Index
T	[3,3] +	=	332	23	A4_ _		12	egy
D2_ _	[2,2] +	=	222	222	Dih 2		négy	3
C3_ _	[3] +		33	3	Z3_ _		3	négy
C2_ _	[2] +		22	2	Z2_ _		2	6
C1_ _	[ ] +		tizenegy	egy	Z1_ _		egy	12

Akirális tetraéder szimmetria

T d , *332 , [3,3] vagy 4 3m 24-es rendű akirális vagy teljes tetraéder szimmetria , más néven háromszögcsoport (2,3,3). Ennek a csoportnak ugyanazok a forgástengelyei vannak, mint a T-nek, de hat tükörszimmetriasíkkal halad át minden háromszoros tengelypáron. A 2-szeres tengelyek mostantól S 4 ( 4 ) tengelyek. T d és O absztrakt csoportként izomorf - mindkét csoport megfelel az S 4 -nek , a 4 elemből álló szimmetrikus csoportnak . T d a T és az O \ T egyes elemeinek központi szimmetriával való kombinálásával kapott halmaz uniója. Lásd még egy szabályos tetraéder izometriáját .

A T d konjugáltsági osztályai a következők:

• identitás
• 8 × 120°-os elforgatás
• 3 × 180°-os elforgatás
• 6 × visszaverődés egy két forgástengelyen átmenő síkról
• 6 × 90°-os tükörfordulat

Az akirális tetraéderes szimmetria alcsoportjai

Shen gyapjú	Coxeter		Orbifold [ hu	G-M	Szerkezet	Ciklusok	Rendelés	Index
T d	[3,3]		*332	43 m _	S4_ _		24	egy
C 3v	[3]		*33	3 m	Dih 3 = S 3		6	négy
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		négy	6
Cs_ _	[ ]		*	2 vagy m	Dih 1		2	12
D2d _	[2 + ,4]		2*2	42 m _	Dih 4		nyolc	3
S4_ _	[2 + ,4 + ]		2×	négy	Z4_ _		négy	6
T	[3,3] +		332	23	A4_ _		12	2
D2_ _	[2,2] +		222	222	Dih 2		négy	6
C3_ _	[3] +		33	3	Z 3 = A 3		3	nyolc
C2_ _	[2] +		22	2	Z2_ _		2	12
C1_ _	[ ] +		tizenegy	egy	Z1_ _		egy	24

Piritoéder szimmetria

T h , 3*2 , [ 4,3+ ] vagy m 3 24- es rendű piriteéderes szimmetria . Ez a csoport ugyanazokkal a forgástengelyekkel rendelkezik, mint a T, két merőleges irányban átmenő tükörsíkkal. A 3-szoros tengelyek most S 6 ( 3 ) tengelyek, és ott van a központi szimmetria. T h izomorf T × Z 2 -vel – T h minden eleme vagy T eleme, vagy központi szimmetriával kombinált eleme. Ezen a két normál alcsoporton kívül van még egy normál D 2h ( téglalap alakú paralelepipedon ) alcsoport, melynek típusa Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Ez egy normál T alcsoport (lásd fent) közvetlen szorzata C i -vel . A faktorcsoport megegyezik a fentivel - Z 3 . Ez utóbbi három eleme az identitástranszformáció, a „forgás az óramutató járásával megegyezően” és a „forgás az óramutató járásával ellentétes irányban”, amely három merőleges, 2-szeres tengely permutációjának felel meg, az orientáció megőrzésével.

Ez a kocka szimmetriája, amelyben minden lap egy szegmenssel két téglalapra van osztva, és nincs két szegmensnek csúcsa a kocka ugyanazon élén. A szimmetriák a kocka átlóinak egyenletes permutációinak felelnek meg, egy központi inverzióval együtt. Az ötszög -dodekaéder szimmetriája rendkívül közel áll a fent leírt kocka szimmetriájához. Egy felosztott lapú kockából piritoédert kaphatunk, ha a téglalapokat ötszögekre cseréljük, amelyeknek egy szimmetriatengelye és 4 egyenlő oldala van, az egyik oldal különböző hosszúságú (az, amelyik a kocka négyzetes oldalát felező szakasznak felel meg). Vagyis a kocka lapjai az elválasztó szegmens mentén kinyúlnak, és maga a szegmens kisebb lesz. Az osztott felületű kocka szimmetria a teljes ikozaéder szimmetriacsoport (mint izometriacsoport, nem csak egy absztrakt csoport) alcsoportja, 10-ből 4 háromszoros tengellyel.

A T h konjugáltsági osztályok magukban foglalják a T konjugáltsági osztályokat a 4 osztályból kettő kombinációjával, valamint az egyes c osztályokat központi szimmetriával:

• identitás
• 8 × 120°-os elforgatás
• 3 × 180°-os elforgatás
• központi szimmetria
• 8 × 60°-os tükörfordulat
• 3 × tükörvisszaverődés (a síkhoz képest)

A piritehedrális szimmetria alcsoportjai

Shen gyapjú	Coxeter		Orbifold [ hu	G-M	Szerkezet	Ciklusok	Rendelés	Index
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 × 2		24	egy
D2h _	[2,2]		*222	hmmm	Dih 2 × Dih 1		nyolc	3
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		négy	6
Cs_ _	[ ]		*	2 vagy m	Dih 1		2	12
C 2 óra	[2 + ,2]		2*	2/m	Z2 × Dih1_ _		négy	6
S2_ _	[2 + ,2 + ]		×	egy	2 vagy Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	A4_ _		12	2
D3_ _	[2,3] +		322	3	Dih 3		6	négy
D2_ _	[2,2] +		222	222	Dih 4		négy	6
C3_ _	[3] +		33	3	Z3_ _		3	nyolc
C2_ _	[2] +		22	2	Z2_ _		2	12
C1_ _	[ ] +		tizenegy	egy	Z1_ _		egy	24

Királis tetraéderes szimmetriájú testek

Az ikozaéder, amely tetraéderként színezett , királis szimmetriával rendelkezik.

Teljes tetraéder szimmetriájú testek

Lásd még

• Oktaéder szimmetria
• Ikozaéder szimmetria
• Tetraéder bináris csoportja

Jegyzetek

Irodalom

• P. Cromwell. Poliéder. - Egyesült Királyság: Cambridge University Press, 1997. - P. 295. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. A dolgok szimmetriája. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . Kaleidoszkópok: HSM Coxeter válogatott írásai / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Norman Johnson. 11. fejezet: Véges szimmetriacsoportok // Geometriák és transzformációk. — 2015.

Linkek

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group  (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .