Schoenflies szimbólumok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Schoenflies-szimbólumok a pontszimmetria-csoportok egyik szimbóluma , a Herman-Mogen szimbólumok mellett . Arthur Schoenflies német matematikus javasolta a "Kristallsysteme und Kristallstruktur" című könyvében 1891-ben. [1] Használható tércsoportok (háromdimenziós krisztallográfiai csoport ) jelölésére is.

Pontcsoportok jelölése

Pontszimmetria esetén legalább egy pont megtartja pozícióját. A háromdimenziós térben lévő pontszimmetria-csoportok több családra oszthatók. A Schoenflies szimbólumok leírása a következő:

n -nel a ciklikus csoportokat - egyetlen speciális irányú csoportokat, amelyeket egy forgási szimmetriatengely képvisel - C betűvel jelöljük , e tengely sorrendjének megfelelő n alsó indexszel .

C nv (a német vertikális - vertikális szóból) - n függőleges szimmetriasíkkal rendelkező csoportok, amelyek a szimmetriatengely mentén helyezkednek el, amelyet mindig függőlegesnek gondolunk.
C nh (a német vízszintes - vízszintes szóból) - a szimmetriatengelyre merőleges vízszintes szimmetriasíkkal rendelkező csoportok.

S 2n (a német spiegel - tükör szóból) - csoportok egyetlen tükör szimmetriatengellyel. A tengelyindex mindig páros, mivel páratlan indexnél a tükörtengely egyszerűen a szimmetriatengely és a rá merőleges sík kombinációja, azaz páratlan n esetén S n = C nh .

C s - határozatlan orientációjú síkra, azaz nem rögzített, mivel a csoportban nincsenek más szimmetriaelemek.

Az egyetlen inverziós szimmetriatengelyű ni -csoportok után az i alsó index következik . Általában csak a С i -t használjuk ( n = 1 esetén), de a szakirodalomban néha vannak olyan megjelölések, mint a С 3i , С 5i .
D n - egy C n csoport további n másodrendű szimmetriatengellyel, merőlegesen az eredeti (fő) tengelyre.

D nh - vízszintes és n függőleges szimmetriasíkkal is rendelkezik.
D nd (a német diagonal - diagonal szóból) - szintén n függőleges szimmetriasíkkal rendelkezik, amelyek átlósan futnak a másodrendű vízszintes tengelyek között.

A D 2 csoportot korábban néha V -nek (a német Vierergruppe - quadruple group szóból ), a D 2h és D 2d csoportot pedig V h -nak és V d -nek nevezték.

A T, O, I szimmetriacsoportok több, magasabb rendű tengellyel (az n tengely sorrendje nagyobb vagy egyenlő, mint 3). A h index hozzáadása egy vízszintes sík és ennek következtében a függőleges szimmetriasíkok és egy inverziós középpont jelenlétét jelzi. A d index hozzáadása a T csoporthoz az átlós szimmetriasíkok jelenlétét jelzi. A T d és a T h csoport között az a különbség , hogy az első nem tartalmaz inverziós középpontot, míg a második igen, de T d három negyedrendű inverziós tengelyt tartalmaz, míg a T h -ban nincs ilyen tengely.

T , T h , T d - forgástengelyek halmaza a tetraéderben (csak a 2. és 3. rendű forgástengelyek).
O , O h - forgástengelyek halmaza oktaéderben vagy kockában (2., 3. és 4. rendű forgástengelyek).
I , I h - forgástengelyek halmaza az ikozaéderben vagy dodekaéderben (2., 3. és 5. rendű forgástengelyek).

Néha az I és Ih ikozaéder csoportokat Y és Yh jelöléssel látják el .

A legfeljebb egy magasabb rendű tengellyel rendelkező csoportok a következő táblázatban rendezhetők

n	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	...	$\infty$
C n	C1_ _	C2_ _	C3_ _	C4_ _	C5_ _	C6_ _	C7_ _	C 8	…	C∞_ _
C nv	C 1v = C s	C 2v	C 3v	C4v _	C5v _	C6v _	C 7v	c8v_ _	…	C∞v _
C nh	C 1h = C s	C 2 óra	C 3 óra	C4h _	C 5 óra	C6h _	C 7 óra	C 8 óra	…	C∞h _
S n	S 1 = C s	S 2 \ u003d C i	S 3 = C 3 óra	S4_ _	S 5 = C 5 óra	S6_ _	S 7 \ u003d C 7h	S8_ _	…	S∞ = C∞h _ _
C ni	C 1i = C i	C2i = Cs _ _	C 3i = S 6	C4i = S4 _ _	C 5i = S 10	C 6i = C 3h	C 7i = S 14	C8i = S8 _ _	…	C∞i = C∞h _ _
D n	D1 = C2 _ _	D2 = V_ _	D3_ _	D4_ _	D5_ _	D6_ _	D7_ _	D8_ _	…	D∞ _
Dnh_ _	D 1h = C 2v	D2h = Vh _ _	D3h _	D4h _	D5h _	D6h _	D7h _	D8h _	...	D∞h_ _
Dnd_ _	D1d = C2h _ _	D2d = Vd _ _	D3d_ _	D4d _	D5d_ _	D6d _	D7d _	D8d_ _	…	D∞d = D∞h _ _

A bordó színjelek a csoportmegjelölések nem használt változatai.

A krisztallográfiában a kristályszerkezet transzlációs szimmetriája miatt n csak az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es és 6-os értékeket veheti fel. A nem kristályos pontcsoportok szürke háttéren vannak megadva. A D 4d és a D 6d szintén nem kristályos, mivel 8-as, illetve 12-es rendű tükörtengelyt tartalmaznak. A táblázat 27 krisztallográfiai pontcsoportja és az öt T , T d , T h , O és O h csoport alkotja mind a 32 krisztallográfiai szimmetriapontcsoportot .

A -val rendelkező csoportokat limitcsoportoknak [2] vagy Curie -csoportoknak nevezzük . Ide tartozik még két, a táblázatban nem szereplő csoport. Ez a ponton áthaladó összes tengely körüli összes lehetséges forgás csoportja, K ( németül Kugel - golyó) - a forgatások csoportja, valamint a K h csoport , amely leírja a golyó szimmetriáját - a maximális lehetséges pontot szimmetria a háromdimenziós térben; minden pontcsoport a K h csoport alcsoportja . Néha ezeket a csoportokat R (3) (az angol forgatás - rotáció szóból) és R h (3) -nak is jelölik . A matematikában és az elméleti fizikában általában SO(3) és O(3)-ként jelölik őket ( speciális ortogonális csoport a háromdimenziós térben és ortogonális csoport háromdimenziós térben). $n=\infty$

Tércsoport jelölése

Ha eltávolítjuk a tércsoportból a transzlációs komponenseket (azaz eltávolítjuk a transzlációkat, és a spirális tengelyeket közönséges tengelyekre cseréljük, a lebegő reflexiós síkokat pedig tükörsíkokra), akkor megkapjuk a tércsoportnak megfelelő pontcsoportot - az egyik a 32 krisztallográfiai pontcsoport . Egy szóközcsoport Schoenflies-szimbóluma a megfelelő pontcsoport szimbólumából jön létre egy további felső indexszel, mivel általában több szóközcsoport felel meg egy pontcsoportnak egyszerre (maximum - 28 szóközcsoport a D 2h csoportnál ). Ugyanakkor az index nem ad további információt a csoport szimmetriaelemeiről, hanem egyszerűen kapcsolódik ahhoz a sorozathoz, amelyben Schoenflies 230 tércsoportot származtatott . Így a tércsoport Schoenflies-szimbóluma nemcsak a szimmetriaelemek cella tengelyeihez viszonyított orientációjáról nem mond semmit, de még a cella központosításáról, valamint a tengelyek transzlációs komponenséről és a szimmetriáról sem ad információt. repülőgépek. Ahhoz, hogy a Schoenflies szimbólumból származó szóközcsoportról teljes körű információt kapjon, használja azt a táblázatot, amelyben ezeket a szimbólumokat összehasonlítja a Herman-Mogen szimbólumokkal . Ilyen táblázat például a tércsoportok listájában vagy itt található .

Lásd még

Külső linkek

Irodalom

Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometric Crystalography, Moszkvai Állami Egyetem, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Kristályográfia, Moszkvai Állami Egyetem, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Theory of kristály szimmetria, GEOS, 2000 (on-line elérhető: http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
P. M. Zorkiy. Molekulák és kristályszerkezetek szimmetriája, Moszkvai Állami Egyetem, 1986 (on-line elérhető: http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
R. Flurry, Symmetry csoportok. Elmélet és kémiai alkalmazások, M.: Mir, 1983
Hargitai I., Szimmetria vegyész szemmel. - M.: Mir, 1991 (99. oldal)

Jegyzetek

↑ Arthur Moritz Schönflies, "Krystallsysteme und Krystallstructur", Druck und Verlag von BG Teubner, 1891 . Letöltve: 2017. október 3. Az eredetiből archiválva : 2017. július 24. (határozatlan)
↑ Határpont csoportok . Letöltve: 2011. november 18. Az eredetiből archiválva : 2008. február 23.. (határozatlan)