Herman – Mogen szimbolikája

A Hermann–Mogen szimbólumok a pontcsoportok (a Schoenflies szimbólumokkal együtt ), a síkcsoportok és a tércsoportok szimmetriájának ábrázolására szolgálnak. Carl Hermann német krisztallográfus javasolta 1928-ban, és Charles Victor Mauguin francia mineralógus módosította 1931 - ben. Nemzetközi szimbólumoknak is nevezik, mivel az International Tables for Crystalography [1] 1935-ös első kiadásuk óta használják őket. Ezt megelőzően a pont- és tércsoportok kijelölésére rendszerint használták Schoenflies szimbólumok .

Tartalom

A krisztallográfiai pontcsoportok jelölése

A Herman-Mogen szimbólum szimmetrikusan nem egyenértékű szimmetriaelemeket jelöl. A forgó szimmetriatengelyeket arab számok jelölik - 1, 2, 3, 4 és 6. Az inverziós tengelyeket arab számok jelölik, felül kötőjellel - 1 , 3 , 4 és 6 . Ebben az esetben a 2 tengelyt , amely egyszerűen szimmetriasík, az m szimbólummal jelöljük (angolul mirror - mirror). A sík iránya a rá merőleges irány (azaz a 2 tengely ). A tükörtengelyt nem használják a nemzetközi szimbólumokban.

Az elem koordinátatengelyekhez viszonyított tájolását az elem csoportszimbólumban elfoglalt helyzete adja meg. Ha a szimmetriatengely iránya merőleges a sík irányára, akkor törtként ugyanabba a pozícióba íródnak. Ha az inverziós tengely nagyobb szimmetriaértékkel (reprodukciós képességgel) rendelkezik, mint a vele egybeeső forgástengely, akkor azt a szimbólum jelzi (vagyis nem , hanem 6 -ot írnak ; ha van inverziós középpont a csoportban, akkor nem 3, hanem 3 ). $\szín {fekete}{\tfrac {3}{m}}$

A legalacsonyabb kategória a pontcsoportok, amelyekben bármely tengely maximális sorrendje (forgás vagy nem megfelelő forgás) kettővel egyenlő. Ez magában foglalja az 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 és . Ha három pozíció van a csoportszimbólumban, akkor $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

az 1. pozícióban - irány az X tengely mentén

a 2. pozícióban - irány az Y tengely mentén

a 3. pozícióban - irány a Z tengely mentén

Egyedi telepítésnél az mm2 csoport m2m-nek vagy 2mm-nek írható. Hasonlóképpen a 2, m és csoportokat részletesebben is felírhatjuk - jelezve, hogy a másodrendű tengely és/vagy sík iránya melyik koordinátatengely mentén halad. Például 11m, 1m1 vagy m11. A szimbolika ezen sajátossága a különböző koordinátarendszerű tércsoportok egyértelmű leírására szolgál, mivel a tércsoportok szimbólumai a megfelelő pontcsoportok szimbólumaiból származnak. $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

Középkategória - olyan pontcsoportok, amelyekben egy sorrendi tengely van kettő felett (legmagasabb sorrendű tengely). Itt meg kell jegyezni, hogy a krisztallográfia a kristály szimmetriájához kapcsolódó krisztallográfiai koordinátarendszert használ. Ebben a rendszerben a tengelyek speciális irányokat választanak ki a kristályban (azokat az irányokat, amelyek mentén a szimmetria vagy a transzláció tengelyei haladnak). Ezért egy 3. vagy 6. rendű tengely jelenlétében az X és Y irányok közötti szög 120°, és nem 90°, mint a szokásos derékszögű koordinátarendszerben .

az 1. pozícióban - a főtengely iránya, azaz a Z tengely

a 2. pozícióban - egy oldalirány. Vagyis az X tengely és az ezzel egyenértékű Y tengely mentén lévő irány

a 3. helyzetben - szimmetrikusan egyenértékű oldalirányok közötti átlós irány

Ebbe a kategóriába tartoznak a 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , és csoportok . $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Mivel a 3 tengely és a rá merőleges sík ekvivalens a 6 -os tengellyel , akkor = 6 és m2 = 6 m2, de ajánlott a fordított tengelyű jelölést használni 6 , mivel ennek szimmetriája nagyobb, mint a 3-é. A 4 2m és 6 m2 csoportok 4 m2-nek és 6 2m -nek írhatók fel . Fentebb voltak az orosz nyelvű irodalomban elfogadott megnevezések. A 2 és m szimbólumok sorrendje ezekben a csoportokban a belőlük származó tércsoportok leírásánál válik fontossá, mivel a második pozícióban lévő elem a Bravais-cella tengelye mentén, a harmadik pozícióban lévő elem pedig az átlója mentén irányul. az arc. Például a P 4 2m és P 4 m2 szimbólumok két különböző tércsoportot jelölnek. A 32-es csoportot részletesebben 321-nek vagy 312-nek is felírhatjuk a 2-es tengely különböző tájolásaira, ugyanígy a különböző orientációk két különböző P321 és P312 tércsoportot eredményeznek. Ugyanez vonatkozik a 3m csoportra (alternatív bejegyzések 3m1 és 31m) és 3 (alternatív bejegyzések 3 1 és 3 1 ). $\szín {fekete}{\tfrac {3}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {3}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

A legmagasabb kategória a pontcsoportok, amelyekben több magasabb rendű tengely található.

az 1. helyen - egyenértékű X, Y, Z irányok

a 2. pozícióban – mindig legyen ott négy 3. vagy 3. tengely

a 3. pozícióban - a koordinátatengelyek közötti átlós irány

Ez a kategória öt csoportot foglal magában - 23, 432, 3 , 4 3m és 3 $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

A nemzetközi szimbólumokat általában m -re cserélve egyszerűsítik, ha az n tengelyt a szimbólumban jelzett egyéb szimmetriaelemek generálják. A középső kategóriában nem távolítható el csak a főtengely kijelölése. Például mmm- nek , mm-nek és 3 -nak m 3 m-nek írják. $\color {fekete}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

Pontcsoportok jelölése

Az egy tengelyű, magasabb rendű csoportokat ugyanazon elvek szerint írjuk, mint a középkategóriás krisztallográfiai csoportokat. Ezeket a következő táblázat tartalmazza.

Schoenflies	HM szimbólum	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	...	$\infty$
$C_{{n}}$	$n$	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	...	$\infty$
$C_{nv}$	$n$ m	3 m		5 m		7 m		9 m		11 m		13 m			$\infty$ m
$C_{nv}$	$n$ mm		4 mm		6 mm		8 mm		10 mm		12 mm		14 mm		$\infty$ m
$S_{2n}$	$\istálló}$	3		5		7		9		tizenegy		13			$\tfrac{\infty}{m}$
$S_{n}$			négy				nyolc				12
$C_{\tfrac{n}{2}h}$					6				tíz				tizennégy
$C_{nh}$	${\tfrac {n}{m))$		$\tfrac{4}{m}$		$\tfrac{6}{m}$		$\tfrac{8}{m}$		$\tfrac{10}{m}$		$\tfrac{12}{m}$		$\tfrac{14}{m}$
$D_{n}$	$n$ 2	3 2		5 2		7 2		9 2		11 2		13 2			$\infty$ 2
$D_{n}$	$n$ 22		4 22		6 22		8 22		10 22		12 22		14 22		$\infty$ 2
$D_{nd}$	$\bar{n}\tfrac{2}{m}$	3 $\tfrac{2}{m}$		5 $\tfrac{2}{m}$		7 $\tfrac{2}{m}$		9 $\tfrac{2}{m}$		tizenegy $\tfrac{2}{m}$		13 $\tfrac{2}{m}$			$\tfrac{\infty}{m}m$
$D_{\tfrac{n}{2}d}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$		42 m _				8 2m				12 2m
$D_{\tfrac{n}{2}h}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$				6 m2				10 m2				14 m2
$D_{nh}$	$\tfrac{n}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{8}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{10}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{12}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{14}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$

A végső nem-kristályos csoportok közül csak két csoport maradt meg, amelyek több magasabb rendű tengelyt tartalmaznak. Ez az ikozaéder szimmetriacsoportja, alcsoportja pedig az ikozaéder axiális szimmetriacsoportja (hat 5. rendű tengely, tíz 3. rendű tengely és 15 2. rendű tengely kombinációja). Mivel a Hermann-Moguin szimbolikája eredetileg csak a krisztallográfiai csoportok számára készült, ezeknek a csoportoknak a szimbólumai meglehetősen önkényesek, és úgy épülnek fel, mint a legmagasabb kategóriájú krisztallográfiai csoportok szimbólumai. Ezeknél a csoportoknál sincs szabványos koordináta-beállítás (és a nemzetközi szimbólum ettől függ). Az alábbiakban több karakteropció található.

[2] 3 5 (rövidítve m 3 5 ) és 235. $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

[3] [4] 5 (rövidítve m 5 ) és 25 - a 3 -as (rövidítve m 3 ) és 23-as jelekkel analógia szerint $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

[5] m 5 m és 532 - az m 3 m és 432jelekkel analógia szerint

[6] 5 3 (rövidítve 5 3 m) és 532 - a 3 -as és 432-es jelekkel analógia szerint $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

[7] 5 3m és 53.

A gyakorlatban általában a Schoenflies I h és I szimbólumokat használják ezeknek a csoportoknak a jelölésére .

A c táblázatból öt csoportot határcsoportoknak [8] vagy Curie -csoportoknak nevezünk . Ide tartozik még két, a táblázatban nem szereplő csoport. Ez a ponton átmenő összes tengely körüli összes lehetséges forgás csoportja - a forgatások csoportja, valamint a labda szimmetriáját leíró csoport - a maximális lehetséges pontszimmetria a háromdimenziós térben; minden pontcsoport a csoport alcsoportja . Ugyanúgy, mint az ikozaéder szimmetriacsoportjainál, ezekre a csoportokra többféle jelölés létezik ( és , és ). A matematikában és az elméleti fizikában általában SO(3) és O(3)-ként jelölik őket ( speciális ortogonális csoport a háromdimenziós térben és ortogonális csoport háromdimenziós térben). $n=\infty$ $\infty \infty$ $\color{Black}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $\color{Black}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $2\infty$ $m\bar{\infty}$ $\infty \infty$ $\infty \infty m$

Tércsoport jelölése

A tércsoport Hermann-Mogen szimbóluma ugyanazon elvek szerint épül fel, mint a krisztallográfiai pontcsoport szimbólum, plusz a cellaközpontosítás típusa hozzáadódik a szimbólum elejéhez. A központosítás alábbi típusai lehetségesek

P - primitív
I - testközpontú (további csomópont a sejt közepén).
F - arcközpontú (további csomópontok az összes arc közepén).
C, A vagy B - bázisközpontú (egy további csomópont a C, A vagy B felület közepén). Az A és B sejteket oldalközpontúnak is nevezik.
R - kétszeresen testközpontú (két további csomópont a cella nagy átlójában).

A tükörsíkokat ugyanúgy jelöljük, mint a pontcsoportoknál - az m szimbólummal . A csúszó reflexiós síkokat a kristálycella tengelyeihez viszonyított csúszási iránytól függően jelöljük ki. Ha az egyik tengely mentén csúszás történik, akkor a síkot a megfelelő latin a , b vagy c betű jelzi . Ebben az esetben a csúszás mértéke mindig a fordítás felével egyenlő. Ha a csúszás egy lap átlója vagy egy cella térbeli átlója mentén irányul, akkor a síkot n betűvel jelöljük az átló felével egyenlő elcsúszás esetén, vagy d betűvel, ha az átló egyenlő. az átló negyede (ez csak akkor lehetséges, ha az átló középre van állítva). Az n és d síkot éksíknak is nevezik. A d síkokat néha gyémánt síkoknak is nevezik, mert jelen vannak a gyémánt szerkezetében (angolul diamond - gyémánt).

Nyikolaj Vasziljevics Belov azt is javasolta, hogy vezessék be az r jelölést olyan síkok esetében, amelyek a térátló mentén elcsúsznak egy romboéder cellában. Az r sík azonban mindig egybeesik a közönséges tükörsíkokkal, és ez a kifejezés nem fogott meg. Öt tércsoportban vannak olyan síkok, ahol a cella egyik tengelye és a második tengelye mentén is megtörténik a csúszás (vagyis a sík a és b vagy a és c vagy b és c ). Ez annak köszönhető, hogy az arc a csúszási síkkal párhuzamosan helyezkedik el. 1992-ben az e szimbólumot vezették be az ilyen repülőgépekre . [9]

Csoportszám	39	41	64	67	68
régi szimbólum	Abm2	Aba2	cmca	cmma	ccca
Új szimbólum	Aem2	Aea2	cmce	cmme	Cce

Az n- edik rendű közönséges forgótengelyeket ugyanúgy jelöljük, mint a pontcsoportokban - n arab számmal . A csavartengelyeket a megfelelő forgástengely száma jelöli egy indexszel, amely az egyidejű forgás során a tengely mentén történő átvitel mértékét jellemzi. Lehetséges spirális tengelyek 3D-s esetben: 2 1 (180°-os elforgatás és 1/2-os eltolás), 3 1 (120°-os elforgatás és 1/3-os eltolás), 3 2 (120°-os elforgatás és 2/3-os eltolás), 4 1 (90°-os elforgatás és 1/4-es eltolás), 4 2 (90°-os forgatás és 1/2-es eltolás), 4 3 (90°-os forgatás és 3/4-es eltolás), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (forgatás 60°-kal és eltolás 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 és 5/6 fordításban). A 3 2 , 4 3 , 6 4 és 6 5 tengelyek enantiomorfak a 3 1 , 4 1 , 6 2 és 6 1 tengelyekkel . Ezeknek a tengelyeknek köszönhető, hogy 11 enantiomorf tércsoportpár van - mindegyik párban az egyik csoport a másik tükörképe.

P4 1	P4 1 22	P4 1 2 1 2	P3 1	P3 1 12	P3 1 21	P6 1	P6 2	P6 1 22	P6 2 22	P4 1 32
P4 3	P4 3 22	P4 3 2 1 2	P3 2	P3 2 12	P3 2 21	P6 5	P64 _	P6 5 22	P6 4 22	P4 3 32

A tércsoport beállítása és a Bravais-cella kiválasztása

A Herman-Mogen szimbólum a tércsoport beállításától függ, vagyis attól, hogy a szimmetriaelemek (tengelyek, síkok, transzlációk) hogyan vannak irányítva a választott koordinátarendszerhez képest. Ez különösen fontos tércsoportok esetén, amikor a koordinátarendszer, vagyis a Bravais-cella megválasztása befolyásolja a pillantó reflexiósík ( a, b, c, n, d ) kijelölését és a cella típusát. központosítás. Azokban a csoportokban, amelyekben az egyik irány eltér a másik kettőtől (például 3, 4, 6, mm2, 3m 4mm, 6mm, 32, 422, 622 pontcsoportok és az ezekből származó tércsoportok), ezt a speciális irányt választják a Z tengely (a Bravais-sejt c vektora ). Fontos kivételt képeznek a monoklin szingóniacsoportok (2, m, 2/m pontcsoportok és az ezekből származó tércsoportok), amelyekben ezt a bizonyos irányt választjuk Y tengelynek (a Bravais-sejt b vektora ). Ennek pusztán történelmi az oka, és az ásványtanból származik. Ahogy Belov írja , „egy klasszikus krisztallográfus és mindenekelőtt ásványkutató jól tudja, hogy a kristály megnyúlása, amellyel habozás nélkül a Z függőleges tengelyt társítja , a legtöbb esetben nem esik egybe a monoklinika speciális irányával. kristály, amelyhez a morfológus biztosítja a második Y tengelyt . [10] Így ezeknek a csoportoknak a kiterjesztett nemzetközi karakterei a következők lennének.

Csoportszám	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt
Szimbólum	P2	P2 1	C2	Délután	PC	cm	CC	P2/m	P2 1 /m	C2/m	P2/c	P2 1 /c	C2/c
Kibontott szimbólum	P121	P12 1 1	C121	P1m1	P1c1	C1m1	C1c1	P1 1 $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Black}\tfrac{2_{1}}{m}$	C1 1 $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Black}\tfrac{2}{c}$	P1 1 $\color{Black}\tfrac{2_{1}}{c}$	C1 1 $\color{Black}\tfrac{2}{c}$

A standard beállításban a siklási sík a monoklin rendszerben nem lehet b , mivel a siklásirány nem lehet merőleges magára a síkra. A cella központosítása sem lehet B, mivel ebben az esetben egy fele térfogatú, azonos szimmetriájú primitív cellára mehetnénk.

Lásd még

Jegyzetek

↑ (Nemzetközi táblázatok) Kezdőlap . Letöltve: 2011. november 20. Az eredetiből archiválva : 2011. november 28.. (határozatlan)
↑ Wiley Online Library: IUCR ITL hozzáférés megtagadva (hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2011. november 20. Az eredetiből archiválva : 2013. július 4.. (határozatlan)
↑ P. M. Zorkiy. Molekulák és kristályszerkezetek szimmetriája, Moszkvai Állami Egyetem, 1986, 42. o.
↑ Pontcsoportok családjai . Letöltve: 2011. november 20. Az eredetiből archiválva : 2012. április 15.. (határozatlan)
↑ B. K. Weinstein, V. M. Fridkin, V. L. Indenbom. Modern krisztallográfia. 1. kötet M.: Nauka, 1979, 97. o.
↑ Pontcsoportok három dimenzióban
↑ A. V. Szubnyikov. Véges alakzatok szimmetriája és antiszimmetriája, Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1951
↑ Határpont csoportok . Letöltve: 2011. november 21. Az eredetiből archiválva : 2008. február 23.. (határozatlan)
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson és S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ N. V. Belov, G. P. Litvinskaya, Az alsóbb rendszerek kristályainak beépítéséről. — A könyvben: A krisztalológia problémái. M.: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1976. p. 13-14

Irodalom

Pontcsoportok

P. M. Zorkiy. Molekulák és kristályszerkezetek szimmetriája. M.: Publishing House of Moscow State University, 1986 (on-line elérhető: http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya. A kristályok szimmetriájának elmélete. Moszkva: GEOS Kiadó, 2000 (on-line elérhető: http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya. Kristályográfia. M.: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1992
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Geometriai krisztallográfia. M.: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1973

Tércsoportok

Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya. A kristályok szimmetriájának elmélete. Moszkva: GEOS Kiadó, 2000 (on-line elérhető: http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Geometriai mikrokrisztallográfia. M.: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1976
N. V. Belov. Menő módszer a térszimmetria-csoportok származtatására. A Szovjetunió Tudományos Akadémia Krisztallográfiai Intézetének közleménye. 1951. No. 6. S. 25-62.
N. V. Belov. Esszék a szerkezeti krisztallográfiáról és a Fedorov-szimmetriacsoportokról. M.: Tudomány. 1986.