Szabályos poliéder

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A szabályos poliéder vagy platóni test egy konvex poliéder , amely azonos szabályos sokszögekből áll és térbeli szimmetriával rendelkezik.

Definíció

A poliédert szabályosnak nevezzük, ha:

domború;
minden lapja egyenlő szabályos sokszög ;
minden csúcsánál ugyanannyi él konvergál .

Szabályos poliéderek listája

A háromdimenziós euklideszi térben csak öt szabályos poliéder [1] van (a lapok száma szerint rendezve):

szabályos poliéder	Csúcsok száma	Élek száma	Az arcok száma	Egy arc oldalainak száma	Egy csúcshoz szomszédos élek száma	A térbeli szimmetria típusa
Tetraéder	négy	6	négy	3	3	T d
Kocka	nyolc	12	6	négy	3	Ó h
Oktaéder	6	12	nyolc	3	négy	Ó h
Dodekaéder	húsz	harminc	12	5	3	én h
ikozaéder	12	harminc	húsz	3	5	én h

Az egyes poliéderek neve a lapjai számának görög nevéből és az "arc" szóból származik.

Történelem

A szabályos poliédereket ősidők óta ismerték. Díszítő mintáik a késő neolitikumból származó , legalább 1000 évvel Platón előtti skóciai faragott kőgolyókon találhatók . Abban a kockában, amellyel az emberek a civilizáció hajnalán játszottak, már sejtik a szabályos poliéderek alakját.

A szabályos poliédereket nagyrészt az ókori görögök tanulmányozták . Egyes források (például Proclus Diadochus ) Pythagorasnak tulajdonítják felfedezésük megtiszteltetését . Mások azt állítják, hogy csak a tetraéder, a kocka és a dodekaéder volt ismerős számára, és az oktaéder és az ikozaéder felfedezésének megtiszteltetése az athéni Theaitetost , Platón kortársát illeti meg. Mindenesetre Theaetetus matematikai leírást adott mind az öt szabályos poliéderről, és az első ismert bizonyítékot arra, hogy pontosan öt létezik.

A szabályos poliéderek Platón filozófiájára jellemzőek , akiről a „platoni szilárd testek” nevet kapták. Platón írt róluk a Tímea (Kr. e. 360) című értekezésében, ahol a négy elemet (föld, levegő, víz és tűz) egy bizonyos szabályos poliéderhez hasonlította. A tetraéder a tűznek, a hexaéder a földnek, az oktaéder a levegőnek, az ikozaéder a víznek felelt meg. Ezeket az összehasonlításokat a következő asszociációk magyarázták: a tűz melege tisztán és élesen érezhető, akár a tetraéderes piramisok; az oktaéder legkisebb légelemei olyan simák, hogy alig érezhetők; kézbe vételkor kiömlik a víz, mintha sok kis golyóból lenne, amelyekhez az ikozaéderek vannak a legközelebb; a vízzel ellentétben a hexaéder kockák a labdától teljesen eltérően alkotják a földet, amitől a föld összeomlik a kezekben, szemben a víz egyenletes áramlásával. Az ötödik elemmel, a dodekaéderrel kapcsolatban Platón egy homályos megjegyzést tett: "... Isten meghatározta az Univerzum számára, és mintaként folyamodott hozzá."

Arisztotelész hozzáadott egy ötödik elemet, az étert , és azt feltételezte, hogy a mennyek ebből az elemből állnak, de nem tette egyenlővé Platón ötödik elemével.

Eukleidész teljes matematikai leírást adott a szabályos poliéderekről a Kezdetek utolsó, XIII. könyvében . A könyv 13-17. tételei ebben a sorrendben írják le a tetraéder, oktaéder, kocka, ikozaéder és dodekaéder szerkezetét. Eukleidész minden poliéder esetében megtalálta a körülírt gömb átmérőjének és az él hosszának arányát. A 18. állítás kimondja, hogy nincs más szabályos poliéder. Andreas Speiser, a Bázeli Egyetem matematikusa azzal érvelt, hogy öt szabályos poliéder felépítése a fő célja a geometria deduktív rendszerének, mivel azt a görögök alkották meg, és Euklidész elemeiben kanonizálták [2] . Az Elemek XIII. könyvében található információk nagy része Theaetetus írásaiból származhat.

A 16. században Johannes Kepler német csillagász megpróbált kapcsolatot találni a Naprendszer akkoriban ismert öt bolygója (a Föld kivételével) és a szabályos poliéderek között. Az 1596-ban megjelent The Secret of the World -ben Kepler lefektette a naprendszer modelljét. Ebben öt szabályos poliéder került egymásba, és egy sor beírt és körülírt gömb választotta el őket egymástól. A hat szféra mindegyike megfelelt valamelyik bolygónak ( Merkúr , Vénusz , Föld , Mars , Jupiter és Szaturnusz ). A poliéderek a következő sorrendbe kerültek (belsőtől kifelé): oktaéder, majd ikozaéder, dodekaéder, tetraéder, végül a kocka. Így a Naprendszer szerkezetét és a bolygók közötti távolságok kapcsolatát szabályos poliéderek határozták meg. Később Kepler eredeti elképzelését el kellett vetni, de kutatásának eredményeként felfedezték a pályadinamika két törvényét – a Kepler-törvényeket –, amelyek megváltoztatták a fizika és a csillagászat menetét, valamint a szabályos csillagrendszerű poliédereket ( Kepler-Poinsot testek ). .

Kombinatorikus tulajdonságok

Euler levezetett egy képletet, amely egy egyszerű összefüggés segítségével meghatározza bármely konvex poliéder csúcsainak (B), lapjainak (G) és éleinek (P) számát : C + D = P + 2.

Egy szabályos poliéder csúcsainak számának az egyik lapja éleihez viszonyított aránya megegyezik ugyanazon poliéder lapjainak számának és az egyik csúcsából kilépő élek számának arányával. A tetraédernél ez az arány 4:3, a hexaédernél és az oktaédernél 2:1, a dodekaédernél és az ikozaédernél pedig 4:1.

Egy szabályos poliéder leírható kombinatorikusan a Schläfli szimbólummal { p , q }, ahol: p az élek száma az egyes lapokon; q az egyes csúcsokban konvergáló élek száma.

A szabályos poliéderek Schläfli-szimbólumait a következő táblázat tartalmazza:

Poliéder	Csúcsok	borda	Szempontok	Schläfli szimbólum
tetraéder	négy	6	négy	{3, 3}
hexaéder (kocka)	nyolc	12	6	{4, 3}
oktaéder	6	12	nyolc	{3, 4}
dodekaéder	húsz	harminc	12	{5, 3}
ikozaéder	12	harminc	húsz	{3, 5}

A poliéder másik kombinatorikus jellemzője, amely p és q számokkal fejezhető ki, a csúcsok (B), élek (P) és lapok (G) összesített száma. Mivel bármely él két csúcsot köt össze, és két lap között helyezkedik el, a következő összefüggések érvényesek: $p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$

Ezekből az összefüggésekből és az Euler-képletből a következő kifejezéseket kaphatjuk V, P és G-re:

{\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2))),\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-( p-2)(q-2))),\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2))).

Geometriai tulajdonságok

Szögek

Minden szabályos poliéderhez bizonyos szögek kapcsolódnak , amelyek jellemzik tulajdonságait. A szabályos {p, q} poliéder szomszédos lapjai közötti diéderszöget a következő képlet adja meg:

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p))).$

Néha kényelmesebb a kifejezést az érintőn keresztül használni :

\operátornév {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h))),

ahol a tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder 4, 6, 6, 10 és 10 értékeit veszi fel. $h$

A poliéder csúcsának sarokhibája a 2π és az adott csúcsban lévő lapok élei közötti szögek összegének különbsége. Hiba egy szabályos poliéder bármely csúcsában: $\delta$

\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).

Descartes tétele szerint egyenlő , ha elosztjuk a csúcsok számával (vagyis a teljes hiba minden csúcsra egyenlő ). $4\pi$ $4\pi$

A síkszög háromdimenziós analógja a térszög . A szabályos poliéder csúcsánál lévő Ω térszöget a poliéder szomszédos lapjai közötti diéderszögben fejezzük ki a következő képlettel:

\Omega =q\theta -(q-2)\pi .

Egy szabályos poliéder lapja által bezárt térszög, amelynek csúcsa ennek a poliédernek a közepén van, egyenlő a teljes gömb térszögével ( szteradián) osztva a lapok számával. Ugyancsak egyenlő a poliéder duál szöghibájával az adotthoz képest. $4\pi$

A szabályos poliéderek különböző szögeit a következő táblázat tartalmazza. A térszögek számértékei szteradiánban vannak megadva . Az állandó az aranymetszés . $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Poliéder	Kétszögű θ	$\operátornév {tg}{\frac {\theta }{2}}$	Lapos szög az élek között a csúcsnál	Sarokhiba (δ)	Csúcs térszög (Ω)		Térszög kivonva egy arcból
tetraéder	70,53°	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	60°	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\jobb)$	$\kb. 0,551286$	$\pi$
kocka	90°	egy	90°	${\pi \over 2}$	${\frac {\pi }{2))$	$\kb. 1,57080$	${2\pi \over 3}$
oktaéder	109,47°	√2	60°, 90°	${{2\pi } \over 3}$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\kb. 1,35935$	${\pi \over 2}$
dodekaéder	116,57°	$\varphi$	108°	${\pi \over 5}$	$\pi -\operátornév {arctg}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\kb. 2,96174$	${\pi \over 3}$
ikozaéder	138,19°	$\varphi ^{2}$	60°, 108°	${\pi \over 3}$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)$	$\kb. 2,63455$	${\pi \over 5}$

Sugárok, területek és térfogatok

Minden szabályos poliéderhez három koncentrikus gömb tartozik:

A poliéder csúcsain áthaladó körülírt gömb;
A középső gömb minden élét érinti középen;
Egy beírt gömb , amely a középpontjában minden lapját érinti.

A körülírt ( ) és a beírt ( ) gömb sugarait a következő képletek adják meg: $R$ $r$

R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q))\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2))

r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2)),

ahol θ a poliéder szomszédos lapjai közötti diéderszög. A középső gömb sugarát a következő képlet adja meg:

\rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h))),

ahol h a fent leírt érték a diéderszögek meghatározásakor (h = 4, 6, 6, 10 vagy 10). A körülírt sugarak és a beírt sugarak aránya szimmetrikus p és q vonatkozásában:

{R \over r}=\operátornév {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operátornév {tg}{\frac {\pi }{q}}.

Egy szabályos poliéder S felületét {p, q} úgy számítjuk ki, hogy egy szabályos p-szög területét megszorozzuk a Г lapok számával:

S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operátornév {ctg}{\frac {\pi }{p)).

Egy szabályos poliéder térfogatát úgy számítjuk ki, hogy egy szabályos gúla térfogatát megszorozzuk a lapok számával , amelynek alapja egy szabályos p-szög, magassága pedig a beírt r gömb sugara:

V={1\több mint 3}rS.

Az alábbi táblázat a szabályos poliéderek különféle sugarait, felületeit és térfogatait tartalmazza. A táblázatban szereplő a élhossz értéke 2.

Poliéder ( a = 2)	A beírt gömb sugara ( r )	A gömb középső sugara (ρ)	A körülírt gömb sugara ( R )	Felületi terület ( S )	kötet ( V )
tetraéder	${1 \over {{\sqrt 6}}}$	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt 3}$	${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
kocka	$egy$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24$	$nyolc$
oktaéder	${\sqrt {2 \over 3}}$	$egy$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt 3}$	${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
dodekaéder	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt 3}\,\varphi$	$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$
ikozaéder	${\frac {\varphi ^{2}}{{\sqrt 3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt 3}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$

A φ és ξ állandókat a kifejezések adják meg

\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5} ={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi } }.

A szabályos poliéderek közül mind a dodekaéder, mind az ikozaéder jelenti a legjobb közelítést egy gömbhöz. Az ikozaédernek van a legtöbb lapja, a legnagyobb a kétszögű, és a legszorosabban rányomódik a beírt gömbjére. Ezzel szemben a dodekaédernek van a legkisebb szöghibája, a csúcsnál a legnagyobb térszög, és amennyire csak lehetséges, kitölti a körülírt gömbjét.

Magasabb dimenziókban

A négydimenziós térben hat szabályos poliéder (poliéder) található :

Ötcellás	tesserakt	Hexadecimális sejt	huszonnégy cella	120 cella	Hatszáz sejt

Mindegyik magasabb dimenziós térben három szabályos poliéder ( politóp ) található : $n>4$

n-dimenziós szabályos szimplex
n-dimenziós hiperkocka
n-dimenziós hiperoktaéder

Lásd még

Jegyzetek

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrikus test // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
↑ Hermann Weil. "Szimmetria". B. V. Birjukov és Yu. A. Danilov fordítása angolból, szerkesztette: B. A. Rosenfeld. "Science" kiadó. Moszkva. 1968. 101. o

Linkek

Smirnov E. Yu. Coxeter csoportok és rendszeres poliéderek // Nyári iskola "Modern matematika". – Dubna, 2008.
Weisstein, Eric W. Platonic Solids (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
A matematika/geometria rajongói . (Angol)
Szabályos poliéderek papírmodellei . (Angol)
Tudomány/Geometria/Platonikus és Arkhimédeszi szilárdtestek . (Angol)
Platóni, arkhimédeszi testek, prizmák, Kepler-Poinsot testek és csonka Kepler-Poinsot testek . (Angol)
M. Weninger . poliéder modellek. - Moszkva: Mir, 1974. - 236 p.
Gonchar VV A poliéderek modelljei . - Moszkva: Akim, 1997. - 64 p. — ISBN 5-85399-032-2 .
Gonchar V. V., Gonchar D. R. A poliéderek modelljei . - Rostov-on-Don: Phoenix, 2010. - 143 p. — ISBN 978-5-222-17061-8 .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4046302-3

Poliéder

Helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb