Az egységes csillagpoliéder egy önmetsző egységes poliéder . Ezeket a poliédereket nem konvex poliédereknek is nevezik , hangsúlyozva az önmetszéspontot. Minden poliéder tartalmazhat csillag sokszög lapokat vagy csillagcsúcs alakzatokat , de mindkettőt tartalmazhatja.
Az 57 nem prizmás egységes csillagpoliéderből álló teljes készlet 4 szabályosat tartalmaz, amelyeket Kepler-Poinsot szilárdtesteknek neveznek , 5 kvázi-regulárist és 48 félregulárist.
Két végtelen számú homogén csillagprizma és antiprizma is létezik .
Ahogy a (nem degenerált) csillagpoligonok (amelyek sűrűsége nagyobb, mint 1) megfelelnek az átfedő részekkel rendelkező kör alakú sokszögeknek, a középponton át nem menő csillagpoliéderek sűrűsége nagyobb, mint 1, és gömbpoliédereknek felelnek meg. egymást átfedő részekkel. 48 ilyen nem prizmás egységes csillagpoliéder létezik. A fennmaradó 9 nem prizmatikus egységes csillagpoliéder lapjai átmennek a középponton, félpoliéderek , és nem felelnek meg gömbpoliédereknek, mivel a középpont nem vetíthető ki egyértelműen egy gömbre.
A nem konvex alakzatokat Schwartz-háromszögekből állítják elő .
Az alább felsorolt háromszögek szimmetriacsoportjaik szerint vannak csoportosítva , belsőleg pedig csúcselrendezés szerint vannak csoportosítva.
A szabályos poliédereket Schläfli szimbólumokkal látják el . Más, szabálytalan egyenletes poliédereket csúcskonfigurációjukkal vagy egységes poliéder indexükkel (Uniform polyhedron index, U(1-80)) jelöljük.
Megjegyzés: A nem domború formák esetében az alábbiakban további leírás található Például a nem egyenletes levágás (az élek eltávolítása) négyzetek helyett téglalapokat eredményezhet, ahol az éleket eltávolítják .
Lásd prizmatikus egyenletes poliéder .
Van egy nem konvex fajta, a tetrahemihexaéder , amelynek tetraéder szimmetriája van ( a Möbius-háromszög alapterületével (3 3 2)).
Két Schwartz-háromszög van, amelyekből egyedi, nem konvex homogén poliéderek keletkeznek - egy derékszögű háromszög (3/2 3 2) és egy általános háromszög (3/2 3 3). A háromszög (3/2 3 3) egy oktahemioktaédert generál , amelyet alább az oktaéderszimmetriáról szóló részben mutatunk be .
| A csúcsok elhelyezkedése ( Konvex héj ) |
Nem konvex nézetek | |
|---|---|---|
Tetraéder |
||
Egyenirányított tetraéder Oktaéder |
(4,3/2,4,3) 3/2 3 | 2 | |
csonka tetraéder |
||
Ferde tetraéder ( Cuboctahedron ) |
||
Csonka tetraéder ( Csonka oktaéder ) |
||
Snub tetraéder ( Icosahedron ) |
||
8 konvex és 10 nem konvex alak létezik oktaéder szimmetriájú (a (4 3 2) Möbius-háromszög alapterületével ).
Négy Schwartz -háromszög alkot nem domború formákat, két téglalap alakú, (3/2 4 2) és (4/3 3 2) és két általános, (4/3 4 3) és (3/2 4) 4).
| A csúcsok elhelyezkedése ( Konvex héj ) |
Nem konvex nézetek | ||
|---|---|---|---|
Kocka |
|||
Oktaéder |
|||
Cuboctahedron |
(6.4/3.6.4) 4/3 4 | 3 |
(6.3/2.6.3) 3/2 3 | 3 | |
csonka kocka |
4,8/3,4/3,8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) | |
(8/3.3.8/3.4) 3 4 | 4/3 |
(4.3/2.4.4) 3/2 4 | 2 |
csonka oktaéder |
|||
Rombikuboktaéder |
(4.8.4/3.8) 2 4 (3/2 4/2) | |
(8.3/2.8.4) 3/2 4 | négy |
(8/3.8/3.3) 2 3 | 4/3 |
Inhomogén Csonka Cuboctaéder |
(4.6.8/3) 2 3 4/3 | | ||
Inhomogén Csonka Cuboctaéder |
(8/3.6.8) 3 4 4/3 | | ||
snub kocka |
|||
8 konvex és 46 nem konvex alakja létezik ikozaéder szimmetriájú ( alapterülettel a Möbius-háromszög (5 3 2)). (vagy 47 nem konvex alakzat, ha a Skilling ábra is szerepel). Néhány nem domború snub faj tükörcsúcs-szimmetriával rendelkezik.
| A csúcsok elhelyezkedése ( Konvex héj ) |
Nem konvex nézetek | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ikozaéder |
{5.5/2} |
{5/2,5} |
{3.5/2} | |||||
Inhomogén Csonka ikozaéder 2 5 |3 |
U37 2 5/2 | 5 |
U61 5/2 3 | 5/3 |
U67 5/3 3 | 2 |
U73 2 5/3 (3/2 5/4) | | ||||
Inhomogén Csonka ikozaéder 2 5 |3 |
U38 5/2 5 | 2 |
U44 5/3 5 | 3 |
U56 2 3 (5/4 5/2) | | |||||
Inhomogén Csonka ikozaéder 2 5 |3 |
U32 | 5/2 3 3 | |||||||
Ikozidodekaéder 2 | 3 5 |
U49 3/2 3 | 5 |
U51 5/4 5 | 5 |
U54 2 | 3 5/2 |
U70 5/3 5/2 | 5/3 |
U71 3 3 | 5/3 |
U36 2 | 5 5/2 |
U62 5/3 5/2 | 3 |
U65 5/4 5 | 3 |
Csonka dodekaéder 2 3 | 5 |
U42 |
U48 |
U63 | |||||
Inhomogén csonka dodekaéder |
U72 | |||||||
Dodekaéder |
{5/2,3} |
U30 |
U41 |
U47 | ||||
Rombikozidodekaéder |
U33 |
U39 |
U58 | |||||
Éles dodekaéder |
U55 | |||||||
Inhomogén rombikozidodekaéder |
U31 |
U43 |
U50 |
U66 | ||||
Inhomogén rombikozidodekaéder |
U75 |
U64 |
Skilling's body (lásd lent) | |||||
Inhomogén rombusz alakú csonka ikozidodekaéder |
U45 | |||||||
Inhomogén rombusz alakú csonka ikozidodekaéder |
U59 | |||||||
Inhomogén rombusz alakú csonka ikozidodekaéder |
U68 | |||||||
Inhomogén snub dodekaéder |
U40 |
U46 |
U57 |
U69 |
U60 |
U74 | ||
Egy másik nem konvex poliéder a nagy birombododekaéder , más néven a Skilling szilárd , amely csúcs-homogén, de közös élpárokkal rendelkezik, amelyek közösek a lapokkal, így négy lapnak van egy közös éle. Néha az egységes poliéderek közé sorolják, de nem mindig. A testnek I h szimmetriája van .
Coxeter Wythoff konstrukcióját használva számos degenerált stellált politópot határozott meg, amelyeknek átfedő élei vagy csúcsai vannak. Ezek a degenerált formák a következők: