"Snub" művelet

Két arkhimédeszi szilárd test

snub cube vagy snub cuboctahedron	Snub dodekaéder vagy ikozidodekaéder

A snub művelet vagy a csúcskivágás a poliéderekre alkalmazott művelet. A kifejezés a Kepler által két arkhimédeszi szilárdtestnek – a snub kocka (cubus simus) és a snub dodekaéder (dodecaedron simum) – elnevezéséből származik [1] . Általában a snub formák kétféle királis szimmetriával rendelkeznek, az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes irányban. Kepler nevei szerint a csúcsmetszés egy szabályos poliéder nyújtásaként fogható fel, amikor az eredeti lapokat a középponttól távolodva elforgatjuk a középpontok körül, az eredeti csúcsok helyett ezeken a csúcsokon középpontos sokszögeket adunk hozzá, és háromszögek töltik ki az eredeti élek közötti teret.

A terminológiát Coxeter általánosította egy kissé eltérő definícióval az egységes poliéderek szélesebb halmazára .

"Snub" művelet Conway

John Conway a poliéderekre vonatkozó általánosított műveleteket tárta fel, meghatározva az úgynevezett Conway-féle poliéder jelölést , amely poliéderekre és csempékre alkalmazható. Conway Coxeter műveletét semi-snub- nak (semi-snub) nevezte [2] .

Ebben a jelölésben a snub a kettős és giroszkóp operátorok összetételeként definiálható , és egyenértékű a váltakozó , csonkítás és ambo operátorok sorozatával . A Conway-féle jelölés elkerüli a váltakozó műveletet, mivel csak a páros oldalszámú lapokkal rendelkező poliéderekre vonatkozik. $s=dg$

Csípje meg a szabályos figurákat

	Poliéder			Euklideszi csempék		Hiperbolikus burkolatok
Conway jelölés	UTCA	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7_ _
snub poliéder	Tetraéder	Kocka vagy oktaéder	Ikozaéder vagy dodekaéder	négyzet alakú mozaik	Hatszögletű mozaik vagy háromszög mozaik	Hétszögletű vagy háromszögletű burkolólap 7. rendelés
snub poliéder
Kép

A 4-dimenziós terekben Conway úgy gondolja, hogy egy 24 cellás snub en]-t félig snub 24-cellának kell nevezni , mert nem képvisel egy váltakozó csonka 24 cellás megfelelőjét a 3-dimenziós térben. Ehelyett ez egy váltakozó csonka 24 cellás [3] .

Coxeter "snub" műveletei, reguláris és kvázi-reguláris

Kockából vagy kuboktaéderből származó snub-kocka

eredeti test	Teljesen csonka poliéder r	Csonka poliéder t	Váltakozó poliéder h
kocka	Cuboctahedron Teljes csonka kocka	Csonka Cuboctahedron Csonka kocka	Snub cuboctahedron Snub csonka kocka
C	CO rC	tCO trC vagy trO	htCO = sCO htrC = srC
{4,3}	${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmátrix))$ vagy r{4,3}	$t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmátrix}}$ vagy tr{4,3}	$ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmátrix}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
	vagy	vagy	vagy

Coxeter „snub” (csúcsvágás) terminológiája némileg eltér, és váltakozó csonkítást jelent , amely szerint a snub kockát a snub (csúcsvágás) művelettel kapjuk a kuboctaéderből , a snub dodekaédert pedig az ikozidodekaéderből . Ezt a meghatározást két Johnson-féle szilárdtest – a snub biclinoid és a snub square antiprism –, valamint a magasabb dimenziós poliéderek, például a 4-dimenziós snub 24-cell elnevezésében használják .vagy s{3,4,3}.

Szabályos poliéder (vagy csempe) Schläfli szimbólummal és Coxeter diagrammal $\begin{Bmátrix} p , q \end{Bmátrix}$ csonkolása van definiálva, mint a diagramnál $t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmátrix))$ , és egy csonka alak, amely váltakozó csonkításként van definiálva Coxeter diagrammal $ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmátrix}}=s{\begin{Bmátrix}p,q\end{Bmátrix}}$ . Ehhez a konstrukcióhoz q -nak párosnak kell lennie.

Kváziszabályos poliéder vagy r { p , q }, Coxeter diagrammal $\begin{Bmátrix} p \\ q \end{Bmátrix}$ vagykvázi szabályos csonkítása van vagy tr { p , q } -ként definiálva (Coxeter diagrammal $t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmátrix))$ vagy) és egy kvázireguláris snub, amelyet a teljes csonkítás váltakozó csonkításaként definiálunk, vagy htr { p , q } = sr { p , q } (Coxeter diagrammal $ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmátrix}}$ vagy).

Például a Kepler snub kockát egy kvázi szabályos koboktaéderből kapjuk függőleges Schläfli szimbólummal (és egy Coxeter diagrammal ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmátrix))$ ) és pontosabban kuboctaédernek nevezzük , amelyet a Schläfli szimbólum fejez ki (a Coxeter diagrammal $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmátrix))$ ). A snub cuboctaéder a csonka kuboktaéder ( $t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmátrix}}$ ).

Az egyenletes csúcsrendű szabályos poliéderek váltakozó csonkításként snub formává is redukálhatók, hasonlóan a snub oktaéderhez ( $s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmátrix))$ ) (és snub tetrathetahedron , $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ ) egy pszeudoikozaédert , egy piriteéder szimmetriájú szabályos ikozaédert képvisel . A csonka oktaéder a csonka oktaéder váltakozó formája , ( $t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmátrix))$ ), vagy tetraéder szimmetria formájában: és $t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmátrix}}$ .

	Csonka t	Váltott h
Oktaéder O	Csonka oktaéder tO	Snub octahedron htO vagy sO
{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}

A Coxeter-féle csúcs (orr) metszésművelete azt is lehetővé teszi, hogy egy n-prizmát n-prizmák vagy n-prizmák alapján határozzunk meg , és ez egy szabályos oszoéder , egy degenerált poliéder , amely érvényes csempézés egy szögletes vagy holdszerű lappal rendelkező gömbön. $s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix))$ $s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmátrix}}$ $t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmátrix))$ $t{\begin{Bmátrix}2,2n\end{Bmátrix}}$ ${\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix))$

Snub osohedra , {2,2p}

Kép
Coxeter diagramok							... ...
Schläfli szimbólum	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14	s{2,16} ...	s{2,∞}
Schläfli szimbólum	sr{2,2} $s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}$	sr{2,3} $s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	sr{2,4} $s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmátrix}}$	sr{2,5} $s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}$	sr{2,6} $s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}$	sr{2,7} $s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}$	sr{2,8}... ... $s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}$	sr{2,∞} $s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmátrix}}$
Conway jelölés	A2=T	A3=O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

Ugyanez az eljárás vonatkozik a snub burkolásra is:

Háromszög burkolat Δ	Csonka háromszög burkolat tΔ	Snub háromszög burkolólap htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

Példák

Súlyos figurák a {p,4} oldalon

Tér	gömbölyű		euklideszi	hiperbolikus
Kép
Coxeter diagram								...
Schläfli szimbólum	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4	s{6,4	s{7,4	s{8,4	... s{∞,4}

R{p,3} alapján kvázi szabályos snub számok

Tér	gömbölyű				euklideszi	hiperbolikus
Kép
Coxetere diagram								...
Schläfli szimbólum	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3	sr{8,3	... sr{∞,3}
Schläfli szimbólum	$s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmátrix))$	$s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmátrix))$
Conway jelölés	A3	UTCA	sC vagy sO	SD vagy SI	sΗ vagy sΔ

R{p,4} alapján kvázi szabályos snub formák

Tér	gömbölyű		euklideszi	hiperbolikus
Kép
Coxeter diagram								...
Schläfli szimbólum	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4	sr{6,4	sr{7,4	sr{8,4	... sr{∞,4}
Schläfli szimbólum	$s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmátrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmátrix))$	$s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmátrix))$	$s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmátrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmátrix))$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmátrix))$
Conway jelölés	A4	sC vagy sO	sQ

Inhomogén snub polyhedra

Az inhomogén poliéderek, amelyeknél páros számú él konvergál a csúcsokban, lehet csúcskivágás, beleértve néhány végtelen halmazt is, például:

Snub bipyramids sdt{2,p}

Snub négyzet alakú bipiramis


Snub hatszögletű bipiramis

Snub csonka bipiramisok srdt{2,p}

Snub antiprizmák {2,2p}

Kép				...
Schläfli szimbólum	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
Schläfli szimbólum	ssr{2,2} $ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix))$	ssr{2,3} $ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmátrix))$	ssr{2,4} $ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	ssr{2,5}... $ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmátrix))$

Homogén snub stelated Coxeter polyhedra

A Snub stellated poliéderek a Schwartz-háromszög (pqr) felhasználásával racionális tükrökkel készülnek, amelyben minden tükör aktív és váltakozik.

Snub egyenruhás stellated polyhedra

s {3/2, 3/2}	s{(3,3,5/2)	sr{5,5/2	s{(3,5,5/3)	sr{5/2,3
sr{5/3,5	s{(5/2,5/3,3)	sr{5/3,3	s{(3/2,3/2,5/2)	s {3/2, 5/3}

Snub polytopes és Coxeter méhsejt nagy dimenziós terekben

Általában szabályos 4 dimenziós politópok Schläfli szimbólummal és Coxeter diagrammal ${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmátrix))$ bökkenő alakú, kiterjesztett Schläfli szimbólummal és diagrammal $s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmátrix))$ .

Teljesen csonka politóp = r{p,q,r} , és ${\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmátrix))$ snub szimbóluma = sr{p,q,r} , és $s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmátrix))$ .

Példák

A 4 dimenziós térben egyetlen egységes snub poliéder létezik, a 24 cellás snub . Egy szabályos huszonnégy cellában van egy Schläfli-szimbólum és egy Coxeter-diagram ${\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmátrix}}$ , és a snub 24 cellát a szimbólum és a Coxeter diagram képviseli $s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmátrix))$ . Alacsonyabb szimmetriaszerkezettel rendelkezik, 6-os indexszel as vagy s{3 1,1,1 } és $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$ , és szimmetria 3-as indexszel as vagy sr{3,3,4}, $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmátrix}}$ vagy.

A kapcsolódó Snub 24 cellás méhsejt úgy is felfogható, mint vagy s{3,4,3,3}, $s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmátrix))$ , kisebb szimmetriájú test, mint vagy sr{3,3,4,3} ( $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmátrix))$ vagy), és a legkisebb szimmetriával mint vagy s{3 1,1,1,1 } ( $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}$ ).

Az euklideszi lépek váltakozó hatszögletű lemezes lépek , s{2,6,3} () vagy sr{2,3,6} () vagy sr{2,3 [3] } ().

Más euklideszi (egyenlőoldalú) lépek a váltakozó négyzet alakú lemezes lépek s{2,4,4} (és) vagy sr{2,4 1,1 } ():

Az egyetlen egységes snub hiperbolikus méhsejt a snub hatszögletű csempézett méhsejt , s{3,6,3} és, amely alternatív hatszögletű csempézett méhsejtként is megszerkeszthető , h{6,3,3},. Úgy is megszerkeszthető, mint s{3 [3,3] } és.

Egyéb hiperbolikus (egyenlő élű) lépek a 4 -es , s{3,4,4} és.

Lásd még

snub poliéder

Műveletek poliédereken

Az alapítás	csonkítás	teljes csonka	Mély csonkítás	Kettősség _	nyújtás	Csonkolás	Alternatív


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}

Jegyzetek

↑ Kepler , Harmonices Mundi , 1619
↑ Conway, 2008 , p. 287.
↑ Conway, 2008 , p. 401.

Irodalom

HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Egységes poliéder // A Londoni Királyi Társaság filozófiai tranzakciói. A. sorozat. Matematikai és fizikai tudományok. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , no. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — .
Coxeter, HSM 8.6 Részleges csonkítás vagy váltakozás // Szabályos politópok . — 3. - 1973. - S. 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
Coxeter . I. és II. táblázat: Szabályos politópok és méhsejtekRendszeres politópok . — 3. szerk.. - Dover Publications, 1973. - 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
HSM Coxeter . Kaleidoszkópok: HSM Coxeter válogatott írásai / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (17. cikk) Coxeter , The Evolution of Coxeter–Dynkin diagramok , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
- (22. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (23. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (24. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
HSM Coxeter . 3. fejezet: Wythoff konstrukciója egységes politópokhoz // A geometria szépsége: Tizenkét esszé . - Dover Publications, 1999. - ISBN 0-486-40919-8 .
NW Johnson . Egységes politópok. - 1991. - (Kézirat).
- NW Johnson . Az egységes politópok és méhsejt elmélete. - Torontói Egyetem, 1966. - (Ph.D. értekezés).
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. A dolgok szimmetriája. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Weisstein, Eric W. Snubification (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Richard Klitzing. Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagramok // Symmetry: Culture and Science. - 2010. - T. 21 , sz. 4 . – S. 329–344 .