Merevség híd

Mostov merevsége kimondja, hogy egy véges térfogatú hiperbolikus sokaság geometriáját háromtól kezdődően teljesen meghatározza az alapcsoportja .

Történelem

Zárt sokaság esetén a tételt George Mostov igazolta 1968-ban. Véges dimenziójú sokaságra általánosította Marden és Prasad .  Gromov újabb bizonyítékot adott – az egyszerű kötet alapján .

Ezt megelőzően Weyl szorosan összefüggő kijelentéseket bizonyított. Különösen az a tény, hogy egy legalább 3-as dimenziójú hiperbolikus tér diszkrét izometriacsoportjainak együttes hatásai nem engednek meg nem triviális deformációkat.

Formulációk

Geometriai megfogalmazás

Legyen M és N véges térfogatú teljes hiperbolikus n -dimenziós sokaság, ahol n ≥3. Ekkor bármely f :  π 1 ( M ) → π 1 ( N ) izomorfizmust az M → N izometria indukálja .

Itt π 1 ( M ) az M sokaság alapcsoportját jelöli .

Algebrai megfogalmazás

Legyen Γ és Δ egy n - dimenziós H hiperbolikus tér G izometriacsoportjának diszkrét részcsoportjai, ahol n ≥ 3, és amelynek H /Γ és H /Δ faktorterei véges térfogatúak. Ekkor Γ és Δ mint diszkrét csoportok izomorfizmusa azt jelenti, hogy konjugálnak G -ben .

Alkalmazások

• Egy hiperbolikus n - M sokaság véges térfogatainak izometriacsoportja ( n ≥3 esetén) véges és izomorf a π 1 ( M ) külső automorfizmusok csoportjával.
• Körcsomagolási tétel

Linkek

• Gromov, Michael (1981), Hiperbolikus sokaság (Thurston és Jørgensen szerint) , Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80 , vol. 842, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2 , doi : 10.1007/BFb0089927 
• Marden, Albert (1974), A végesen generált klein-csoportok geometriája, Annals of Mathematics. Second Series Vol. 99: 383–462, ISSN 0003-486X 
• Mostow, GD (1968), Kvázikonformális leképezések n - térben és a hiperbolikus térformák merevsége , Publ. Math. IHES vol. 34: 53–104 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0 > 
• Mostow, GD (1973), Lokálisan szimmetrikus terek erős merevsége , vol. 78, Annals of mathematics studies, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , < https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC > 
• Prasad, Gopal (1973), Q-rang 1 rácsok erős merevsége , Inventiones Mathematicae T. 21: 255–286, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01418789 
• Spatzier, RJ (1995), Harmonic Analysis in Rigidity Theory, in Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , Cambridge University Press, p. 153–205, ISBN 0-521-45999-0  . (Sokféle merevségi tétel áttekintését nyújtja, beleértve a Lie-csoportokra, algebrai csoportokra és az áramlások dinamikájára vonatkozókat is. 230 hivatkozást tartalmaz.)
• Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds , Princeton előadásjegyzetek , < http://www.msri.org/publications/books/gt3m/ >  . (Két bizonyítást ad: az egyik hasonló Mostow eredeti bizonyításához, a másik a Gromov-normán alapul )
• Weil, André (1960), A Lie-csoportok diszkrét alcsoportjairól, Annals of Mathematics. Második sorozat 72. köt.: 369–384, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1962), A Lie-csoportok diszkrét alcsoportjairól. II, A matematika évkönyvei. Második sorozat 75. köt.: 578–602, ISSN 0003-486X