Alcsoport

Az alcsoport a csoport egy részhalmaza , amely maga is egy csoport a definiáló művelet szempontjából . $H$ $G$ $G$

Egy csoport részhalmaza akkor és csak akkor az alcsoportja, ha: $H$ $G$

$H$ az egyetlen elemet tartalmazza $G$
tartalmazza a -ból származó bármely két elem szorzatát , $H$
minden elemével együtt tartalmazza a vele fordított elemet . $h$ $h^{-1}$

Véges és általában periodikus csoportok esetén a harmadik feltétel az első kettő következménye.

Példák

A csoport egy elemből álló részhalmaza nyilvánvalóan alcsoport lesz, és ezt az alcsoportot a csoport identitás alcsoportjának nevezzük . $G$ $egy$ $G$
Ez is egy saját alcsoport. $G$

Kapcsolódó definíciók

Minden olyan alcsoportot, amely eltér a teljes csoporttól , ennek a csoportnak igazi alcsoportjának nevezzük . Valamelyik végtelen csoport valódi alcsoportja izomorf lehet magával a csoporttal.
Magát a csoportot és az egység alcsoportot a csoport nem megfelelő alcsoportjának , az összes többit megfelelő alcsoportnak nevezzük . $G$ $G$
Valamely nem üres halmaz összes elemét tartalmazó csoport összes részcsoportjának metszéspontját a halmaz által generált alcsoportnak nevezzük , és jelöljük . $G$ $M$ $M$ $\langle M\rangle$
- Ha egy elemből áll , akkor az elem
ciklikus alcsoportjának nevezzük . $M$ $a$ $\langle a\rangle$ $a$
Ciklikus csoportnak nevezzük azt a csoportot, amely megegyezik valamelyik ciklikus alcsoportjával .

Ha egy csoport izomorf a csoport valamelyik alcsoportjával , akkor azt mondjuk, hogy a csoport be van ágyazva a csoportba .

G_{1}

H

G

G_{1}

G

Ha a csoport alcsoportja , akkor bármely részhalmazhoz

H

G

a\in G

{\displaystyle aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\))

egy alcsoport. Ebben az esetben az alcsoportokat konjugáltnak nevezzük .

aHa^{-1}

H

Alaptulajdonságok

Az A és B alcsoportok metszéspontja is egy alcsoport.
Minden alcsoport egy teljes zárványrácsot alkot, amelyet alcsoportrácsnak nevezünk.
A nem üres halmaz egy csoport alcsoportja akkor és csak akkor, ha bármelyikhez tartozik $H\subset G$ $G$ $a,b\in H$ $ab^{-1}\in H.$
Egy csoport bármely két (és bármely halmaz) alcsoportjának halmazelméleti metszéspontja a csoport alcsoportja . $G$ $G$
Az alcsoportok halmazelméleti uniójának általában nem kell alcsoportnak lennie. Az alcsoportok uniója halmazok uniója által generált alcsoport . $H$ $K$ $H\cup K$
Az alcsoportok homomorf képe egy alcsoport.
Ha két csoportot adunk meg, és mindegyik izomorf a másik valamelyik valódi részcsoportjával, akkor ebből maguknak a csoportoknak az izomorfizmusa nem következik.

Kapcsolódó osztályok

Egy alcsoporthoz és néhány elemhez a bal oldali coset definiálva van . Egy alcsoport bal oldali cosetjeinek számát az alcsoport indexének nevezzük , és jelöli . Hasonlóképpen definiálhatunk jobb coseteket is . $H$ $a\in G$ $aH=\{ax:x\in H\}$ $H$ $H$ $G$ $[G:H]$ $Ha=\{xa:x\in H\}$

Ha egy alcsoport bal és jobb oldali cosetjei megegyeznek, akkor normálnak nevezzük . Ez a tulajdonság lehetővé teszi egy csoport faktorcsoportjának felépítését egy normál alcsoportból . $G/H$ $G$ $H$

Irodalom

Kurosh A. G. A csoportok elmélete . - 3. kiadás — M .: Nauka, 1967. — 648 p.
Zhuravlev Yu. I. , Flerov Yu. A. , Vyaly M. N. Diszkrét elemzés. A magasabb algebra alapjai . - 2. kiadás - M. : MZ Press, 2007. - S. 24-25. — 224 p.

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció