Periodikus csoport

A periodikus csoport olyan csoport , amelyben minden elemnek véges sorrendje van . Minden véges csoport periodikus. A periodikus csoport fogalmát nem szabad összetéveszteni a ciklikus csoport fogalmával .

Egy periodikus csoport kitevője (vagy periódusa ) az elemsorrendek legkisebb közös többszöröse , ha van ilyen. Minden véges csoportnak van kitevője – ez egy számosztó . $G$ $G$ $|G|$

A csoportelmélet egyik kulcsproblémája – a Burnside-probléma – a periódusos csoportok és a véges csoportok kapcsolatának kérdésével foglalkozik a véges csoportok osztályában , a fő kérdés az, hogy a csoport végessége a csoportok létezéséből következik-e. a kitevő (általános esetben a válasz nemleges).

A végtelen periodikus csoportok példái közé tartozik a polinomgyűrű additív csoportja egy véges mező felett, és a hányadoscsoport , mint a Prufer-csoport , egy alcsoport . Egy másik példa az összes diédercsoport egyesülése . Ezen csoportok egyike sem rendelkezik véges számú generátorral, és minden, véges számú generátorral rendelkező periodikus lineáris csoport véges. Példákat végtelen számú generátorral rendelkező végtelen periodikus csoportokra Golod szerkesztett Shafarevich -szel közös munkája alapján ( Golod -Shafarevich tétel ), valamint Aljosin és Grigorcsuk az automataelmélet segítségével . $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

Matematikai logika

A periodikus csoportok egyik figyelemre méltó tulajdonsága, hogy nem formalizálhatók elsőrendű logikával . Ellenkező esetben az űrlap axiómájára lenne szükség:

\forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )

végtelen diszjunkciót tartalmaz , és ezért elfogadhatatlan. Lehetetlen ezt a végtelen diszjunkciót végtelen számú axiómával megkerülni – a tömörségi tételből következik , hogy egyetlen elsőrendű képlet sem írja le a periodikus csoportok osztályát [1] .

Kapcsolódó fogalmak

Az Abeli-csoport torziós alcsoportja az összes véges rendű elemből álló részcsoport. Az Abeli-torziós csoport olyan Abeli-csoport, amelyben minden elemnek véges rendje van. A torziómentes Abeli-csoport olyan Abeli-csoport, amelyben az azonosságelem az egyetlen véges rendű elem. $A$

Lásd még

Torzió (algebra)
Jordan-Schur tétel

Jegyzetek

↑ Ebbinghaus, Flume, Thomas 1994 , p. ötven.

Irodalom

Golod E. S. Nulla -algebrákról és véges közelíthető p-csoportokról // Izv. Szovjetunió Tudományos Akadémia szer. Mat.. - 1964. - V. 28 , sz. 2 . - S. 273-276 .
Aleshin S. V. Véges automaták és a Burnside-probléma periodikus csoportokon // Math. jegyzetek. - 1972. - T. 11 , sz. 3 . – S. 319–328 .
Grigorchuk R. I. A Burnside-problémáról periodikus csoportokon // Funct. elemzése és alkalmazásai - 1980. - V. 14 , sz. 1 . – S. 53–54 .

Grigorchuk R. I. A végesen generált csoportok növekedési fokai és az invariáns átlagok elmélete // Izv. Szovjetunió Tudományos Akadémia szer. Mat.. - 1984. - T. 48 , sz. 5 . — S. 939–985 .

H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. matematikai logika. - 2. kiad., 4. pr.. - New York [ua]: Springer, 1994. - ISBN 978-0-387-94258-2 .