Folyamatos megjelenítés

A folyamatos leképezés ( folytonos függvény ) az egyik térből a másikba történő leképezés , amelyben a definíciós tartomány közeli pontjai az értéktartomány közeli pontjaiba mennek.

A legáltalánosabb definíció a topológiai terek leképezésére van megfogalmazva: a leképezés akkor tekinthető folytonosnak, ha bármely nyitott halmaz inverz képe nyitott. Más típusú terek - metrikus terek , normatív terek és hasonló terek - leképezéseinek folytonossága az általános (topológiai) definíció közvetlen következménye, de a megfelelő terekben meghatározott struktúrák segítségével fogalmazódik meg - metrikák , normák stb. .

A matematikai analízisben és a komplex elemzésben , ahol a numerikus függvényeket és azok többdimenziós terekre vonatkozó általánosításait vizsgáljuk, a függvény folytonosságát a határok nyelvén vezetjük be : a folytonosság ilyen definíciói voltak történetileg az elsők, és alapul szolgáltak a általános fogalom kialakítása.

A terek közötti folyamatos leképezések megléte lehetővé teszi az egyik tér tulajdonságainak "átvitelét" a másikba: például egy kompakt tér folytonos képe is kompakt.

Az inverz és egy folytonos leképezést tartalmazó folytonos leképezést homeomorfizmusnak nevezzük . A homeomorfizmus ekvivalencia relációt generál a topológiai terek osztályán ; az egymással homeomorf terek ugyanazokkal a topológiai tulajdonságokkal rendelkeznek, és magukat a homeomorfizmusok alatt megőrzött tulajdonságokat topológiai invariánsoknak nevezzük .

Definíciók

A legáltalánosabb definíció a topológiában található .

Folytonosság a topológiai terekben

A topológiai térből a topológiai térbe történő leképezést folyamatosnak mondjuk , ha bármely nyitott halmaz inverz képe nyitott, azaz: $f\kettőspont X\Y-ra$ $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$

\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}

. Folytonosság az altérben

Ha figyelembe vesszük a halmaz valamely részhalmazát , akkor ezen a halmazon természetes módon a topológia indukálódik , amely a halmaz összes lehetséges metszéspontjából áll a topológiában szereplő halmazokkal . $A$ $x$ ${\mathcal {T}}_{A}$ $A$ ${\mathcal {T}}_{X}$

A halmazon folytonos térkép folytonos lesz bármely részhalmazán a rajta indukált topológia értelmében. $f\kettőspont X\Y-ra$ $x$

Folytonosság a pontban

A kontinuitás egy pontban a szomszédságok nyelvén van megfogalmazva, és összekapcsolja a definíciós tartomány egy pontjának szomszédságrendszerét az értéktartomány megfelelő pontjának szomszédságrendszerével.

A leképezést egy ponton folytonosnak nevezzük , ha a pont bármely szomszédságához van olyan pont környéke , hogy . $f\kettőspont X\Y-ra$ $x$ $V$ $f(x)$ $U$ $x$ $f(U)\V. részhalmaz$

Egy leképezés akkor és csak akkor folytonos valamely halmazon, ha az adott halmaz minden pontjában folytonos. [egy]

Ha egy függvény tartománya teljesíti az első megszámlálhatósági axiómát , különösen a metrikus terek esetében, a folytonosság egy pontban ekvivalens az úgynevezett szekvenciális folytonossággal: ha , akkor . Általános esetben a szekvenciálisan zárt halmazok szekvenciálisan folytonos inverz képei szekvenciálisan záródnak, ami analóg a folytonos leképezések ekvivalens definíciójával, amely alatt a zárt halmazok inverz képei zárva vannak. $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$ $\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x)$

Egyenértékű definíciók

A következő állítások egyenértékűek:

minden nyitott készlet prototípusa nyitott;
bármely zárt halmaz inverz képe zárt;
a leképezési tartomány egy pontjának minden környezetének inverz képe a definíciós tartomány megfelelő pontjának szomszédsága;
bármely halmaz lezárásának képe a készlet képének zárásában szerepel;
bármely halmaz előképének lezárását a lezárás előképe tartalmazza.

Így ezek a megfogalmazások mindegyike használható a leképezés folytonosságának definíciójaként.

Folytonosság metrikus és normált terekben

A metrikus terekben a topológiát egy metrika által meghatározott, különböző "sugarú" nyitott golyók családja adja, így az általános definíció ennek a metrikának a értelmében van megfogalmazva (" epszilon-delta " definíció):

A metrikus térből a metrikus térbe történő leképezést folytonosnak mondjuk egy ponton , ha mindenre létezik úgy, hogy minden olyanra, hogy , a következő egyenlőtlenség érvényesül: . $f\kettőspont X\Y-ra$ $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y})$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\X-ben$ $\rho _{X}(x,a)<\delta$ $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepszilon$

Normált lineáris terek esetén (beleértve a Hilbert és a véges -dimenziós euklideszi tereket is) a metrikát egy norma adja meg, tehát ugyanaz a definíció a norma szempontjából.

Legyen leképezés a normált terek között normákkal , ill. Egy függvény folytonos egy pontban , ha bármely számhoz létezik olyan szám , amely minden olyan pontra vonatkozik , ahol az egyenlőtlenség teljesül , $f\colon {N_{1}}\ to {N_{2}}$ $\|{*}\|_{1}$ $\|{*}\|_{2}$ $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\in N_{1}$ $\|xa\|_{1}<\delta$ $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepszilon$

A metrikus terek (és így a normált terek) kielégítik a megszámlálhatóság első axiómáját, így ez a definíció egyenértékű a szekvenciális folytonosság definíciójával.

Folyamatos függvények (functionals)

Számtengely esetén a norma általában a szám modulusa, így a funkcionális (vagy ), ahol tetszőleges topológiai tér , folytonosságának meghatározása a következő: $f:X\rightarrow {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $x$

Egy függvényt folytonosnak nevezünk egy pontban , ha bármely pontnak van olyan környéke , amelyre a feltétel teljesül . $f$ $a\in X$ $\varepsilon >0$ $\Sigma _{a}$ $\forall x\in \Sigma _{a}$ $|f(x)-f(a)|<\varepszilon$

A folyamatos bekapcsolt funkcionalitások (függvények) halmazát általában -vel jelöljük . A folytonos függvények speciális esetei egy numerikus argumentum folytonos függvényei. $x$ $C(X)$

Folyamatos numerikus függvény

Legyen (vagy ). Egy függvény akkor folytonos egy pontban , ha bármely számhoz van olyan szám , amelyre a feltétel minden pontra vonatkozik . $f\colon {\mathbb {R}}\supset E\to {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\E-ben$ $|xa|<\delta$ $|f(x)-f(a)|<\varepszilon$

Más szóval, egy függvény folytonos a halmaz egy határpontjában , ha egy adott pontban van határértéke, és ez a határérték egybeesik a függvény adott pontban lévő értékével: $f$ $a$ $E$

f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{{x\to a}}f(x)=f(a)

Egy függvény akkor folytonos egy halmazon, ha az adott halmaz minden pontjában folytonos. Ebben az esetben azt mondják, hogy az osztály függvénye , és írja be: vagy, részletesebben, . $f$ $E$ $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R})$

Folyamatos leképezések tulajdonságai

Bármely nyitott (zárt) halmaz teljes előképe folyamatos leképezés alatt egy nyitott (zárt) halmaz

Egy kompakt halmaz képe folyamatos leképezés alatt egy kompakt halmaz .

Egy kompakt halmaz folytonos numerikus függvénye korlátos, és eléri felső és alsó határát . Ez a tulajdonság az előzőből következik.

Egy összefüggő halmaz képe folyamatos leképezés alatt összefüggő halmaz .

Tietze tétele . Bármely valós értékű folytonos függvény, amely egy normál tér zárt részhalmazán van definiálva, kiterjeszthető a teljes tér folytonos függvényére.

A folyamatos leképezések összetétele is folyamatos leképezés.
A folytonos valós értékű függvények összege, különbsége és szorzata folytonos.
A lineáris leképezésnek az egyik lineáris topológiai térből a másikba való folytonossága magában foglalja annak korlátosságát. Normált terek esetén a lineáris leképezés folytonossága ekvivalens a határoltságával.
A Stone-Weierstrass-tétel (a klasszikus Weierstrass-tétel általánosítása ). Legyen folytonos függvények tere egy kompakt Hausdorff topológiai téren . Legyen egy konstansokat tartalmazó részhalmaz , amely a függvények összetétele és lineáris kombinációja szempontjából zárt, és tartalmazza egyenletesen konvergens függvénysorozatainak határait is . Ebben az esetben akkor és csak akkor létezik , ha . $C(X)$ $x$ $B(X)$ $C(X)$ $B(X)=C(X)$ $\forall x_{1},x_{2}\in X$ $f\in B$ $f(x_{1})\not =f(x_{2})$

Kapcsolódó definíciók

A homeomorfizmus egy folyamatos egy-egy leképezés az egyik topológiai térből a másikba, folyamatos inverz leképezéssel is.
Egységes folytonosság

Lásd még

Linkek

Matematikai etűdök archiválva : 2011. október 18. a Wayback Machine Cartoonban a folytonosságról

Jegyzetek

↑ A matematikai elemzésben a folytonosság fogalma először lokálisan , egy bizonyos ponton fogalmazódik meg, és a halmaz folytonossága az adott halmaz minden pontjában lévő folytonosságként definiálható.

Irodalom

Kelly JL 3. fejezet: Termékek és faktorterek // Általános topológia = Általános topológia. - 2. kiadás - M . : Nauka, 1981. - S. 119-151. — 438 p.