Tietze folytatási tétele

A Tietze kiterjesztési tétel (vagy a Tietze-Urysohn tétel ) elegendő feltételeket ad egy függvényhez, amely a tér egy részhalmazán van definiálva, és lehetővé teszi a folyamatos kiterjesztést a teljes térre.

Megfogalmazás

Legyen egy normál tér és $x$

f\colon A\to \mathbb {R}

egy zárt részhalmazán definiált folytonos valós értékű függvény . Aztán van egy folyamatos függvény $A\X részhalmaz$

F\colon X\to \mathbb {R}

olyan, hogy mindenkinek . $F(a)=f(a)$ $a\in A$

Sőt, ha korlátos, akkor a függvény választható úgy is, hogy ugyanazzal az állandóval határolja. $f$ $F$

Történelem

Leutzen Brouwer és Henri Lebesgue bebizonyította a tétel egy speciális esetét véges dimenziós valós vektorterekre .
Heinrich Tietze általánosította a tételt az összes metrikus tér esetére .
Pavel Uryson bebizonyította a tételt, amint azt itt leírtuk, normál topológiai terekre. [1] [2]

Változatok és általánosítások

Ez a tétel ekvivalens Urysohn lemmájával .

Ha egy metrikus tér , akkor egy tetszőleges részhalmazán definiált Lipschitz -függvény a teljes térre kiterjed egy Lipschitz-függvényre, ugyanazzal a Lipschitz-állandóval. $x$ $x$

Lásd még

Kirschbrown folytatási tétele

Linkek

↑ Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Urysohn-Brouwer lemma , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Urysohn, Paul (1925), Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen , Mathematische Annalen T. 94 (1): 262–295 , DOI 10.1007/BF01208659 .