Elosztó

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A sokaság ( topológiai sokaság ) az euklideszihez lokálisan hasonló tér . Az euklideszi tér a sokaság legegyszerűbb példája. Egy sokaság dimenzióját annak az euklideszi térnek a mérete határozza meg, amellyel lokálisan hasonló.

Bonyolultabb példa a Föld felszíne : elkészíthető a Föld bármely területéről térkép , például egy félgömb térképe, de lehetetlen egyetlen (lapos és megszakítások nélküli) ) teljes felületének térképe.

A sokaságok tanulmányozása a 19. század második felében kezdődött, természetesen a differenciálgeometria és a Lie-csoportok elméletének tanulmányozásában merültek fel . Az első pontos meghatározások azonban csak a XX. század 30-as éveiben születtek.

Általában az úgynevezett sima sokaságokat veszik figyelembe , vagyis azokat, amelyeken a sima függvények megkülönböztetett osztálya található - az ilyen sokaságokban beszélhetünk érintővektorokról és érintőterekről. A görbék és szögek hosszának méréséhez szükségünk van egy további szerkezetre - a Riemann-metrikára .

A klasszikus mechanikában a mögöttes elosztó a fázistér . Az általános relativitáselméletben a téridő modelljeként egy négydimenziós pszeudo-Riemann-féle sokaságot használnak .

Definíciók

$n$ A határ nélküli -dimenziós topológiai sokaság egy megszámlálható bázisú Hausdorff-topológiai tér , amelyben minden pontnak van egy nyílt részhalmazzal homeomorf nyílt szomszédsága , vagyis egy -dimenziós euklideszi tér . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

$n$ -dimenziós topológiai sokaság[ pontosítás ] egy Hausdorff topológiai tér megszámlálható bázissal , amelyben minden pontnak van egy homeomorf szomszédja egy zárt féltér nyitott részhalmazával (a nyitott részhalmazok nyitott unióit is figyelembe vesszük határuk és határhipersíkjuk metszéspontjával) . $\mathbb {R} ^{n}$

Azokat a pontokat, amelyek egy nyitott részhalmaznak homeomorf nyitott szomszédságában vannak, belsőnek nevezzük , és az összes ilyen pont halmaza a sokaság belseje (ez mindig nem üres halmaz). $\mathbb {R} ^{n}$
A belső kiegészítést határnak nevezzük , ez egy határ nélküli -dimenziós sokaság. $(n-1)$

A meghatározás jellemzői

Az alap megszámlálhatósági feltétele egyenértékű azzal, hogy a sokaság véges dimenziójú euklideszi térbe ágyazódik be (az ilyen beágyazás létezését Whitney beágyazási tétele is megerősíti ) .
Néha az alap megszámlálhatósági feltétel helyett egy gyengébb feltételt használnak a parakompakt térhez [1] .
Az itt bevezetett él fogalma semmiképpen sem ekvivalens az általános topológia relatív határának fogalmával.
Az a követelmény, hogy Hausdorff legyen, feleslegesnek tűnhet; Példa egy olyan térre, amely lokálisan homeomorf az euklideszire, de nem Hausdorffra, megszerkeszthető úgy, hogy a valódi vonal két másolatát egy pont kivételével mindenhol összeragasztjuk.

Sima elosztók

Az alább definiált sima szerkezet szinte minden alkalmazásban előfordul, és sokkal könnyebbé teszi az elosztóval való munkát.

Határ nélküli topológiai sokaság esetén a térkép egy nyílt halmazból egy nyílt részhalmazba történő homeomorfizmus . A mindent lefedő térképkészletet atlasznak nevezzük . $M$ $\varphi$ $U\ részhalmaz M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M$

Ha két térkép és egy pontot fed le a -ban , akkor ezek összetétele meghatároz egy térkép „ragasztását” a nyitott halmazból a nyitott halmazba . Ha minden ragasztási leképezés egy osztályból származik (azaz folyamatosan differenciálható függvények szorzata), akkor az atlaszt atlasznak nevezzük ( a vagy -t is figyelembe vehetjük , ami korlátlanul differenciálható és analitikus ragasztásoknak felel meg). $\varphi$ $\psi$ $M$ $\varphi\circ\psi^{-1}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^k$ $k$ $C^k$ $k=\infty$ $\omega$

Példa: egy gömb lefedhető - két térképből álló atlaszsal az északi és a déli pólus kiegészítésein , ezekhez a pólusokhoz viszonyított sztereografikus vetületekkel . $C^\infty$

Két atlasz egy sima szerkezetet határoz meg, ha az egyesülésük -atlas . $C^k$ $C^k$ $C^k$

Az ilyen sokaságokhoz bevezethetjük az érintővektor , az érintő- és kotangens terek, valamint a kötegek fogalmát .

Egy adott -sima szerkezethez találhatunk egy új -atlasz által adott -sima szerkezetet, amely ugyanazt a -sima szerkezetet határozza meg. Ráadásul az így kapott összes ilyen sokaság -diffeomorf. Ezért a sima szerkezetet gyakran -sima szerkezetként értelmezik. $C^1$ $C^\infty$ $C^\infty$ $C^1$ $C^\infty$ $C^1$

Nem minden topológiai sokaság enged sima szerkezetet. Ilyen „durva” elosztókra már a negyedik dimenzióban is megjelennek példák. Vannak példák topológiai sokaságra is, amelyek több különböző sima szerkezetet engednek meg. A nem szabványos sima szerkezet első ilyen példáját, az úgynevezett Milnor-gömböt Milnor építette meg egy hétdimenziós gömbön.

Példák

Az elosztó legegyszerűbb példája a terek $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
A kör az 1-es dimenziójú sokaság. Általában minden nem önmagát metsző körvonal tekinthető egydimenziós sokaságnak. Vegye figyelembe, hogy nem sima kontúr esetén a beágyazás megfelelő leképezése nem sima elosztók leképezése. $\mathbb {R} ^{n}$
A lemez egy elosztó határvonallal .
Bármely él nélküli kétdimenziós felület egy példa a kétdimenziós sokaságra ( gömb , tórusz , perec ,…). A jól ismert topológiai osztályozási tétel szerint bármely tájolható kétdimenziós sokaság gömb alakú, több ragasztott fogantyúval.
A Möbius-szalag egy kétdimenziós, nem tájolható, határvonalas elosztó egy példája. A nem tájolható, határ nélküli kétdimenziós sokaságra példa a projektív sík (a vonalak sokasága -ben ). Ne feledje, hogy nem ágyazható be . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$
Az elosztók fenti példái egyedülállóan sima szerkezettel ruházhatók fel. Nagyobb dimenziókban azonban ugyanazon a topológiai sokaságon különböző sima szerkezetek lehetségesek.
A tetszőleges dimenziójú sokaságok nem triviális példái a projektív terek (különféle vonalak a -ban ) és a Grassmann-féle sokaságok (különféle -dimenziós alterek -ben ). $\RP^n$ $\R^{n+1}$ $\mathrm{Gr}(k,n)$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$

Elosztó-típusok

A zárt elosztó egy kompakt csatlakoztatott elosztó, határok nélkül. Példák: kör , gömb , tórusz , Klein palack .
A nyitott elosztó egy nem kompakt csatlakoztatott , határ nélküli elosztó. Példák: Euklideszi tér .

Elosztók osztályozása

Minden összekapcsolt egydimenziós sokaság határ nélkül homeomorf egy valós egyeneshez vagy körhöz.

A zárt összefüggő felület homeomorf osztályát annak Euler-karakterisztikája és orientálhatósága adja meg (ha a felület orientálható, akkor fogantyús gömb , ha nem, akkor a projektív sík több másolatának összefüggő összege ).

A zárt 3 -as sokaság osztályozása Thurston sejtéséből következik , amelyet nemrég Perelman igazolt .

Ha a méret nagyobb, mint három, akkor az osztályozás lehetetlen; ráadásul nem lehet olyan algoritmust létrehozni, amely meghatározza, hogy egy sokaság egyszerűen össze van-e kapcsolva . Van azonban egy besorolása az összes egyszerűen csatlakoztatott elosztónak, minden méretben ≥ 5.

A sima elosztókat is osztályozhatjuk.

Az 1., 2. és 3. dimenzióban bármely pár homeomorf sokaság szintén diffeomorf.
A 4. dimenzióban vannak példák zárt elosztókra, amelyek végtelen számú, nem egyenértékű sima szerkezetet engednek be, míg a nyitott elosztók, mint például a különböző sima szerkezetek folytonosságát . $\R^4$
Az 5-ös és nagyobb méretekben bármely topológiai sokaság legfeljebb véges számú, nem egyenértékű sima szerkezetet fogad be.

További struktúrák

A sima elosztókat gyakran további szerkezetekkel látják el. Íme a leggyakrabban előforduló további struktúrák listája:

Metrikus tenzor
Szimlektikus forma
Összetett szerkezet

Változatok és általánosítások

Lásd még

Algebrai változat
gráf-sokaság

Jegyzetek

↑ S. Lang. Bevezetés a differenciálható elosztókba. — 2. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 p. — ISBN 0-387-95477-5 .

Irodalom

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. modern geometria. Módszerek és alkalmazások. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 p.

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika