Whitney beágyazási tétele

Whitney beágyazási tétele a differenciális topológia állítása , amely szerint egy tetszőleges sima dimenziós sokaság megszámlálható bázissal lehetővé teszi a sima beágyazást a dimenziós euklideszi térben . Hassler Whitney alapította 1938 - ban . $m$ $2 m$

Ez az eredmény optimális, ha például kettő hatványa , akkor a -dimenziós projektív tér nem ágyazható be a -dimenziós euklideszi térbe. $m$ $m$ $(2m-1)$

Bizonyítási séma

Az esetek és közvetlenül vannak beállítva. $m=1$ $m=2$

Az eset bizonyítására azt a tényt használjuk fel, hogy egy általános sima térkép egy bemerülés véges számú keresztirányú önmetszésponttal . $m\geqslant 3$ $f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$

Megszabadulhat ezektől az önmetszéspontoktól, ha többször alkalmazza a Whitney-trükköt . A következőkből áll. Vegyük a leképezés önmetszéspontjait , amelyek különböző előjelűek. Vegyünk pontokat , amelyekért és . Csatlakoztassuk és simítsuk a görbét . Csatlakoztassuk és simítsuk a görbét . Ekkor van egy zárt görbe a -ban . Ezután készítünk egy leképezést egy határvonallal . Általánosságban elmondható, hogy befektetés és (csak itt az a tény, hogy ) használják. Ezután lehetséges a lemez egy kis szomszédságában izotópozni úgy, hogy ez a pár önmetszéspont eltűnjön. Könnyű elhinni az utolsó állítást, ha bemutatunk egy képet (amelyben a lemez tulajdonságai véletlenül teljesültek, nem pedig általános helyzetből). Pontos bizonyítékot ad Prasolov [1] könyvének 22.1 bekezdése . ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2m))$ $f$ $x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M$ $f(x_{p})=f(y_{p})=p$ $f(x_{q})=f(y_{q})=q$ ${\displaystyle x_{p))$ ${\displaystyle x_{q))$ $x\subset M$ $y_{p}$ ${\displaystyle y_{q))$ $y\subset M$ $f(x\cup y)$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m))$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(x\cup y)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $f$ $h(D^{2})$ $m=1$

Íme egy vázlat egy másik módszerről, amellyel megszabadulhatunk a térkép általános helyzetű metszéspontjaitól . Az átvétel fontos gondolatán alapul . (Néha ennek a másik ötletnek az alkalmazását tévesen Whitney trükkjének nevezik.) Vegyük a leképezés önmetszéspontját . Vegyünk pontokat , amelyekért . Csatlakoztassuk és simítsuk a görbét . Ekkor van egy zárt görbe a -ban . Ezután készítünk egy leképezést egy határvonallal . Általánosságban elmondható, hogy befektetés és (csak itt az a tény, hogy ) használják. Most már izotópozhatunk a lemez egy kis szomszédságában, így ez az önmetszéspont eltűnik. Részletekért és általánosításokért lásd Rourke és Sanderson könyvét [2] és Szkopenkov áttekintésének 8. bekezdését [3] . Ezt az érvelést általában a darabonkénti lineáris kategóriában hajtják végre. Sima kategóriában (mint itt) az utolsó alakváltozáshoz a gömbök csomómentességére vonatkozó Haefliger-tételt kell használni (lásd [1] ). $f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $p\in \mathbb{R} ^{{2m}}$ $f$ $x,y\-ben M$ $f(x)=f(y)=p$ $x$ $y$ $l\subset M$ $f(l)$ $\mathbb{R} ^{{2m}}$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(l)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $f$ $h(D^{2})$

Változatok és általánosítások

Legyen egy sima- dimenziós sokaság, . $M$ $m$ $m>1$

Ha nem kettő hatványa, akkor van beágyazás $m$ $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
$M$ be lehet tölteni $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
- Sőt, bele lehet meríteni a -ba , ahol az 1-ek száma bináris ábrázolásban . $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-a}}$ $a$ $m$
  - Az utolsó eredmény az optimális, bármelyikhez létre lehet hozni olyan -dimenziós sokaságot (vehetjük
  valós projektív terek szorzatát ), amelybe nem lehet belemerülni . $m$ $m$ $\mathbb{R} ^{{2m-a-1}}$

Lásd még [4] [5]

Jegyzetek

↑ V. V. Prasolov , A homológiaelmélet elemei A Wayback Machine 2010. április 3-i archív másolata
↑ CP Rourke, BJ Sanderson, Bevezetés a darabos-lineáris topológiába, Springer, 1972.
↑ Skopenkov, A. (1999), New Results on embedding of polyhedra and monifolds in Euclidean spaces, Russian Math. Surveys T. 54 (6): 1149-1196
↑ Skopenkov, A. (2008), Sokaságok beágyazása és csomózása euklideszi terekben , in: Surveys in Contemporary Mathematics, Szerk. N. Young és Y. Choi, London Math. szoc. lect. jegyzetek. T. 347(2): 248-342, ISBN 13 , < http://arxiv.org/abs/math/0604045 > Archiválva : 2020. július 25. a Wayback Machine -nél
↑ Mellékletek osztályozása (eng.) . Hozzáférés dátuma: 2017. december 18. Az eredetiből archiválva : 2017. december 22. (határozatlan)

Irodalom

Orevkov S.Yu. Whitney tételének fizikai bizonyítása síkgörbékről// " Mathematical Education " gyűjtemény. Harmadik sorozat. 1997. 1. szám. 96-102