Euler-képlet (differenciálgeometria)

Az Euler -képlet egy olyan képlet, amely lehetővé teszi egy felület normál görbületének kiszámítását.

Leonhard Eulerről nevezték el , aki 1760-ban bizonyította.

Megfogalmazás

Legyen szabályos felület a háromdimenziós euklideszi térben . Legyen - egy pont - egy érintősík egy ponthoz - egy egység normális egy ponthoz a - egy sík, amely áthalad és valamilyen egységvektor -ban . A sík és a felület metszéspontjaként kapott görbét a felület normál metszetének nevezzük egy adott irányban $\Phi$ $p$ $\phi ,$ $T_{p}$ $\Phi$ $p,$ $n$ $\Phi$ $p,$ $\pi _{e}$ $n$ $e$ $T_{p}$ $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $p$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

ahol a skaláris szorzatot jelöli , és a görbületi vektort a pontban , a felület normál görbületének nevezzük . Egy előjelig a normál görbület egyenlő a görbe görbületével . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $p$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Az érintősíkban két merőleges irány van, és így a normál görbület tetszőleges irányban az úgynevezett Euler -képlettel ábrázolható : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

hol van ezen irány és szög közötti szög , a az értékek és a normál görbületek az irányokban és , ezeket főgörbületeknek nevezzük , az irányokat pedig a felület fő irányai a pontban . A fő görbületek a normál görbületek szélső értékei. A normál görbületek szerkezete a felület egy adott pontjában kényelmesen ábrázolható grafikusan a Dupin- indikátor segítségével . $\alpha$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $p$

Lásd még

Linkek

Euler, Leonhard (1760), Recherches sur la courbure des surfaces , Memoires de l'academie des sciences de Berlin T. 16: 119–143, 1767 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333 .html > .