Feltételes szélsőség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Feltételes szélsőérték - az a maximális vagy minimális érték, amelyet egy halmazon definiált és valós értékeket felvevő függvény elér, feltéve, hogy néhány más, azonos definíciós tartományú függvény értékei bizonyos korlátozó feltételeknek vannak kitéve (ha vannak ilyenek). nincs ilyen további feltétel, akkor feltétel nélküli szélsőségről beszélnek ) [1] . $G$

Közelebbről, a halmaz egy aritmetikai vektortér részhalmaza lehet , és a fenti korlátozások megadhatók egyenlőségként vagy egyenlőtlenségként . Az alábbiakban megvizsgáljuk a klasszikus feltételes szélsőséges feladatot , amelyben minden feltétel egyenlőség formájában adott, valamint a Lagrange-problémát , a variációszámítás egyik klasszikus problémáját [1] . $G$ $\mathbb{R} ^{n},$

A klasszikus probléma kijelentése feltételes szélsőséghez

Legyen nyitott halmaz , és függvények adottak rá Let ${G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ $y_{i}=f_{i}({\vec {x))),\;i=1,2,\dots ,m.$ $E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2 ,\pontok ,m\,\rkapcsos zárójel .$

Egyenletek

(*)\qquad f_{i}({\vec {x)))=0

kényszeregyenleteknek nevezzük ( a terminológiát a mechanikából kölcsönöztük ).

Legyen egy függvény is definiálva Egy pontot egy adott függvény feltételes szélsőértékének pontjának nevezzük a kényszeregyenletekhez képest, ha egy függvény szokásos (feltétel nélküli) szélsőértékének pontja egy halmazon (módosítása az extrémum definíciója redukálódik arra a tényre, hogy a kerületek helyett -ben , azaz a -ben lévő városrészek számítanak benne, akkor van ) [2] . $G$ $y=f_{0}({\vec {x))).$ ${\vec {x}}_{0}\in E$ $(*),$ $f_{0}$ $E$ $G$ $U_{G}({\vec {x}}_{0})$ $E$ $U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E$

Lagrange-szorzók módszere a feltételes szélsőséges feladat megoldására

Tétel

Tegyük fel, hogy a klasszikus probléma megfogalmazásában a feltételes szélsőértékre megjelenő összes függvény folyamatosan differenciálható , és legyen a függvény feltételes szélsőpontjának pontja, amikor a kényszeregyenletek teljesülnek , ekkor a gradiensek lineárisak függő , azaz pl. de [3] . ${\vec {x}}_{0}$ $f_{0}$ $(*).$ $\nabla f_{i},\,i=0,1,\dots ,m$ $\exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i }|\neq 0,$ $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0$

A számokat Lagrange -szorzóknak nevezik , és egy tetszőleges nem nulla állandóval való szorzásig definiálhatók. A legérdekesebb az az eset , amikor (ekkor mindent megszorozva egy megfelelő nem nulla állandóval a tényező egyenlővé tehető , és így teljesen kizárható a számításból). Ilyen helyzetben az imént megfogalmazott tétel helyett a következő következményt használjuk belőle [4] . $\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m$ $\lambda _{0}\neq 0$ $\lambda _{{i}}$ $\lambda _{0}$ $egy$

Következmény

Ha a függvény feltételes szélsőértékének egy pontja a kényszeregyenletekhez képest és a benne lévő gradiensek lineárisan függetlenek , akkor úgy, hogy egy adott pontban koordináta alakban ez a vektoregyenlőség ekvivalens az egyenlőségek teljesülésével ${\vec {x}}_{0}$ $f_{0}$ $(*),$ $\nabla f_{i},i=1,\dots ,m$ ${\displaystyle \exists \,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ $\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.$

(**)\qquad {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{ \frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\partial f_{ m}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,

ahol [3] . $i=1,\pontok ,n$

Az egyenlőségeket a következőképpen értelmezhetjük. Tegyük fel, hogy ezek az egyenlőségek számokra érvényesek, és egyesítsük őket egy oszlopba. Állítsa össze a Lagrange-függvényt : $(**)$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}_{0}.$

L({\vec {x));{\vec {f)),{\vec {\lambda )))=f_{0}({\vec {x)))+\sum _{i =1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x)))\,,

hol vannak tetszőleges számok. Ekkor a pont a Lagrange-függvény stacionárius pontja , és az egyenlőségeket így írhatjuk fel ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ $(**)$

{\frac {\partial L}{\partial x_{1))}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2))}\,=\,\dots \ ,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{n))}\,=\,0\,;

ezek a relációk a pont stacionaritási feltételei, melyekhez hozzáadva a kényszeregyenleteket, egyenleteket kapunk az ismeretlenekre [5] [6] . ${\vec {x}}_{0}.$ $(*),$ $n+m$ $n+m$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$

Példa. Keresse meg egy körbe írt maximális területű téglalap oldalait Itt A Lagrange függvény $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $n=2,$ $m=1,$ $f_{0}(x,y)=4xy,$ $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})

és a stacionaritás feltételeinek felírása a feltételes szélsőpontban

{\frac {\partial L}{\partial x))\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y)) \equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,

találjuk: és (a maximális területű téglalap négyzetnek bizonyult ) [6] . $\lambda =-2$ $x=y=r/{\sqrt {2}}$

A feltételes szélsőség elégséges feltétele

Ha az egyenlőségek teljesülnek , és ugyanakkor (továbbá feltételezzük, hogy azon a ponton , ahol a klasszikus probléma megfogalmazásában szereplő összes függvény egy feltételes szélsőértékre kétszer folytonosan differenciálható) negatív (pozitív) határozott másodfokú alak . a változókat, akkor a függvény szigorú feltételes maximumának pontja (szigorú feltételes minimum pozitív határozott alak esetén). Ha a figyelembe vett másodfokú forma nem előjel-határozott, akkor nincs feltételes szélsőérték [7] . $(**)$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\rm {d}}^{2}L$ ${\rm {d}}x_{1},\dots ,{\rm {d}}x_{n},$ ${\vec {x}}_{0}$ $f_{0}$

A Lagrange-probléma

Ez a probléma a variációszámításhoz tartozik, és a klasszikus probléma egyik lehetséges általánosítása egy feltételes szélsőségre. A Lagrange-problémában egy szegmensre adott, folyamatosan differenciálható függvényt kell találni, amely egy szélsőséget (maximum vagy minimum) ad a funkcionálisnak. ${\vec {x}}={\vec {x}}(t),$ $[t_{0},t_{1}]$

J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\pont {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t

(a pont a differenciálás működését jelöli -hez viszonyítva ) rögzített peremfeltételek mellett és a kényszeregyenletek teljesülését $t$ ${\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},$ ${\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}$

f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\pont {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,

ahol [8] [9] . $i=1,2,\pontok ,m$

Ebben a feladatban a Lagrange-szorzók módszere is alkalmazható. Feltételezve, hogy a kényszeregyenletek függetlenek, ismeretlen függvényeket veszünk figyelembe, és az eredeti problémát egy korlátlan optimalizálási feladatra redukáljuk, az integrandust lecserélve a függvényre. $m$ $\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$

\Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\pont {\vec {x}}}(t))\,+\,\sum _ {i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\pont {\vec {x}} }(t))\,;

az egyenlőségek analógjaként (azaz a szélsőséghez szükséges feltételek szerepében) most az Euler-Lagrange egyenletek hatnak , amelyek a vizsgált esetben a következő alakúak $(**)$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\pont {x}}_{k}}}- {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{k))}\,=\,0\,,

ahol ezekből a közönséges differenciálegyenletekből a kényszeregyenletekkel kiegészítve (a meglévő peremfeltételeket figyelembe véve) ismeretlen függvényeket találunk [10] . $k=1,2,\dots ,n.$ $n$ $n+m$ $x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Vapnyarsky I. B. . Feltételes szélsőség // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. Archív példány 2020. november 17-én a Wayback Machine -nél - 1248 stb. - Stb. 565-566.
↑ Kudrjavcev, 2. kötet, 1981 , p. 92-93.
↑ 1 2 Kudrjavcev, 2. kötet, 1981 , p. 96.
↑ Alekszejev, Tyihomirov, Fomin, 1979 , p. 48.
↑ Kudrjavcev, 2. kötet, 1981 , p. 96-97.
↑ 1 2 Korn és Korn, 1978 , p. 336.
↑ Kudrjavcev, 2. kötet, 1981 , p. 110.
↑ Alekszejev, Tyihomirov, Fomin, 1979 , p. 40-41, 80-81.
↑ Korn és Korn, 1978 , p. 346-349.
↑ Korn és Korn, 1978 , p. 348-349.

Irodalom

Alekszejev V. M. , Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. Optimális vezérlés. — M .: Nauka , 1979. — 432 p.
Korn G., Korn T. . Matematika kézikönyv tudósok és mérnökök számára. 4. kiadás — M .: Nauka , 1978. — 832 p.
Kudrjavcev L. D. . Matematikai elemzés tanfolyam. T. 2. - M. : Felsőiskola , 1981. - 584 p.