Variációs elvek

A mechanika alapelvei a kezdeti pozíciók, amelyek a mechanikai jelenségek olyan általános törvényeit tükrözik, amelyekből következésképpen minden egyenlet, amely meghatározza egy mechanikai rendszer mozgását (vagy egyensúlyi feltételeit), megkapható. A mechanika fejlődése során számos ilyen alapelv született, amelyek mindegyike a mechanika alapjaként tekinthető, amit a mechanikai jelenségek tulajdonságainak és mintázatainak sokfélesége magyaráz. Ezek az elvek nem variációs és variációs elvekre oszlanak .

Nem variációs elvek

A mechanika nem variációs elvei közvetlenül meghatározzák a rendszer által a rá ható erők hatására végrehajtott mozgás törvényeit. Ezek az alapelvek közé tartozik például Newton 2. törvénye , amely szerint a rendszer bármely pontja elmozdulásakor tömegének és gyorsulásának szorzata egyenlő a pontra ható erők összegével , valamint a d'Alembert . elv .

A nem variációs elvek bármely mechanikai rendszerre érvényesek, és viszonylag egyszerű matematikai kifejezésük van. Alkalmazásuknak azonban csak a mechanika keretei szabnak határt, mivel az olyan tisztán mechanikai fogalom, mint az erő , közvetlenül belép az elvek kifejezéseibe . A következő is jelentős. A legtöbb mechanikai problémában a nem szabad rendszerek mozgását veszik figyelembe, vagyis olyan rendszereket, amelyek mozgását kényszerek korlátozzák . Ilyen rendszer például mindenféle gép és mechanizmus, ahol a csatlakozások csapágyak, zsanérok, kábelek stb., valamint szárazföldi szállításnál az útalap vagy a sínek. Egy nem-szabad rendszer mozgásának nem-variációs elvek alapján történő tanulmányozásához a kötések hatásának hatását ki kell cserélni néhány erővel, amelyet a kötések reakcióinak nevezünk . De ezeknek a reakcióknak a nagysága nem ismert előre, mivel attól függ, hogy mivel egyenlők, és hol hatnak a rendszerre ható adott ( aktív ) erők, mint például a gravitáció , a rugórugalmasság , a tolóerő stb. ., és arról is, hogyan mozog a rendszer. Ezért az összeállított mozgásegyenletek további ismeretlen mennyiségeket fognak tartalmazni kényszerreakciók formájában, ami általában jelentősen megnehezíti a teljes megoldási folyamatot.

A variációs elvek előnye, hogy azonnal megadják a megfelelő mechanikai rendszer mozgásegyenleteit, amelyek nem tartalmaznak ismeretlen kényszerreakciókat. Ezt úgy érjük el, hogy a kapcsolatok hatását nem úgy vesszük figyelembe, hogy ismeretlen erőkkel (reakciókkal) helyettesítjük őket, hanem azokat az elmozdulásokat vagy mozgásokat (vagy sebesség- és gyorsulásnövekedéseket), amelyek ennek a rendszernek a pontjai. lehet ezen kapcsolatok jelenlétében. Például, ha egy M pont egy adott sima (ideális) felület mentén mozog, ami egy kapcsolat számára, akkor ennek a kapcsolatnak a hatása figyelembe vehető.

Variációs elvek

A variációs elvek tartalma , hogy olyan tulajdonságokat (jeleket) állapítanak meg, amelyek lehetővé teszik egy mechanikai rendszer valódi, azaz adott erők hatására ténylegesen bekövetkező mozgásának megkülönböztetését annak bizonyos kinematikailag lehetséges mozgásaitól (ill. a rendszer egyensúlyi állapotát a többi lehetséges állapotából). ). Általában ezek a tulajdonságok (jelek) abból állnak, hogy a valódi mozgáshoz valamilyen fizikai mennyiség, amely a rendszer jellemzőitől függ, a legkisebb értékű az értékeihez képest az összes kinematikailag lehetséges mozgásban. Ebben az esetben a variációs elvek eltérhetnek egymástól a feltüntetett fizikai mennyiség és a figyelembe vett kinematikailag lehetséges mozgások jellemzői, valamint maguk a mechanikai rendszerek jellemzői, amelyekre ezek az elvek érvényesek. A variációs elvek alkalmazása megköveteli a variációszámítás módszereinek alkalmazását .

A variációs elveket formailag úgynevezett differenciálra osztják, amelyben megállapítják, hogy a rendszer valódi mozgása miben tér el az adott időpillanatban kinematikailag lehetséges mozgásoktól, valamint integrálokra, amelyekben ez a különbség megállapítható. a rendszer által valamilyen véges időn keresztül végrehajtott mozgásokra.

A mechanika keretein belüli differenciális variációs elvek általánosabbak és gyakorlatilag minden mechanikai rendszerre érvényesek. Az integrál variációs elvek a leggyakoribb formájukban csak az úgynevezett konzervatív rendszerekre érvényesek, vagyis olyan rendszerekre, amelyekben a mechanikai energia megmaradásának törvénye érvényesül. A differenciális variációs elvektől és a nem variációs elvektől eltérően azonban az erők helyett olyan fizikai mennyiséget tartalmaznak, mint az energia , ami lehetővé teszi ezen elvek kiterjesztését nem mechanikai jelenségekre, így az összes elméleti fizika számára fontosak .

Differenciálelvek

A fő különbségi variációs elvek a következők:

  1. a lehetséges elmozdulások elve , amely megteremti az egyensúlyi feltételt egy ideális csatlakozású mechanikai rendszer számára; ennek az elvnek megfelelően egy mechanikai rendszer egyensúlyi helyzetei abban különböznek minden más számára lehetséges helyzettől, hogy csak az egyensúlyi helyzetekre a rendszer bármely lehetséges elmozdulásakor a rendszerre ható összes (aktív és reaktív) erő elemi munkájának összege. egyenlő nullával.
  2. d'Alembert-Lagrange-elv , amely szerint egy ideális kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszer valódi mozgása abban különbözik az összes kinematikailag lehetséges mozgástól, hogy csak az egyes időpillanatokban történő valódi mozgás esetén az összes aktív, reaktív és reaktív elem elemi munkájának összege. a rendszerre kifejtett tehetetlenségi erő bármely lehetséges eltolási rendszernél nulla. Ezekben a variációs elvekben a figyelembe vett fizikai mennyiség az erők munkája.

A differenciális variációs elvek közé tartozik még a Gauss-elv ( a legkisebb kényszer elve ), amelyben a vizsgált fizikai mennyiség az ún. "kényszer", amelyet a rendszer pontjainak adott erőivel és gyorsulásaival fejeznek ki, valamint a szorosan kapcsolódó Hertz -elv ( a legkisebb görbület elve ).

Integrál alapelvek

Az integrál variációs elvek közé tartoznak a legkisebb (stacionárius) cselekvés elvei , amelyek szerint a rendszer két helyzete közötti kinematikailag lehetséges mozgásai közül az az igaz, amelyre a cselekvésnek nevezett fizikai mennyiségnek minimális értéke van. . Ezen elvek különböző formái a cselekvés nagyságának megválasztásában és a rendszer kinematikailag lehetséges mozgásainak egymáshoz viszonyított jellemzőiben különböznek egymástól.

A mechanikai rendszerek tulajdonságainak és mozgási törvényeinek tanulmányozása során mind a nem-variációs, mind a variációs elveket megállapították. Mivel a mechanikai jelenségek más fizikai jelenségekhez hasonlóan sok törvényszerűségnek vannak kitéve, számos elv, köztük a variációs elv is érvényesnek bizonyul a megfelelő mechanikai rendszerekre. Ha bármelyiket kiindulónak vesszük, akkor ebből következésképpen nem csak egy adott rendszer mozgásegyenletei kapjuk meg, hanem minden más, erre a rendszerre érvényes alapelv is.

Alkalmazás

A variációs elveket mind a mechanikai rendszerek mozgásegyenleteinek legegyszerűbb formában történő összeállítására, mind e mozgások általános tulajdonságainak tanulmányozására használják. A fogalmak megfelelő általánosításával a kontinuummechanikában , termodinamikában , elektrodinamikában , kvantummechanikában , relativitáselméletben stb. is használatosak. A variációs elvek, különösen a Lagrange-elv megvalósítása szempontjából különböző módszereket különböztetnek meg. Általános esetben a Lagrange-féle stacionaritás követelménye parciális differenciálegyenlet-rendszert és a kezdeti határérték-problémák megfelelő spektrumát adja ( az Euler-egyenletek ). Ha az általános megfogalmazás háromdimenziós, akkor a Vlasov-módszer lehetővé teszi a probléma dimenziójának csökkentését, kétdimenziósra redukálva (példa - héjelmélet ), közönséges differenciálegyenlet-rendszerré (példa - rúdelmélet ) vagy egy véges / végtelen algebrai egyenletrendszerre ( Rayleigh-Ritz módszer , végeselem módszer ).

Történelem

Még az ókori természetfilozófusok (például Arisztotelész ) is azt feltételezték, hogy „a természet semmit sem tesz hiába, és minden megnyilvánulásában a legrövidebb vagy legkönnyebb utat választja” [1] . A „legrövidebb” vagy „legkönnyebb” kifejezések konkrét jelentését azonban nem határozták meg [2] . Claudius Ptolemaiosz megmutatta, hogy amikor egy fénysugár visszaverődik, annak teljes útja akkor a legrövidebb, ha a beesési szög megegyezik a visszaverődés szögével, ami a gyakorlatban megfigyelhető. Figyelmeztetett azonban, hogy fénytörés esetén az út (szaggatott vonal) már nem lesz a legrövidebb [3] .

A tudománytörténet első variációs elvét Pierre de Fermat fogalmazta meg 1662-ben, és kifejezetten a fénytörésre utalt. Fermat kimutatta, hogy ebben az esetben nem az út, hanem az idő a kritérium - a nyaláb olyan szögben törik meg, hogy a teljes utazási idő minimális [4] . Modern jelöléssel a Fermat-elv a következőképpen írható fel:

Itt  látható a közeg törésmutatója [3] .

A Fermat-elv matematikai kutatását és fejlesztését Christian Huygens [5] végezte , majd a témát a 17. század legnagyobb tudósai aktívan tárgyalták. Leibniz 1669-ben vezette be a cselekvés alapvető fogalmát a fizikába : „A mozgás formális cselekvései arányosak... az anyagmennyiség, az általuk megtett távolságok és a sebesség szorzatával.”

A mechanika alapjainak elemzésével párhuzamosan módszereket dolgoztak ki a variációs problémák megoldására. Isaac Newton a " Matematical Principles of Natural Philosophy " (1687) című művében felállította és megoldotta az első variációs problémát: találni egy olyan forradalmi testet, amely ellenálló közegben a tengelye mentén mozog, amelyre a tapasztalt ellenállás a legkisebb lenne. . Szinte egyidejűleg más variációs problémák is megjelentek: a brachistochrone (1696), a felsővezeték alakja stb.

A döntő események 1744-ben történtek. Leonhard Euler publikálta az első általános munkát a variációszámításról ("A maximum vagy minimum tulajdonságokkal rendelkező görbék megtalálásának módszere"), Pierre-Louis de Maupertuis pedig "A különböző természeti törvények egyetértése, amely eddig. összeegyeztethetetlennek tűnt" - adta meg a legkisebb cselekvés elvének első megfogalmazását : "A fény által követett út az az út, amelyen a cselekvés mennyisége a legkisebb lesz." Bemutatta ennek a törvénynek a teljesülését mind a fényvisszaverődés, mind a fénytörés tekintetében. Maupertuis cikkére válaszul Euler (ugyanabban az 1744-ben) publikálta „A kidobott testek mozgásának meghatározásáról nem ellenálló közegben a maximumok és minimumok módszerével” című munkáját, és ebben a munkájában megadta. Maupertuis alapelve egy általános mechanikai jelleg: "Mivel minden természeti jelenség a maximum vagy minimum bármely törvényét követi, nem kétséges, hogy a kidobott testeket leíró görbe vonalak esetében, amikor bármilyen erő hat rájuk, valamilyen maximum vagy minimum tulajdonság. Továbbá Euler megfogalmazta ezt a törvényt: a test pályáját hajtja végre, majd alkalmazta, levezetve a mozgás törvényeit egy egységes gravitációs térben és számos más esetben.

1746-ban Maupertuis egy új művében egyetértett Euler véleményével, és kihirdette elvének legáltalánosabb változatát: „Amikor a természetben bekövetkezik egy bizonyos változás, a változáshoz szükséges cselekvés mértéke a lehető legkisebb. A cselekvés mértéke a testek tömegének, sebességének és a megtett távolságnak a szorzata. Az ezt követő széles körű vitában Euler támogatta Maupertuis prioritását, és az új törvény univerzális jellege mellett érvelt: „a teljes dinamika és hidrodinamika meglepően könnyen feltárható pusztán a maximumok és minimumok módszerével” [3] .

Új szakasz kezdődött 1760-1761-ben, amikor Joseph Louis Lagrange bevezette a függvény variációjának szigorú fogalmát, modern megjelenést kölcsönzött a variációszámításnak, és kiterjesztette a legkisebb cselekvés elvét egy tetszőleges mechanikai rendszerre (vagyis nem csak ingyenes anyagpontok). Ez jelentette az analitikus mechanika kezdetét. Az elv további általánosítását Carl Gustav Jacob Jacobi végezte el 1837-ben - a problémát geometriailag vizsgálta, mint egy variációs probléma szélsőértékeinek megtalálását egy konfigurációs térben nem euklideszi metrikával. Jacobi különösen arra mutatott rá, hogy külső erők hiányában a rendszer pályája egy geodéziai vonal a konfigurációs térben [3] .

1834-1835-ben William Rowan Hamilton egy még általánosabb variációs elvet adott ki, amelyből az összes korábbi speciális esetként következett:

Itt  van a dinamikus rendszer Lagrange -ja, és  az általánosított koordináták . Hamilton ezt az elvet „ hamiltoni mechanikájának ” alapjául helyezte, és a variációs probléma megoldását „ kanonikus egyenletek ” formájában adta meg.

Hamilton megközelítése sokoldalúnak és rendkívül hatékonynak bizonyult a fizika matematikai modelljeiben, különösen a kvantummechanikában . Heurisztikus erejét az általános relativitáselmélet megalkotása is megerősítette , amikor David Hilbert a Hamilton-elvet alkalmazta a gravitációs tér végső egyenleteinek származtatására (1915).

Lásd még

Irodalom

Jegyzetek

  1. ↑ Euler L. Értekezés a legkisebb cselekvés elvéről, a leghíresebb prof. Koenig, ez az elv ellen felhozott // A mechanika variációs elvei. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  2. ↑ Rumjancev V.V., 1935 , p. 181..
  3. ↑ 1 2 3 4 Szpasszkij B. I. A fizika története, két kötetben . - Szerk. 2. - M . : Felsőiskola, 1977. - T. I. - S. 198-205.
  4. ↑ Fermat P. Szintézis a fénytöréshez // A mechanika variációs elvei. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  5. ↑ Huygens X. Treatise on Light. M.-L.: Gostekhnzdat, 1935. 172 p.