A mechanika alapelvei a kezdeti pozíciók, amelyek a mechanikai jelenségek olyan általános törvényeit tükrözik, amelyekből következésképpen minden egyenlet, amely meghatározza egy mechanikai rendszer mozgását (vagy egyensúlyi feltételeit), megkapható. A mechanika fejlődése során számos ilyen alapelv született, amelyek mindegyike a mechanika alapjaként tekinthető, amit a mechanikai jelenségek tulajdonságainak és mintázatainak sokfélesége magyaráz. Ezek az elvek nem variációs és variációs elvekre oszlanak .
A mechanika nem variációs elvei közvetlenül meghatározzák a rendszer által a rá ható erők hatására végrehajtott mozgás törvényeit. Ezek az alapelvek közé tartozik például Newton 2. törvénye , amely szerint a rendszer bármely pontja elmozdulásakor tömegének és gyorsulásának szorzata egyenlő a pontra ható erők összegével , valamint a d'Alembert . elv .
A nem variációs elvek bármely mechanikai rendszerre érvényesek, és viszonylag egyszerű matematikai kifejezésük van. Alkalmazásuknak azonban csak a mechanika keretei szabnak határt, mivel az olyan tisztán mechanikai fogalom, mint az erő , közvetlenül belép az elvek kifejezéseibe . A következő is jelentős. A legtöbb mechanikai problémában a nem szabad rendszerek mozgását veszik figyelembe, vagyis olyan rendszereket, amelyek mozgását kényszerek korlátozzák . Ilyen rendszer például mindenféle gép és mechanizmus, ahol a csatlakozások csapágyak, zsanérok, kábelek stb., valamint szárazföldi szállításnál az útalap vagy a sínek. Egy nem-szabad rendszer mozgásának nem-variációs elvek alapján történő tanulmányozásához a kötések hatásának hatását ki kell cserélni néhány erővel, amelyet a kötések reakcióinak nevezünk . De ezeknek a reakcióknak a nagysága nem ismert előre, mivel attól függ, hogy mivel egyenlők, és hol hatnak a rendszerre ható adott ( aktív ) erők, mint például a gravitáció , a rugórugalmasság , a tolóerő stb. ., és arról is, hogyan mozog a rendszer. Ezért az összeállított mozgásegyenletek további ismeretlen mennyiségeket fognak tartalmazni kényszerreakciók formájában, ami általában jelentősen megnehezíti a teljes megoldási folyamatot.
A variációs elvek előnye, hogy azonnal megadják a megfelelő mechanikai rendszer mozgásegyenleteit, amelyek nem tartalmaznak ismeretlen kényszerreakciókat. Ezt úgy érjük el, hogy a kapcsolatok hatását nem úgy vesszük figyelembe, hogy ismeretlen erőkkel (reakciókkal) helyettesítjük őket, hanem azokat az elmozdulásokat vagy mozgásokat (vagy sebesség- és gyorsulásnövekedéseket), amelyek ennek a rendszernek a pontjai. lehet ezen kapcsolatok jelenlétében. Például, ha egy M pont egy adott sima (ideális) felület mentén mozog, ami egy kapcsolat számára, akkor ennek a kapcsolatnak a hatása figyelembe vehető.
A variációs elvek tartalma , hogy olyan tulajdonságokat (jeleket) állapítanak meg, amelyek lehetővé teszik egy mechanikai rendszer valódi, azaz adott erők hatására ténylegesen bekövetkező mozgásának megkülönböztetését annak bizonyos kinematikailag lehetséges mozgásaitól (ill. a rendszer egyensúlyi állapotát a többi lehetséges állapotából). ). Általában ezek a tulajdonságok (jelek) abból állnak, hogy a valódi mozgáshoz valamilyen fizikai mennyiség, amely a rendszer jellemzőitől függ, a legkisebb értékű az értékeihez képest az összes kinematikailag lehetséges mozgásban. Ebben az esetben a variációs elvek eltérhetnek egymástól a feltüntetett fizikai mennyiség és a figyelembe vett kinematikailag lehetséges mozgások jellemzői, valamint maguk a mechanikai rendszerek jellemzői, amelyekre ezek az elvek érvényesek. A variációs elvek alkalmazása megköveteli a variációszámítás módszereinek alkalmazását .
A variációs elveket formailag úgynevezett differenciálra osztják, amelyben megállapítják, hogy a rendszer valódi mozgása miben tér el az adott időpillanatban kinematikailag lehetséges mozgásoktól, valamint integrálokra, amelyekben ez a különbség megállapítható. a rendszer által valamilyen véges időn keresztül végrehajtott mozgásokra.
A mechanika keretein belüli differenciális variációs elvek általánosabbak és gyakorlatilag minden mechanikai rendszerre érvényesek. Az integrál variációs elvek a leggyakoribb formájukban csak az úgynevezett konzervatív rendszerekre érvényesek, vagyis olyan rendszerekre, amelyekben a mechanikai energia megmaradásának törvénye érvényesül. A differenciális variációs elvektől és a nem variációs elvektől eltérően azonban az erők helyett olyan fizikai mennyiséget tartalmaznak, mint az energia , ami lehetővé teszi ezen elvek kiterjesztését nem mechanikai jelenségekre, így az összes elméleti fizika számára fontosak .
A fő különbségi variációs elvek a következők:
A differenciális variációs elvek közé tartozik még a Gauss-elv ( a legkisebb kényszer elve ), amelyben a vizsgált fizikai mennyiség az ún. "kényszer", amelyet a rendszer pontjainak adott erőivel és gyorsulásaival fejeznek ki, valamint a szorosan kapcsolódó Hertz -elv ( a legkisebb görbület elve ).
Az integrál variációs elvek közé tartoznak a legkisebb (stacionárius) cselekvés elvei , amelyek szerint a rendszer két helyzete közötti kinematikailag lehetséges mozgásai közül az az igaz, amelyre a cselekvésnek nevezett fizikai mennyiségnek minimális értéke van. . Ezen elvek különböző formái a cselekvés nagyságának megválasztásában és a rendszer kinematikailag lehetséges mozgásainak egymáshoz viszonyított jellemzőiben különböznek egymástól.
A mechanikai rendszerek tulajdonságainak és mozgási törvényeinek tanulmányozása során mind a nem-variációs, mind a variációs elveket megállapították. Mivel a mechanikai jelenségek más fizikai jelenségekhez hasonlóan sok törvényszerűségnek vannak kitéve, számos elv, köztük a variációs elv is érvényesnek bizonyul a megfelelő mechanikai rendszerekre. Ha bármelyiket kiindulónak vesszük, akkor ebből következésképpen nem csak egy adott rendszer mozgásegyenletei kapjuk meg, hanem minden más, erre a rendszerre érvényes alapelv is.
A variációs elveket mind a mechanikai rendszerek mozgásegyenleteinek legegyszerűbb formában történő összeállítására, mind e mozgások általános tulajdonságainak tanulmányozására használják. A fogalmak megfelelő általánosításával a kontinuummechanikában , termodinamikában , elektrodinamikában , kvantummechanikában , relativitáselméletben stb. is használatosak. A variációs elvek, különösen a Lagrange-elv megvalósítása szempontjából különböző módszereket különböztetnek meg. Általános esetben a Lagrange-féle stacionaritás követelménye parciális differenciálegyenlet-rendszert és a kezdeti határérték-problémák megfelelő spektrumát adja ( az Euler-egyenletek ). Ha az általános megfogalmazás háromdimenziós, akkor a Vlasov-módszer lehetővé teszi a probléma dimenziójának csökkentését, kétdimenziósra redukálva (példa - héjelmélet ), közönséges differenciálegyenlet-rendszerré (példa - rúdelmélet ) vagy egy véges / végtelen algebrai egyenletrendszerre ( Rayleigh-Ritz módszer , végeselem módszer ).
Még az ókori természetfilozófusok (például Arisztotelész ) is azt feltételezték, hogy „a természet semmit sem tesz hiába, és minden megnyilvánulásában a legrövidebb vagy legkönnyebb utat választja” [1] . A „legrövidebb” vagy „legkönnyebb” kifejezések konkrét jelentését azonban nem határozták meg [2] . Claudius Ptolemaiosz megmutatta, hogy amikor egy fénysugár visszaverődik, annak teljes útja akkor a legrövidebb, ha a beesési szög megegyezik a visszaverődés szögével, ami a gyakorlatban megfigyelhető. Figyelmeztetett azonban, hogy fénytörés esetén az út (szaggatott vonal) már nem lesz a legrövidebb [3] .
A tudománytörténet első variációs elvét Pierre de Fermat fogalmazta meg 1662-ben, és kifejezetten a fénytörésre utalt. Fermat kimutatta, hogy ebben az esetben nem az út, hanem az idő a kritérium - a nyaláb olyan szögben törik meg, hogy a teljes utazási idő minimális [4] . Modern jelöléssel a Fermat-elv a következőképpen írható fel:
Itt látható a közeg törésmutatója [3] .
A Fermat-elv matematikai kutatását és fejlesztését Christian Huygens [5] végezte , majd a témát a 17. század legnagyobb tudósai aktívan tárgyalták. Leibniz 1669-ben vezette be a cselekvés alapvető fogalmát a fizikába : „A mozgás formális cselekvései arányosak... az anyagmennyiség, az általuk megtett távolságok és a sebesség szorzatával.”
A mechanika alapjainak elemzésével párhuzamosan módszereket dolgoztak ki a variációs problémák megoldására. Isaac Newton a " Matematical Principles of Natural Philosophy " (1687) című művében felállította és megoldotta az első variációs problémát: találni egy olyan forradalmi testet, amely ellenálló közegben a tengelye mentén mozog, amelyre a tapasztalt ellenállás a legkisebb lenne. . Szinte egyidejűleg más variációs problémák is megjelentek: a brachistochrone (1696), a felsővezeték alakja stb.
A döntő események 1744-ben történtek. Leonhard Euler publikálta az első általános munkát a variációszámításról ("A maximum vagy minimum tulajdonságokkal rendelkező görbék megtalálásának módszere"), Pierre-Louis de Maupertuis pedig "A különböző természeti törvények egyetértése, amely eddig. összeegyeztethetetlennek tűnt" - adta meg a legkisebb cselekvés elvének első megfogalmazását : "A fény által követett út az az út, amelyen a cselekvés mennyisége a legkisebb lesz." Bemutatta ennek a törvénynek a teljesülését mind a fényvisszaverődés, mind a fénytörés tekintetében. Maupertuis cikkére válaszul Euler (ugyanabban az 1744-ben) publikálta „A kidobott testek mozgásának meghatározásáról nem ellenálló közegben a maximumok és minimumok módszerével” című munkáját, és ebben a munkájában megadta. Maupertuis alapelve egy általános mechanikai jelleg: "Mivel minden természeti jelenség a maximum vagy minimum bármely törvényét követi, nem kétséges, hogy a kidobott testeket leíró görbe vonalak esetében, amikor bármilyen erő hat rájuk, valamilyen maximum vagy minimum tulajdonság. Továbbá Euler megfogalmazta ezt a törvényt: a test pályáját hajtja végre, majd alkalmazta, levezetve a mozgás törvényeit egy egységes gravitációs térben és számos más esetben.
1746-ban Maupertuis egy új művében egyetértett Euler véleményével, és kihirdette elvének legáltalánosabb változatát: „Amikor a természetben bekövetkezik egy bizonyos változás, a változáshoz szükséges cselekvés mértéke a lehető legkisebb. A cselekvés mértéke a testek tömegének, sebességének és a megtett távolságnak a szorzata. Az ezt követő széles körű vitában Euler támogatta Maupertuis prioritását, és az új törvény univerzális jellege mellett érvelt: „a teljes dinamika és hidrodinamika meglepően könnyen feltárható pusztán a maximumok és minimumok módszerével” [3] .
Új szakasz kezdődött 1760-1761-ben, amikor Joseph Louis Lagrange bevezette a függvény variációjának szigorú fogalmát, modern megjelenést kölcsönzött a variációszámításnak, és kiterjesztette a legkisebb cselekvés elvét egy tetszőleges mechanikai rendszerre (vagyis nem csak ingyenes anyagpontok). Ez jelentette az analitikus mechanika kezdetét. Az elv további általánosítását Carl Gustav Jacob Jacobi végezte el 1837-ben - a problémát geometriailag vizsgálta, mint egy variációs probléma szélsőértékeinek megtalálását egy konfigurációs térben nem euklideszi metrikával. Jacobi különösen arra mutatott rá, hogy külső erők hiányában a rendszer pályája egy geodéziai vonal a konfigurációs térben [3] .
1834-1835-ben William Rowan Hamilton egy még általánosabb variációs elvet adott ki, amelyből az összes korábbi speciális esetként következett:
Itt van a dinamikus rendszer Lagrange -ja, és az általánosított koordináták . Hamilton ezt az elvet „ hamiltoni mechanikájának ” alapjául helyezte, és a variációs probléma megoldását „ kanonikus egyenletek ” formájában adta meg.
Hamilton megközelítése sokoldalúnak és rendkívül hatékonynak bizonyult a fizika matematikai modelljeiben, különösen a kvantummechanikában . Heurisztikus erejét az általános relativitáselmélet megalkotása is megerősítette , amikor David Hilbert a Hamilton-elvet alkalmazta a gravitációs tér végső egyenleteinek származtatására (1915).