Euler-egyenletek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2013. március 12-én áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A fizikában az Euler-egyenletek egy merev test forgását írják le a testhez kapcsolódó koordinátarendszerben.

Következtetés

Külső szemlélő vonatkoztatási rendszerében a forgómozgás egyenletek alakja

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf { I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M}

Ebben a formában az egyenletek kevéssé használhatók a gyakorlatban, mivel általános esetben az impulzusnyomaték mindkét összetevője - a tehetetlenségi nyomaték tenzora és a szögsebesség pszeudovektora - az időtől függ. Euler ötlete az volt, hogy egy forgó testhez mereven kapcsolódó vonatkoztatási rendszerre térjen át. Ebben a rendszerben a tenzor tehetetlenségi nyomatéka állandó, és deriváltként kivehető. A további egyszerűsítés érdekében a fő tehetetlenségi tengelyeit a test rögzített tengelyeiként választjuk. Így a szögimpulzus változását feloszthatjuk egy komponensre, amely leírja a nagyságváltozást, és egy olyan komponensre, amely ezt az irányváltozást kompenzálja . $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Ekkor az egyenletek a következő alakot veszik fel:

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relatív} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

ahol a test impulzusnyomatéka a térbeli tengelyekhez képest, a test impulzusimpulzusának változása a rögzített tengelyeihez képest, a testhez tartozó tengelyek Euler-szögeinek változási sebessége a testhez képest a térbeli tengelyek, és a külső nyomaték. $\mathbf{L}$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relatív} }$ $\mathbf{\omega}$ ${\mathbf {N}}$

ha komponensekkel helyettesítjük, akkor egy kifejezéssel helyettesíthetjük . ha az alapvektorokat úgy választjuk meg , hogy azok egybeessenek a test fő tehetetlenségi tengelyével , akkor az első három tag egyenlő , a maradék három pedig . $\mathbf{L}$ $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _ {3}\mathbf {e} _{3}$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt))$ $I_{1}{\dot {\omega }}_{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}{\pont {\omega }}_{3}\mathbf {e} _{3}+{\frac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}} \omega _{1}I_{1}+{\frac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}\omega _{2}I_{2}+{\frac {d\mathbf {e } } _{3}}{dt}}\omega _{3}I_{3}$ $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relatív} }$ $\mathbf {\omega } \times \mathbf {L}$

Ekkor az Euler-egyenletek komponens formában a következőt öltik:

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\ omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\pont {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _ {1}\\N_{3}&=&I_{3}{\pont {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2 }\\\end{mátrix}}

Ezt a három egyenletet akkor is használhatjuk, ha azok a tengelyek, amelyekbe be van írva , nem kapcsolódnak a testhez. Ezután a test forgása helyett a tengelyek forgásával kell helyettesíteni. Azonban továbbra is szükséges, hogy a kiválasztott tengelyek legyenek a fő tehetetlenségi tengelyek! Az Euler-egyenletek ezen formája kényelmesen használható olyan objektumok esetében, amelyeknek forgásszimmetriája van , ami lehetővé teszi néhány fő tehetetlenségi tengely önkényes kiválasztását. $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relatív} }$ $\mathbf{\omega}$

Egyenletek típusa tetszőleges helyi koordinátarendszerben

Lehetőség van olyan helyi rendszer kiválasztására, amely nem esik egybe a test fő tehetetlenségi tengelyeivel. Ebben az esetben az egyenletek alakot öltenek

N_{s}=I_{sq}{\pont {\omega }}_{q}+\varepsilon _{stp}\omega _{t}I_{pq}\omega _{q},

ahol a test tehetetlenségi tenzora a választott lokális koordinátarendszerben. ${\displaystyle I_{sq))$

Lásd még

Euler-képlet (merev test kinematikája) a merev test pontjai sebességének összekapcsolására
Leonhard Eulerről elnevezett objektumok listája