Analitikus funkció

Valós változó analitikus függvénye olyan függvény, amely egybeesik a Taylor-sorral a definíciós tartomány bármely pontjának közelében .

Egy egyértékű függvényt analitikusnak nevezünk egy adott pontban , ha a függvénynek valamely szomszédságra való korlátozása analitikus függvény. Ha egy függvény egy pontban analitikus , akkor a pont valamely szomszédságában minden pontban analitikus . $f$ $z_{0}$ $f$ $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$

Egy összetett változó egyértékű analitikai függvénye olyan függvény , amelyre a négy ekvivalens feltétel egyike teljesül valamilyen egyszerűen összefüggő tartományban , amelyet az analitikai tartománynak nevezünk: $F z)$ $A\alhalmaz {\mathbb C}$

A függvény Taylor-sora minden pontban konvergál , és összege ( analitikusság Weierstrass értelmében ). $z\in A$ $F z)$
Minden pontban teljesülnek a Cauchy-Riemann feltételek és . Itt a és a vizsgált függvény valós és képzeletbeli részei. ( Analitikus Cauchy-Riemann értelemben .) $z=x+iy\in A$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Integrál bármely zárt görbéhez ( analitika a Cauchy-féle értelemben ). $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \A részhalmaz$
A függvény holomorf a tartományban . Vagyis minden ponton komplexen differenciálható . $F z)$ $A$ $F z)$ $z\in A$

A komplex elemzés menete bizonyítja ezen definíciók egyenértékűségét.

Tulajdonságok

Aritmetikai tulajdonságok

Ha és analitikusak a tartományban $F z)$ $g(z)$ $G\subset \mathbb {C}$

A és a függvények analitikusak a . $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $f(g(z))$ $G$
Ha nem tűnik el a régióban , akkor analitikus lesz $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G$
Ha nem tűnik el a régióban , akkor analitikus lesz a -ban . $F z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

Egy analitikus függvény végtelenül differenciálható analitikai tartományában. Egy változó összetett függvényei esetében ennek a fordítottja is igaz.

Az analitikus függvények bizonyos tulajdonságai közel állnak a polinomok tulajdonságaihoz , ami azonban nem meglepő - az analiticitás Weierstrass-i értelemben vett definíciója azt jelzi, hogy az analitikus függvények valamilyen módon korlátozó változatai a polinomoknak. Tegyük fel, hogy az algebra alaptétele szerint bármely polinomnak legfeljebb a foka lehet nulla. Az analitikus függvényekre egy hasonló állítás igaz, ami az egyediségtételből egy alternatív formában következik:

Ha egy függvényelemző nullák halmazának egy egyszerűen összekapcsolt tartományban van egy határpontja ebben a tartományban , akkor a függvény megegyezik a nullával.
Több valós változóból álló függvény esetén nem elegendő az egyes változók analitikusnak lenni ahhoz, hogy a függvény analitikus legyen. Több összetett változóból álló függvény esetén elegendő az egyes változók tekintetében analitikusnak lenni ahhoz, hogy a függvény analitikus legyen ( Hartogs-tétel ).

Példák

A z-ben szereplő összes polinom analitikus függvény a teljes síkon . $\mathbb {C}$

Továbbá analitikusak, bár nem a teljes komplex síkon, de a racionális függvények , az exponenciális függvények , a logaritmusok , a trigonometrikus függvények , az inverz trigonometrikus függvények és sok más függvényosztály, valamint az összegek, különbségek, szorzatok és parciális analitikai függvények.

Példák a nem analitikus függvényekre : $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

mivel egyetlen ponton sem rendelkeznek összetett származékkal. Ebben az esetben a valós tengelyre való korlátozás a valós változó analitikus függvénye lesz (mivel teljesen egybeesik a függvény korlátozásával ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Lásd még

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe: Kézikönyv a felsőoktatás számára. - M. - L .: Állami Könyvkiadó, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Conway, John B. Egy összetett változó függvényei I. — 2. - Springer-Verlag , 1978. - ( Matematika diplomás szövegei 11). - ISBN 978-0-387-90328-6 .
Krantz, Steven; Parks, Harold R.Avalódi analitikai függvények alapozója . — 2. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Analytic function , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Analytic Function (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Megoldó egy összetett analitikai függvény összes nullájára, amelyek egy négyszögletes területen belül vannak, Ivan B. Ivanov

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán nagy kínai Nagy orosz Modern Ukrajna
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 119507313 J9U : 987007294737305171 LCCN : sh85004784 NDL : 00564621 NKC : ph114039