Lassan növekvő hierarchia

A lassan növekvő hierarchia függvénycsalád , ahol egy nagy számláló sorszám van , így az alapvető szekvenciák minden nál kisebb határértékhez vannak hozzárendelve . ${\displaystyle (g_{\alpha }:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} )_{\alpha <\mu ))$ $\mu$ $\mu$

A lassan növekvő hierarchia meghatározása a következő:

$g_{0}(n)=0$
$g_{\alpha +1}(n)=g_{\alpha }(n)+1$
$g_{\alpha }(n)=g_{\alpha [n]}(n)$ , akkor és csak akkor, ha egy határ sorszámú, $\alpha$

ahol a határsorrendhez rendelt alapsorozat edik elemét jelöli . $\alpha[n]$ $n$ $\alpha$

Minden nem nulla sorszámú egyedi Cantor-normál alakban ábrázolható, ahol az első transzfinit sorszám, . ${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}=\min\{\beta |\beta =\omega ^{\beta }\))$ $\alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+\omega ^ {\beta _{k)),$ $\omega$ ${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{k-1}\geq \beta _{k))$

Ha , akkor egy határérték, és a következőképpen rendelhető hozzá egy alapvető sorozat: $\beta _{k}>0$ $\alpha$

$\alpha [n]=\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+ \left\{{\begin{array}{lcr}\omega ^{\gamma }n{\text{ if }}\beta _{k}=\gamma +1\\\omega ^{\beta _{ k [n]}{\text{ if }}\beta _{k}{\text{ - limit ordinal.}}\\\end{array}}\right.$

Ha , akkor és . $\alpha =\varepsilon _{0}$ $\alpha [0]=0$ $\alpha [n+1]=\omega ^{\alpha [n]}$

Az alapvető sorozatok ezen rendszerének felhasználásával egy lassan növekvő hierarchia az első epszilonig definiálható . A valódi egyenlőséghez a nyíl jelölése szerint . $\varepszilon_{0}$ $\alpha =\varepsilon _{0}$ $g_{\varepsilon _{0}}(n)=n\uparrow \uparrow n$

Az alapvető sorozatok erősebb rendszerei a következő oldalakon találhatók:

A lassan növekvő hierarchia "utoléri" a gyorsan növekvő hierarchiát a -nál , a Buchholz pszi-függvények segítségével , azaz [1] $\alpha =\psi _{0}(\Omega _{\omega })$

$g_{\psi _{0}(\Omega _{\omega })}(n)<f_{\psi _{0}(\Omega _{\omega })}(n)<g_{\ psi _{0}(\Omega _{\omega })}(n+1)$ mindenkinek . $n>0$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Wainer, S. Slow Growing Versus Fast Growing // The Journal of Symbolic Logic: folyóirat. - 1989. - 1. évf. 54 , sz. 2 . — P. 608-614 .

Linkek

Nagy számok
Számok	googol Shannon szám Googolplex Skewes szám Moser szám Graham szám FA (3) Rayo szám
Funkciók	Ackermann függvény Veblen funkció Buchholz Pszi-függvényei tetració Pentation Hiperoperátor Gyorsan növekvő hierarchia Lassan növekvő hierarchia Hardy hierarchia
Jelölések	Steinhaus-Moser jelölés Knuth nyíl jelölése Conway nyíl jelölése Massive Bowers jelölés