Görbe hossza

A görbe hossza (vagy ami ugyanaz, a görbe ívének hossza ) a görbe hosszának numerikus jellemzője [1] . Történelmileg a görbe hosszának kiszámítását görbeegyenesítésnek nevezték (a latin rectificatio szóból, egyenesítés ).

Definíció

Az euklideszi tér esetében egy görbeszegmens hosszát a görbébe írt szaggatott vonalak hosszának legkisebb felső korlátjaként határozzuk meg.

Például adjunk meg parametrikusan egy folytonos görbét a háromdimenziós térben: $\gamma$

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)

(egy)

ahol , mindhárom függvény folytonos és nincs több pont, vagyis a görbe különböző pontjai különböző értékeknek felelnek meg. A parametrikus intervallum összes lehetséges partícióját szegmensekre szerkesztjük: . A görbe pontjait vonalszakaszokkal összekötve szaggatott vonal jön létre. Ekkor a görbeszakasz hosszát az összes ilyen szaggatott vonal teljes hosszának legkisebb felső korlátjaként határozzuk meg [2] . $a\leqslant t\leqslant b$ $t$ $[a,b]$ $m$ $a=t_{0}<t_{1}<\pontok <t_{m}=b$ $\gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})$

Kapcsolódó definíciók

Minden görbének van véges vagy végtelen hossza. Ha a görbe hossza véges, akkor a görbét egyenirányíthatónak mondjuk , ellenkező esetben nem egyenirányíthatónak . A Koch-hópehely a korlátos, de nem egyenirányítható görbe klasszikus példája; ráadásul bármely, tetszőlegesen kicsi íve nem egyenirányítható [3] .
Egy görbe paraméterezését az ív hosszával természetesnek nevezzük .
A görbe egy függvény speciális esete egy szakaszból a térbe. A függvény matematikai elemzésben meghatározott variációja a görbe hosszának általánosítása (lásd alább).

Tulajdonságok

Ha az (1)-ben szereplő összes függvény korlátos variációjú függvény , akkor a görbe hossza létezik és véges.

A matematikai analízisben egy képletet állítanak elő az (1) egyenletekkel megadott görbe szakasz hosszának kiszámítására, feltéve, hogy mindhárom függvény folyamatosan differenciálható : $s$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2} (t)}}\,dt

(2)

A képletből következik, hogy a hosszt a t paraméter növekedésének irányában is számoljuk . Ha a hosszszámlálás két különböző irányát vesszük figyelembe a görbe egy pontjától, akkor gyakran célszerű mínuszjelet rendelni az ívhez ezen irányok egyikében.

a\leqslant b

Az n - dimenziós esetben (2) helyett egy hasonló képletet kapunk:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)} }\,dt

Ha egy síkgörbét ad meg az egyenlet, ahol egy sima függvény a paraméterértékek intervallumán , akkor a görbe hosszát a következő képlet határozza meg: $y=f(x),$ $f$ $[a,b]$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2))}\,dx.

Poláris koordinátákban :

(r,\varphi )

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\, d\varphi .

A Crofton-képlet lehetővé teszi, hogy egy síkon lévő görbe hosszát és metszéspontjai számának integrálját egyenesekkel természetes mértékben viszonyítsuk a vonalak térében.

Történelem

Az egyengetési feladat sokkal nehezebbnek bizonyult, mint a terület kiszámítása , és az ókorban az egyetlen sikeres egyengetést körre hajtották végre . Descartes még azt a véleményét is kifejezte, hogy "az egyenesek és a görbék közötti kapcsolat ismeretlen, és azt hiszem, az emberek nem is ismerhetik " [4] [5] .

Az első eredmény Neil parabolájának kiegyenesítése volt ( 1657 ), amelyet Fermat és maga Neil adott elő . Hamar megtalálták a cikloid ívének hosszát ( Renne , Huygens ). James Gregory (még a kalkulus felfedezése előtt ) általános elméletet alkotott az ív hosszának meghatározására, amelyet azonnal felhasználtak különféle görbékhez.

Változatok és általánosítások

Riemann tér

Egy n - dimenziós Riemann-térben koordinátákkal a görbét paraméteres egyenletek adják meg: $x^{1}\cdots x^{n}$

x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad

(3)

A görbe hosszát egy Riemann térben a következő képlet adja meg:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

ahol: a metrikus tenzor . Példa: görbe egy felületen -ben . $g_{ij}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Általános metrikus tér

Egy tetszőleges metrikus tér általánosabb esetben a görbe hossza a görbét meghatározó leképezés egy változata , azaz a görbe hosszát a következő képlet szerint határozzuk meg: $(X,\rho)$ $S$ $\gamma :[a,b]\X-re$

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

ahol a felső korlátot, mint korábban, a szegmens összes partíciójára veszik . $a=x_{0}<x_{1}<\pontok <x_{m}=b$ $[a,b]$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Hossz // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 2.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 199.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 201-202.
↑ René Descartes. Geometria. P. Fermat válogatott munkáinak és Descartes levelezésének alkalmazásával / A. P. Juskevics fordítása, jegyzetei és cikkei . - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 49. - 297 p. - (A természettudomány klasszikusai).
^ Eredeti francia idézet : "la ratio qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes", lásd Descartes, René. Discours de la method ... - 1637. - S. 340.

Irodalom

Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M .: Nauka, 1973.
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Hossz, terület, térfogat. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Fikhtengol'ts G. M. Differenciál- és integrálszámítás tanfolyam három kötetben. - Szerk. 6. - M .: Nauka, 1966.
Shibinsky VM Példák és ellenpéldák a matematikai elemzés során. oktatóanyag. - M . : Felsőiskola, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg