Természetes paraméterezés

Természetes paraméterezés (vagy természetes paraméterezés ) - egy görbe paraméterezése az ív hosszával. Azaz a görbe ívének valamilyen tetszőlegesen megválasztható fix pontjából mért hossza szolgál paraméterként. Az ilyen paramétert természetesnek nevezzük (gyakran s -vel jelölik ).

Így a görbe természetes paraméterezése egyedileg definiálható egészen az O referenciapont megválasztásáig (amely a természetes paraméter nulla értékének felel meg) és az orientációig, vagyis annak az iránynak a megválasztásáig, amelyben a paraméter növekszik a távolsággal. O.

Definíció

Egy metrikus térben lévő görbe természetes paraméterezéssel van ellátva, ha a paraméter bármely két értékénél és az ív hossza egyenlő . $\gamma$ $a$ $b$ $\gamma |_{[a,b]}$ $|ba|$

Tulajdonságok

Egy görbe akkor és csak akkor enged természetes paraméterezést, ha lokálisan egyenirányítható .
Egyszer differenciálható (analitikus) görbe szinguláris pontok nélküli természetes paraméterezése is idődifferenciálható (analitikus). $k$ $k$
A sugárvektor deriváltja egységnyi hosszúságú, ezért egybeesik az egység érintővektorral , amelyet jelölünk ${\frac {d\mathbf {r} }{ds))$ $\mathbf {v} .$
A sugárvektor második deriváltja merőleges az elsőre, azaz egy adott pontban merőleges a görbe érintőjére, ezért normális. Ezenkívül hosszában egybeesik a görbe görbületével , irányában pedig a fő normáljával . ${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}={\frac {d\mathbf {v} }{ds}}$ $k$ $\mathbf {n}$
Egy síkban lévő görbe esetén a fenti tulajdonságok a következő összefüggésekhez vezetnek, amelyeket Frenet-képleteknek nevezünk :

{\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\,\mathbf {n} ,\ \ \ {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=-k\ ,\mathbf {v} .

Frenet relációi közül az első nyilvánvalóan az előző tulajdonságból és a görbület definíciójából következik . A második összefüggés bizonyítására az azonosságokat használjuk

k

\langle \mathbf {n} (s),\mathbf {n} (s)\rangle \equiv 1,\ \ \ \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {v} (s) \rangle \equiv 0,

ahol a háromszög alakú zárójelek a környező euklideszi sík skaláris szorzatát jelölik. Differenciálva az első azonossághoz képest azt a jelentést kapjuk, hogy a vektor párhuzamos a vektorral , azaz valamilyen skaláris együtthatóval . Megkülönböztetve a második azonosságot , megkapjuk a Helyettesítőt itt és a -t, így a -t figyelembe véve azt kapjuk, amit bizonyítani kellett.