Euler-Maclaurin képlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. április 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Az Euler-Maclaurin összegzési képlet egy olyan képlet, amely lehetővé teszi a függvényértékek diszkrét összegeinek kifejezését a függvény integráljaiban. Különösen sok aszimptotikus összegbővítést kapunk pontosan ezzel a képlettel.

A képletet egymástól függetlenül Leonhard Euler 1732-ben és Colin Maclaurin 1735 körül találta meg (és később Darboux képletére általánosították). Euler ezt a képletet akkor kapta meg, amikor lassan konvergens sorozatot kellett kiszámítania, Maclaurin pedig az integrálok kiszámításához használta.

Képlet

Az Euler-Maclaurin képlet a következőképpen alakul:

\sum \limits _{a\leqslant k<b}f(k)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1 }^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\jobb|_{a}^{b}+R_{m},

ahol

R_{m}=(-1)^{m+1}\int \limits _{a}^{b}{\frac {B_{m}(\{x\})}{m!} }f^{(m)}(x)dx,

itt — természetes, — Bernoulli számok , — elég sima függvény ahhoz, hogy származékai legyenek , — Bernoulli polinom , — x tört része . Abban az esetben, ha kicsi, jó közelítést kapunk az összegre. $a\leqslant b,m$ $B_{k}$ $f(x)$ $f'(x),\ldots ,f^{(m)}(x)$ $B_{m}(t)$ $\{x\}$ $R_m$

A Bernoulli-polinomok rekurzív módon vannak definiálva $B_{n}(x),n=0,1,2,\ldots$

B_{0}(x)=1,

B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),\ \int \limits _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0,n\in \ mathbb {N} .

A kifejezést periodikus Bernoulli-függvénynek nevezzük. $B_{n}(\{x\})=P_{n}(x)$

Maradék

A maradék R tag könnyen kifejezhető a következőképpen : $P_n(x)$

R=-\int \limits _{a}^{b}f^{(2p)}(x){\frac {P_{2p}(x)}{(2p)!}}dx,

vagy a részenkénti integrálással kapott ekvivalens módszer, feltéve, hogy ismét differenciálható, és emlékezve arra, hogy a páratlan Bernoulli-számok egyenlők nullával: ${\displaystyle f^{(2p)))$

R=\int \limits _{a}^{b}f^{(2p+1)}(x){\frac {P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1 )!}}dx.

ahol . Meg lehet mutatni, hogy $n \geqslant 0$

\left|B_{n}(x)\right|\leqslant {\frac {2n!}{(2\pi )^{n))}\zeta (n),

ahol a Riemann zéta függvényt jelöli . Az egyenlőség páros n és . Ezzel az egyenlőtlenséggel a maradék tagot a következőképpen becsüljük meg $\zeta$ $x=0$

\left|R\right|\leqslant {\frac {2\zeta (2p)}{(2\pi )^{2p))}\int \limits _{a}^{b}\left| f^{(2p)}(x)\jobbra|dx

Bizonyítás

Üzemeltetői szempontok

A bizonyítás előtt célszerű megfontolni a magasabb rendű megfontolásokat (Lagrange miatt), hogy miért érvényes egy ilyen képlet. Legyen különbség operátor, összegző operátor , differenciálási operátor és integrációs operátor. Ekkor az operátor inverz és inverz . A Taylor-képlettel fejezhető ki : $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $D$

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{ 2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots =\left({\frac {D}{1!}}+{\frac {D^{2} }{2!}}+{\frac {D^{3}}{3!}}+\ldots \right)f(x)=(e^{D}-1)f(x),

azok. és akkor , és azóta , akkor $\Delta =e^{D}-1$ $\Sigma =\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1))$ ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum \limits _{k\geqslant 0}B_{k}{\frac {z^{k}}{k!)} }$

\sum ={\frac {B_{0}}{D}}+{\frac {B_{1}}{1!}}+{\frac {B_{2}}{2!}}D+ {\frac {B_{3}}{3!}}D^{2}+\ldots =\int +\sum \limits _{k\geqslant 1}{\frac {B_{k}}{k!} }D^{k-1}.

Ezt az operátorrelációt alkalmazva megkapjuk a kívánt képletet, de a maradék tag nélkül. $f(x)$

Ez a következtetés tisztán formális, és nem érinti a konvergencia kérdéseit.

A maradék bizonyíték

Elegendő a képlet bizonyítása , hiszen tetszőleges egész határvonalú szegmenst feloszthatunk 1 hosszúságú szegmensekre, és eltolhatjuk őket -re . A képlet így néz ki $a=0,b=1$ $[a;b]$ $[0;1]$ $a=0,b=1$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k} }{k!}}f^{(k-1)}(x)\jobb|_{0}^{1}+(-1)^{(m+1)}\int \limits _{0} ^{1}{\frac {B_{m}(x)}{m!}}f^{(m)}(x)dx.

A bizonyítást indukcióval hajtjuk végre m -en .

Bázis. at . Részenként integrálva a címen kapjuk: $m=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2))$ $u(x)=f(x),v(x)=x-{\frac {1}{2))$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx-{\frac {1}{2}}(f(1)-f(0))+\int \limits _{0}^{1}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)f'(x)dx.

Lépés. Az indukció lépése egyenértékű az egyenlőség bizonyításával , vagyis ezt bizonyítania kell $R_{m-1}=\left.{\frac {B_{m}}{m!}}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1} +R_{m}$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=m\int \limits _{0 }^{1}B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int \limits _{0}^{1}B_{m}(x)f^{( m)}(x)dx.

Itt is a részenkénti integrálási képlet alkalmazható : -re, tehát a képlet helyes, mivel $u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_{m}(x)$ $B_{m}'(x)=mB_{m-1}(x)$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=\left.B_{m}( x)f^{(m-1)}(x)\jobbra|_{0}^{1},

azaz , és ez igaz, mivel páratlan m -re van . $(-1)^{m}B_{m}=B_{m}(1)=B_{m}(0)$ $B_{m}=0,$

Alkalmazás

Hatványok összege

Számítsuk ki a fokok összegét . Legyen , majd és , az integrálokat számítva, kapjuk: ${\displaystyle \sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1))$ ${\displaystyle f(x)=x^{m-1))$ $f^{(m)}(x)=0$ $R_{m}=0$

\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}={\frac {1}{m))\sum \limits _{k=0}^{m}{\ binom {m}{k}}B_{k}(b^{mk}-a^{mk}).

Inverz négyzetösszeg

Számítsa ki az összeget

1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1} ^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Euler ezt az összeget 20 tizedesjegyig számolta ki az Euler-Maclaurin képlet néhány tagjának felhasználásával 1735-ben. Ez valószínűleg meggyőzte őt arról, hogy ez az összeg egyenlő -vel , amit ugyanabban az évben bebizonyított. [1] [2] ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Numerikus integráció

Az Euler-Maclaurin képlet numerikus integrációs módszerek részletes hibaelemzésére is használható. Megmagyarázza a trapéz módszer nagy teljesítményét a sima periodikus függvényeken , és bizonyos extrapolációs módszerekben használják . A Clenshaw–Curtis kvadratúra lényegében úgy változtatja meg a változókat, hogy egy tetszőleges integrált fejez ki periodikus függvények integráljaival, amelyre az Euler–Maclaurin közelítés különösen pontos (ebben a konkrét esetben az Euler–Maclaurin képletet egy diszkrét koszinusz transzformáció ). Ezt a technikát periodikus függvényté való transzformációnak nevezik.

Az összeg aszimptotikus kifejezése

Egy összeg vagy sorozat aszimptotikus kifejezésének kiszámításához általában az Euler-Maclaurin képlet következő formáját használják leggyakrabban:

\sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f (b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1) }(b)-f^{(2k-1)}(a)\jobbra),

ahol a , b egész számok. A képlet gyakran akkor is érvényben marad, ha bármelyik határértékét kiterjesztik , vagy mindkettőt. Sok esetben a jobb oldali integrál zárt formában is kiszámítható elemi függvényekkel , bár a bal oldali összeg nem fejezhető ki így. Ekkor az aszimptotikus sorozat összes tagja elemi függvényekkel fejezhető ki. Például, $a\to -\infty$ $b\to +\infty$

\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2))}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^ {+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.

Itt a bal oldal , az úgynevezett elsőrendű poligamma függvény , így definiálva ; a gammafüggvény , ha z természetes. A kapott eredmény aszimptotikus kiterjesztése . Ezt a kifejezést használjuk kiindulási pontként a Stirling -féle faktoriális képlet pontos hibájának becsléséhez . $\psi ^{(1)}(z)$ $\psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$ $\Gamma(z)$ $(z-1)!$ $\psi ^{(1)}(z)$

Harmonikus számok közelítése

Feltételezzük , akkor és akkor kapunk ${\displaystyle f(x)=x^{-1))$ $f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})$

\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _ {k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2 )n^{2m+2}}},

ahol . Innen viszonylag gyorsan kiszámítható az Euler-állandó . $0<\theta _{m,n}<1$ $\gamma$

Stirling-féle közelítés a faktoriálishoz

Feltételezzük , akkor és akkor kapunk $f(x)=\ln x$ ${\displaystyle f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1))$

\sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2))+\sum \limits _{k =1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2 }}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},

hol igazán . Mindkét rész exponenciálisát figyelembe véve a Stirling-képletet kapjuk . $\sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}$

Jegyzetek

↑ David J. Pengelley, "Táncok a folytonos és a diszkrét között: Euler's summation formula" Archiválva : 2017. augusztus 9. a Wayback Machine -nél , in: Robert Bradley és Ed Sandifer (szerk.), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002) ) , Euler Társaság, 2003.
↑ K. P. Kokhas. Az inverz négyzetek összege // Matem. megvilágosodás .. - 2004. - Szám. 8 . – S. 142–163 .

Irodalom

Graham R., Knut D. , Patashnik O. Concrete Mathematics. — M .: Mir, 1998. — 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
Fikhtengol'ts GM 12. fejezet. 6. § Burkolat és aszimptotikus sorozatok. Euler-Maclaurin képlet // A differenciál- és integrálszámítás menete. - 7. kiadás, sztereotípia. - M. : Nauka, 1969. - T. 2. - S. 531-551. — 800 s.