Bernoulli polinomok

Bernoulli-polinomok - polinomok sorozata , amely számos speciális függvény , különösen a Riemann ζ-függvény és a Hurwitz-függvény tanulmányozása során keletkezik ; az Appel sorozat egy speciális esete . Az ortogonális polinomokkal ellentétben a Bernoulli-polinomok figyelemre méltóak abban, hogy az intervallum gyökeinek száma nem növekszik a polinom mértékével. A fokozat korlátlan növekedésével a Bernoulli-polinomok megközelítik a trigonometrikus függvényeket . $\ [0,1]$

Jacob Bernoulliról kapta a nevét .

Definíciók

A Bernoulli-polinomok a kényelemtől függően többféleképpen definiálhatók. $\ B_{n}(x)$

Explicit megbízás:

{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{nk}x^{k))

,

ahol a binomiális együtthatók , a Bernoulli-számok , vagy: $C_{n}^{k}$ ${\displaystyle \ B_{k))$

B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1 )^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.

A Bernoulli-polinomok generáló függvénye :

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.

A Bernoulli-polinomokat differenciáloperátorral ábrázolhatjuk:

B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}

, ahol a formális differenciáló operátor .

D

Az első néhány Bernoulli-polinom:

B_{0}(x)=1,

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2)),

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6)),

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30)),

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{ \frac {1}{6}}x,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x ^{2}+{\frac {1}{42}}.

Tulajdonságok

A Bernoulli-polinomok kezdeti értékei egyenlőek a megfelelő Bernoulli-számokkal : $\x=0$

{\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n))

.

A generáló függvény deriváltja:

te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x )}{n!}}t^{n}

.

A bal oldal csak a faktorban tér el a generáló függvénytől , ezért: $\t$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!)}}t^{n}=\sum _{n=0} ^ {\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}

.

Az együtthatók összehasonlítása azonos hatványokon : $\t$

{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!)}}

,

ahol:

\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)

.

(Azokat a függvényeket, amelyek megfelelnek ennek a tulajdonságnak, Appel sorozatnak nevezzük ).

Az utolsó egyenlőségből a Bernoulli-polinomok integrálásának szabálya következik:

\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt

.

Az egyensúly tulajdonság is hasznos:

\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0

(a )

n>0

Argumentumszorzási tétel: ha egy tetszőleges természetes szám , akkor: $m$

\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!)}}={\frac {te^{mxt}} { e^{t}-1))={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1) ) t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left( x+ {\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m - 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n! } }t^{n}.

A megszerkesztett kiterjesztések magukban foglalják az argumentumszorzás tételét:

B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m)) \jobb)

.

Szimmetria:

\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),

\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.

Linkek

Milton Abramowitz és Irene A. Stegun, szerk. Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal , (1972) Dover, New York.