Poligamma függvény

Az m - rendű poligamma-függvény a matematikában a gamma-függvény természetes logaritmusának ( m + 1)-edik deriváltja ,

\psi ^{{(m)}}(z)={\frac {({\rm {d}}}^{m}}{({\rm {d}}}z^{m}}}\ psi (z)={\frac {{{\rm {d}}}^{{m+1}}}{{{\rm {d}}}z^{{m+1}}}}\ln \gamma (z)\;,

hol van a gamma-függvény , és $\Gamma(z)$

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)))

egy digammafüggvény [1] , amely a következő sorozatok összegével is definiálható:

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)=-\gamma +\sum \limits _{{k=0}}^({\infty }}\left({\frac { 1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\jobbra)\;,

hol van az Euler-Mascheroni állandó . Ez az ábrázolás bármely komplexre érvényes (a megadott pontokban a függvénynek elsőrendű szingularitásai vannak) [2] . ${\textstyle {\gamma ))$ $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ ${\textstyle {\psi (z)))$

A poligamma függvény a sorozatok összegével is definiálható

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\sum \limits _{{k=0}}^{\infty }\ megjelenítési stílus {{\frac {1}{(z+k)^{{m+1))))}\;,\qquad m>0\;,

amelyet a digamma-függvény reprezentációjából kapunk z -hez való differenciálással [1] . Ez az ábrázolás bármely komplexre is érvényes (a jelzett pontokon a függvénynek ( m + 1) rendű szingularitásai vannak ). Felírható a Hurwitz zéta függvényben [1] , $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ ${\textstyle {\psi ^{{(m)))(z)))$

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.

Ebben az értelemben a Hurwitz-zéta-függvény használható a poligamma-függvény általánosítására tetszőleges (nem egész) m sorrendre .

Megjegyzendő, hogy a szakirodalomban néha z -re vonatkozó származékokként jelölik, vagy előírják . A függvényt trigamma függvénynek , tetragamma függvénynek , pentagamma függvénynek, hexagamma függvénynek stb. ${\textstyle {\psi ^{{(m)))(z)))$ ${\textstyle {\psi _{{m}}(z)))$ ${\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{{(1)))(z)))$ ${\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{{(2)))(z)))$ ${\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{{(3)}}(z)))$ ${\textstyle {\psi ''''(z)=\psi ^{{(4)))(z)))$

Integrálábrázolás

A poligamma függvény a következőképpen ábrázolható

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{{ -zt}}}{1-e^{{-t}}}}{{\rm {d}}}t

Ez az ábrázolás érvényes Re z >0 és m > 0 esetén . m =0 esetén ( a digamma függvényre ) az integrálábrázolás így írható fel

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{{-t}}-e^ {{-zt))}{1-e^{{-t)))){{\rm {d))}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1 -t^{{z-1}}}{1-t}}{{\rm {d}}}t\;,

hol van az Euler-Mascheroni állandó . ${\textstyle {\gamma ))$

Aszimptotikus kiterjesztések

A ( ) esetén a következő Bernoulli-számokkal történő bővítés érvényes : $z\to\infty\;$ $\;|\operátornév {arg}\;{z}|<\pi$

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m-1}}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{ \frac {m!}{2z^{{m+1))))+\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{ {2k}}}{(2k)!\;z^{{2k+m}}}}\jobbra]

A Taylor-sorozat kiterjesztése az eggyel egyenlő argumentum közelében a következő alakkal rendelkezik

\psi ^{{(m)}}(z+1)=\összeg _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{{m+k+1}}(m+k) !\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,

ahol ζ a Riemann zéta függvényt jelöli . Ez a sorozat a | z | < 1, és a Hurwitz-zéta-függvény megfelelő sorozatából nyerhető ki .

Privát értékek

A poligamma-függvény értékeit az argumentum egész és félegész értékeinél a Riemann zéta-függvényben fejezzük ki ,

\psi ^{{(m)}}(1)=(-1)^{{m+1}}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0

\psi ^{{(m)}}({\tfrac 12})=(-1)^{{m+1}}m!\;(2^{{m+1}}-1)\;\ zéta (m+1)\;,\qquad m>0\;,

és a digamma függvényhez ( m = 0 esetén) -

\psi (1)=\psi ^{{(0)}}(1)=-\gamma \;,

\psi ({\tfrac 12})=\psi ^{{(0)))({\tfrac 12})=-\gamma -2\ln {2}\;,

hol van az Euler-Mascheroni állandó [1] . ${\textstyle {\gamma ))$

A poligamma függvény értékeinek az argumentum egyéb egész (pozitív) és félegész értékeinek megszerzéséhez használhatja az alábbi ismétlődési relációt.

Egyéb képletek

A poligamma függvény kielégíti az ismétlődő relációt [1]

\psi ^{{(m)}}(z+1)=\psi ^{{(m)}}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^ {{m+1}}}}\;,

valamint a komplement képlet [1]

\psi ^{{(m)}}(1-z)+(-1)^{{m+1}}\;\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{ m}\pi ​​​​{\frac {{{\rm {d}}}^{m}}{({\rm {d}}}z^{m}}}\cot(\pi z)\; .

A többszörös argumentum poligamma függvénye a következő tulajdonsággal rendelkezik [1] :

\psi ^{{(m)}}(kz)={\frac {1}{k^{{m+1}}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}} \psi ^{{(m)}}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0

és a digamma függvényhez ( ) hozzá kell adni az ln k [1] -et a jobb oldalhoz , $m=0$

\psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi \left(z+{\frac { n}{k}}\jobbra).

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
↑ Eric W. Weisstein. Digamma Function (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Linkek

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. §6.4 Poligamma függvények // Matematikai függvények kézikönyve (angol) . - New York: Dover Publications , 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Weisstein, Eric W. Polygamma Function (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .