Digamma funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2015. december 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A matematikában a digammafüggvény a gammafüggvény logaritmikus deriváltja : ${\textstyle {\psi (x)))$

\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).

Ez egy elsőrendű poligammafüggvény, és a magasabb rendű poligamma függvények ( trigamma függvény stb.) származnak belőle differenciálással.

Tulajdonságok

A digammafüggvény a harmonikus számokhoz kapcsolódik a relációval $\displaystyle {\psi (n)=H_{{n-1}}-\gamma },$

ahol az n- edik harmonikus szám és az Euler-Mascheroni konstans .

{\textstyle {H_{n))}

{\textstyle {\gamma ))

Kiegészítő képlet ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operátornév {ctg} (\pi x)))$
Visszatérő kapcsolat $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$
Felbontás végtelen összegre $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{ x^{2n}}}$

hol van a Riemann zéta függvény .

\zeta (x)

Logaritmikus bővítés $\psi (x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{{k=0}}^{n}(-1 )^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)$
Gauss- tétel ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)))=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2))\operátornév {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{ q}}\jobbra)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\jobbra)$

feltétellel rendelkező egész számokhoz .

p,q

0<p<q

Mindegyikre érvényesek a sorozat bővítései: $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z))).$

Linkek

Weisstein, Eric W. Digamma Function (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
A digamma függvény tulajdonságai