Teleszkópos sor

A teleszkópos sorozat a matematikában egy végtelen sorozat , amelynek összege könnyen megkapható abból a tényből kiindulva, hogy a zárójelek kinyitásakor szinte minden kifejezés kioltja egymást. A név a teleszkópcső analógiájából származik , amely többszöri összecsukással csökkentheti a hosszát.

Az ilyen sorozatok leghíresebb példája a reciprok téglalap alakú számok összege : , amelyet a következőképpen egyszerűsítünk: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))&{}=\sum _{n=1}^ {\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\\&{}=\left(1-{\frac {1 }{2}}\jobbra)+\bal({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\jobbra)+\cdots =\\&{}=1+\bal (-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3 }}\jobbra)+\cdots =1.\end{igazított}}

A teleszkópos összegek lényege, hogy a sorozat minden tagját különbségként ábrázoljuk, így a sorozat részösszege leegyszerűsödik:

\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3 })+\cdots +(a_{n-1}-a_{n})+(a_{n}-a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}

Hasonlóképpen elképzelhető egy „teleszkópos” termék, vagyis a forma végtelen terméke:

\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}} \cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{ n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}

A feltételesen konvergens végtelen sorozatok összegzésekor figyelni kell arra, hogy a tagok átrendezése az eredmény változásához vezethet (lásd Riemann tételét a feltételesen konvergens sorozatokról ). Például a "paradoxon" a Grandi sorozattal :

0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\sum _{n=1}^ {\infty }(-1+1)=1

Ez elkerülhető, ha mindig figyelembe vesszük az első n tag összegét, majd a határértéket a -ban keressük . $n\to\infty$

Példák

Számos trigonometrikus függvény lehetővé teszi a különbségként való ábrázolást, ami lehetővé teszi a megfelelő kifejezések kölcsönös megsemmisítésének megszervezését.

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac { 1}{2}}\operátornév {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\ sin \left(n\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operátornév {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\ összeg _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2 }}\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operátornév {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\ cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{igazított}}

egy geometriai haladás részösszege :

(x-1)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k+1}-x^{ k})=x^{n+1}-1.

néha kétszer kell alkalmazni a "teleszkópos" transzformációt:

{\begin{aligned}(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum _{k=1}^{n }(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\\&=\sum _{k=1}^{n}[kx^{k+1}- (k-1)x^{k}]-\sum _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]=nx^{n+ 1 }-(n+1)x^{n}+1\end{igazított}}

Egy másik módszer ennek az összegnek a kiszámítására, hogy a tagokat egy geometriai progresszió deriváltjaként ábrázoljuk:

\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}\sum _{k= 0}^{n}x^{k}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}{\frac {x^{n+1}-1}{x- 1}}={\frac {(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^{2}}}={ \frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}

Lásd még

Euler sorozat transzformáció
Diszkrét Abel transzformáció
Konvergenciagyorsulás