Aperi állandó

Irracionális számok ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α, δ - e - e π és π

Apéry állandója ( angol. Apéry állandója , fr. Constante d'Apéry ) egy valós szám , amelyet (néha ) jelölnek, és amely egyenlő a kockákra fordított pozitív egészek összegével, és ezért a Riemann sajátos értéke zéta függvény : $\zeta (3)$ $\zeta _{3}$

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\pontok

Az állandó számértékét végtelen nem periodikus tizedes törtként fejezzük ki [1] [2] :

\displaystyle \zeta (3)=

1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Roger Apéryről nevezték el , aki 1978 -ban bebizonyította, hogy irracionális szám ( Apéry tétele [3] [4] ). A kezdeti bizonyítás összetett technikai jellegű volt, később a bizonyítás egyszerű változatát találták meg a Legendre polinomok segítségével . Nem ismert, hogy az Apéry-konstans transzcendentális szám -e . $\zeta (3)$

Ez a konstans régóta felkeltette a matematikusok érdeklődését – Leonhard Euler [5] [6] még 1735 -ben 16 jelentős számjegyig (1,202056903159594) számította ki.

Alkalmazások a matematikában és a fizikában

A matematikában az Apéry-állandó számos alkalmazásban megjelenik. Konkrétan a reciproka adja meg annak a valószínűségét, hogy bármely három véletlenszerűen kiválasztott pozitív egész szám másodlagos lesz , abban az értelemben, hogy esetén annak a valószínűsége, hogy három pozitív egész szám kisebb, mint (és véletlenszerűen választott), másodprím lesz . $\zeta (3)$ $N\to \infty$ ${\textstyle {N}}$ $1/\zeta (3)$

Az Apéry-állandó természetesen számos fizikai problémában felmerül, beleértve az elektronok anomális mágneses momentumának másodrendű (és magasabb) korrekcióit a kvantumelektrodinamikában . Például az ábrán látható kéthurkos Feynman-diagram eredménye megadja (itt feltételezzük a csak tömeg nélküli virtuális részecskéket tartalmazó belső hurkok momentumának 4-dimenziós integrációját , valamint a megfelelő normalizálást, beleértve a mértéket a külső részecske lendülete ). Egy másik példa a kétdimenziós Debye-modell . $6\zeta (3)$ $k$

Kapcsolat más funkciókkal

Az Apéry-konstans a másodrendű poligamma-függvény adott értékéhez kapcsolódik :

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)

és megjelenik a gamma-függvény Taylor sorozatának kiterjesztésében :

\Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{ \tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]

ahol az Euler-Mascheroni konstanst tartalmazó járulékok faktorral szerepelnek a formában . $e^{{-\gamma \varepsilon }}$ ${\textstyle {\gamma ))$

Az Apéry-állandó a trilogaritmus értékeivel is összefügg (a polilogaritmus speciális esete ): $\mathrm {Li} _{3}(z)$ $\mathrm {Li} _{n}(z)$

\mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)

\mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{ \tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)

Sorábrázolások

Néhány más sorozat, amelynek tagjai inverzek a természetes számok kockáival, szintén Apéry-állandóval vannak kifejezve:

\zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^ {3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}} -{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}} ={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac { 1}{7^{3}}}+\cdots\right)

Más jól ismert eredmények egy harmonikus számokat tartalmazó sorozat összege : ${\textstyle {H_{k))}$

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}

és dupla összeg:

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1 }{jk(j+k)}}

Az irracionalitás bizonyítására Roger Apéry [3] a következő reprezentációt használta: $\zeta (3)$

\zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!) ^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}

ahol a binomiális együttható . ${\textstyle {{\binom {2k}{k))}={\frac {(2k)!}{k!^{2))))$

1773- ban Leonhard Euler [7] sorozat formájában [8 ] adott egy ábrázolást (amelyet később más lapok is többször újra felfedeztek):

\zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\jobbra]

amelyben a páros argumentumok Riemann-zéta-függvényének értékei így ábrázolhatók , hol vannak a Bernoulli-számok . ${\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{{k+1}}(2\pi )^{{2k}}B_{{2k}}/(2(2k)!)}}$ ${\textstyle {B_{{2k))))$

Ramanujan számos sorozatábrázolást adott, amelyek figyelemre méltóak abban, hogy minden iterációnál több új jelentős számjegyet adnak. Ezek közé tartozik [9] :

\zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3 }(e^{{2\pik}}-1)}}

Simon Pluff más típusú sorokat kapott [10]

\zeta (3)=14\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)))-{\tfrac {11} {2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}-1)))-{\ tfrac {7}{2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}+1)} }\;,

valamint más állandók hasonló reprezentációi . $\zeta(2n+1)$

Más sorozatábrázolásokat is szereztek, többek között:

\zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k-1}}{\frac {(56k^ {2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {{\left( -1\jobbra)}^{k}\,2^{{-5+12\,k}}\,k\,\bal(-3+9\,k+148\,k^{2}- 432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\jobbra)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\ ,k\jobbra)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\bal (1+4\,k\jobbra)!}^{3}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+ 250k+77)\cdot k!^{{10}}}{(2k+1)!^{5}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)! (2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}

Ezen reprezentációk némelyikét a sok millió jelentős számjegyből álló Apéry-állandó kiszámítására használták.

1998-ban egy sorozat formájú reprezentációt kaptunk [11] , amely lehetővé teszi az Apéry-állandó tetszőleges bitjének kiszámítását.

Ábrázolások integrálok formájában

Az Apéry-konstansnak számos különböző integrál reprezentációja is létezik, triviális formuláktól kezdve, mint pl

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x} -1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+ 1}}\,dx

vagy

\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx

a Riemann zéta-függvény legegyszerűbb integrál definícióiból [12] követve egészen összetettekig, mint pl.

\zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)} {\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad

( Johan Jensen [13] ),

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad

( Frits Böckers [14] ),

\zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x \left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x))}{\,(1+x^{2})^{4} \,}}\,dx\qquad

(Jaroszlav Blagusin [15] ).

Folytatva törtek

Az Apéry-állandó ( A013631 szekvencia az OEIS -ben ) folyamatos törtrésze a következő:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots )))))) }}\;

Stieltjes és Ramanujan egymástól függetlenül fedezte fel az Apéry-állandó első általánosított folytonos törtjét, amelynek szabályszerűsége van :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\pontok }{\pontok +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\pontok }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Átalakítható:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\pontok }}}}}}}}}}}}}}}}

Az Aperi fel tudta gyorsítani a folyamatos tört konvergenciáját egy állandóra:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\pontok }}}}}}}}}}}}}}

[16] [17]

Tizedesjegyek kiszámítása

Az Apéry-konstans ismert szignifikáns számjegyeinek száma jelentősen megnőtt az elmúlt évtizedekben, mind a megnövekedett számítógépteljesítménynek, mind a továbbfejlesztett algoritmusoknak köszönhetően [18] . $\zeta (3)$

Az Apéry-állandó ismert jelentős számjegyeinek száma

\zeta (3)

dátum	A jelentős számjegyek száma	Számítási szerzők
1735	16	Leonhard Euler [5] [6]
1887	32	Thomas Ioannes Stiltjes
1996	520 000	Greg J. Fee és Simon Plouffe
1997	1 000 000	Bruno Haible és Thomas Papanikolaou
1997 május	10 536 006	Patrick Demichel
1998. február	14 000 074	Sebastian Wedeniwski
1998 március	32 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998 július	64 000 091	Sebastian Wedeniwski
1998 december	128 000 026	Sebastian Wedeniwski [19]
2001, szeptember	200 001 000	Shigeru Kondo és Xavier Gourdon
2002. február	600 001 000	Shigeru Kondo és Xavier Gourdon
2003. február	1 000 000 000	Patrick Demichel és Xavier Gourdon
2006. április	10 000 000 000	Shigeru Kondo és Steve Pagliarulo [20]
2009. január	15 510 000 000	Alexander J. Yee és Raymond Chan [21]
2009. március	31 026 000 000	Alexander J. Yee és Raymond Chan [21]
2010. szeptember	100 000 001 000	Alexander J Yee [22]
2013 szeptember	200 000 001 000	Robert J. Setty [22]
2015. augusztus	250 000 000 000	Ron Watkins [22]
2015. december	400 000 000 000	Dipanjan Nag [22]
2017. augusztus	500 000 000 000	Ron Watkins [22]
2019. május	1 000 000 000 000	Ian Cutress [22]
2020. július	1 200 000 000 000	Seungmin Kim [23]

A zéta függvény egyéb értékei páratlan pontokon

Számos tanulmány foglalkozik a Riemann zéta-függvény más értékeivel a páratlan pontokon . Különösen Vadim Zudilin és Tangay Rivoal munkái mutatják, hogy a számok végtelen halmaza irracionális [24] , és a , , vagy számok közül legalább az egyik irracionális [25] . $\zeta(2n+1)$ $n>1$ $\zeta(2n+1)$ $\zeta (5)$ $\zeta (7)$ $\zeta (9)$ $\zeta (11)$

Jegyzetek

↑ Simon Plouffe, Zeta(3) vagy Apery állandó 2000 helyig , < http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2008. február 5. a Wayback Machine -nél
↑ OEIS sorozat A002117 _
↑ 1 2 Roger Apéry (1979), Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Asterisque T. 61: 11–13
↑ A. van der Poorten (1979), A bizonyíték arra, hogy Euler elmulasztotta... Apéry bizonyítéka a ζ(3) irracionalitására. Egy informális jelentés , The Mathematical Intelligencer vol . 1: 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , < http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2011. július 6. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Leonhard Euler (1741), Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (1735. október 13.) , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae vol. 8: 173–204 , < http: //math.dar~leru.edudar/tleru . docs /originals/E047.pdf > . Letöltve: 2011. február 9. Archiválva : 2011. június 23. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Leonhard Euler (fordította: Jordan Bell, 2008), Bármely sorozat összegének megállapítása egy adott általános kifejezésből , arXiv:0806.4096 , < http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1. pdf > . Letöltve: 2011. február 9. Archiválva : 2021. június 28. a Wayback Machine -nél
↑ Leonhard Euler (1773), Exercitationes analyticae , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae T. 17: 173–204 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf > Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2006. szeptember 17. a Wayback Machine -nél
↑ HM Srivastava (2000), Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions , Taiwanese Journal of Mathematics vol. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487 , < http://www.math.nthu. edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2011. július 19. a Wayback Machine -nél
↑ Bruce C. Berndt (1989), Ramanujan's notebooks, Part II , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0 -387-96794-3 > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2010. augusztus 17. a Wayback Machine -nél
↑ Simon Plouffe (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II , < http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2009. január 30. a Wayback Machine -nél
↑ DJ Broadhurst (1998), Polilogaritmikus létrák, hipergeometrikus sorozatok és a ζ(3) és ζ(5) tízmilliomodik számjegyei , arXiv (math.CA/9803067) , < http://arxiv.org/abs/math. CA/9803067 > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2019. július 13. a Wayback Machine -nél
↑ G. M. Fikhtengolts. Differenciál- és integrálszámítási kurzus (7. kiadás), p. 769. Science, Moszkva, 1969
↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxieme reponse. Remarques relatíve aux reponses du MM. Franel és Kluyver . L'Intermédiaire des mathematiciens, II. kötet, pp. 346-347, 1895.
↑ F. Beukers Megjegyzés a ζ(2) és ζ(3) irracionalitásához . Bika. London Math. szoc. 11, pp. 268-272, 1979.
↑ Iaroslav V. Blagouchine A Malmsten-féle integrálok újrafelfedezése, kiértékelésük kontúrintegrációs módszerekkel és néhány kapcsolódó eredmény. The Ramanujan Journal, vol. 35, sz. 1, pp. 21-110, 2014. Archivált 2017. december 12-én a Wayback Machine -nél PDF Archivált : 2021. május 7-én a Wayback Machine -nél
↑ Steven R. Finch Matematikai állandók 1.6.6 . Letöltve: 2020. augusztus 10. Az eredetiből archiválva : 2020. november 28. (határozatlan)
↑ van der Poorten, Alfred (1979), Bizonyíték arra, hogy Euler elmulasztotta... Apéry bizonyítékát ζ (3) irracionalitására , The Mathematical Intelligencer 1. kötet (4): 195–203, doi : 10.1007/ BF03028234 https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation , numbers.computation.free.fr , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2011. január 15. a Wayback Machine -nél
↑ Sebastian Wedeniwski (2001), A Zeta értéke (3) 1 000 000 helyre , Gutenberg projekt
↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), Az Apéry állandója: ζ(3) , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2008. november 13. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Alexander J. Yee és Raymond Chan (2009), Large Computations , < http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html > . Letöltve: 2011. február 8. Archiválva : 2009. december 9. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 3 4 5 6 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) - Apery's Constant , < http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/ > . Letöltve: 2018. november 24. Archiválva : 2018. november 18. a Wayback Machine -nél
↑ Apery állandója | Polymath Collector . Letöltve: 2021. február 27. Az eredetiből archiválva : 2020. október 17. (határozatlan)
↑ T. Rivoal (2000), La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. sci. Paris Ser. I Math. T. 331: 267–270
↑ V. V. Zudilin. A ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) számok egyike irracionális // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , sz. 4(340) . – S. 149–150 .

Linkek

Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin. I.2.4. A ζ(3) diofantin közelítései és irracionalitása // Bevezetés a számelméletbe . - VINITI, 1990. - T. 49. - S. 83-89. — 341 p. - (Tudomány és technológia eredményei. "A matematika modern problémái. Alapvető irányok" sorozat).
V. Ramaswami (1934), Notes on Riemann ζ-function , J. London Math. szoc. T. 9: 165–169, doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165 , < http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf >
Weisstein, Eric W. Apéry állandója (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Számok tulajdonnévvel

Matematikai állandók

Algebrai

Transzcendentális ,
valószínűleg transzcendentális

Ezer fok

Régi orosz számok

A tíz többi hatványa

Tizenkettő hatványai

Más egész

Egyéb számok

képzeletbeli egység

Irracionális számok
Apéry állandó ( ζ(3) ) Erdős-Borwein állandó ( E ) Feigenbaum állandók Szofomor álom Prímszám állandó (ρ) Műanyag szám (ρ) Kettős logaritmus (ln 2) 2 12. gyöke ( 12 √ 2 ) 2 négyzetgyöke ( √ 2 ) 3 négyzetgyöke ( √ 3 ) 5 négyzetgyöke ( √5 ) Arany arány (φ) Szuper aranymetszés (ψ) Ezüst metszet ( δS ) e π Gelfond állandó ( e π ) Gelfond-Schneider állandó ( 2 √ 2 ) Inverz Fibonacci-állandó (ψ)
transzcendentális Trigonometrikus