Landau-Ramanujan állandó

A matematikában a Landau-Ramanujan állandó a számelmélet eredménye , amely a számegyenesen lévő egész számok két négyzetének összegének sűrűségére vonatkozik. Ezt a tételt Edmund Landau és Srinivasa Ramanujan egymástól függetlenül bebizonyította .

Sűrűségtétel két négyzet összegére

Ha a szegmensen azon egész számok száma, amelyek két négyzetes egész szám összege, akkor $N(x)$ $[1,\;x]$

N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x)))}(1+o(1)),

hol van a Landau-Ramanujan arányossági állandó : $C$

C=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\kb 0{,}764\;223\ ;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.

Egy egész szám közelítésének pontossága két négyzet összegével

A Landau-Ramanujan tételből az következik, hogy növelve egy egész szám 1-től két négyzetösszegére való közelítésének átlagos hibája nem kisebb, mint . Egy ilyen felső közelítés hibájának ma ismert triviális becslése (2013) sokkal nagyobb - . Euler kora óta létezik olyan sejtés [1] , hogy $x$ $x$ ${\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))$ $O(x^{1/4})$

\min _{u,\;w\in \mathbb {Z} }|xu^{2}-w^{2}|\leqslant x^{\varepsilon },

hol van olyan, . $\varepsilon>0,\;\varepsilon$ $x\geqslant x_{1}(\varepsilon )$

Ez a probléma Waring problémájának általánosítása .

A pontos ábrázolás lehetőségének kritériumai

Egy szám akkor és csak akkor ábrázolható formában ( és egész számok), ha az alak összes prímszáma benne van egy páros fokozatú szám kanonikus dekompozíciójában . [2] $a$ $s^{2}+t^{2}=a$ $s$ $t$ $4k+3$

Ezt az eredményt először Fermat érte el, és Euler bizonyította .

Jegyzetek

↑ Modern. prob. Mat., 2008, 11. szám
↑ K. Chandrasekharan. Bevezetés az analitikus számelméletbe . – Világ, 1968.

Linkek

Weisstein, Eric W. Landau–Ramanujan Constant (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
A064533 szekvencia az OEIS -ben