Pöttyös szám

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Dotti-szám az egyenlet valós megoldásaként definiált állandó

\cos x=x,

ahol az argumentumot radiánban mérjük . Tizedes jelölésben Dottie száma megközelítőleg egyenlő a -val . [egy] $\kötözősaláta$ $0.739085133215...$

A köztes érték tételből az következik, hogy a jelzett egyenletnek legalább egy megoldással kell rendelkeznie. A függvény deriváltja egyenlő és szinte mindenhol pozitív, ami azt jelenti, hogy maga a függvény monoton növekvő , és nem lehet több nullája. Így az egyenlet egyértelműen meghatározza a vizsgált állandót. $x-\cos(x)$ $\sin(x)+1$ $\cos x=x$

A trigonometrikus függvények értékei

Legyen a Dottie-szám. Akkor: $D$

\mathrm {sin} (D)\körülbelül 0,673612029183

\mathrm {tg} (D)\körülbelül 0,911413312094

Tulajdonságok

A Dotti-szám a koszinuszfüggvény nem triviális vonzási fix pontja önmaga egy tetszőlegesen nagy valós (de nem komplex ) környezetében . Más szóval, bármely valós szám esetén egyenlő a Dotti-állandóval. A komplex egyenletnek ezen kívül végtelen számú megoldása van, de egyik sem vonzó fixpont . $x$ $\lim \limits _{n\to \infty }(\underbrace {\cos(\cos(\dots \cos(x)\dots ))} _{n})$ $\cos z=z$ $z$

Ezenkívül a Dotti-szám transzcendentális , ami a Lindemann-Weierstrass tétellel igazolható . [2]

A Lagrange-sorinverziós tétel segítségével igazoltuk, hogy a Dotti-szám egy sorozatként ábrázolható , ahol minden páratlanra a következőképpen definiált racionális szám: ${\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{2n-1}\pi ^{2n-1}$ $a_n$ $n$

{\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!\;2^{n))}\lim _{t\to {\frac {\pi }{2} }}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\left({\frac {\cos t}{t-\pi /2}}-1 \jobbra)^{-n}}\end{igazított}}

A sorozat első néhány tagja : [3] [4] [5] [nb 1] $(a_{n})$ $-{\frac {1}{4)),-{\frac {1}{768)),-{\frac {1}{61440)),-{\frac {43}{165150720)) ,\ldots$

Képlet Excelben

A Dotti-szám képlete Excelben vagy LibreOffice Calc-ban: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

A név eredete

Ennek az állandónak a nevét Samuel Kaplan adta egy Dottie nevű francia tanár tiszteletére, aki egy számológép koszinusz gombjának újra és újra megnyomásával fedezte fel, és mesélt róla férjének, matematikatanárnak. [3]

Lábjegyzetek

↑ Kaplan nem ad explicit kifejezést a sorozat feltételeire, de ez azonnal következik Lagrange sorozatinverziós tételéből .

Jegyzetek

↑ OEIS A003957 . oeis.org . Hozzáférés időpontja: 2019. május 26. (határozatlan)
↑ Eric W. Weisstein. Dottie szám . (határozatlan)
↑ 1 2 Kaplan, Samuel R. The Dottie Number // Mathematics Magazine : magazin . - 2007. - február ( 80. köt. ). — 73. o .
↑ OEIS A302977 A Kaplan-sorozat racionális tényezőjének számlálói a Dottie-számhoz. . oeis.org . Hozzáférés időpontja: 2019. május 26. (határozatlan)
↑ A306254 - OEIS . oeis.org . Letöltve: 2019. július 22. (határozatlan)

Linkek

T. Miller (1890) A cosx = x egyenlet gyökeinek számértékeiről
Valery Salov (2012) Inevitable Dottie Number. A koszinusz és a szinusz iteráljai
Mohammad K. Azarian (2008) Egy függvény fixpontjairól és összetett függvényeinek fixpontjairól

Számok tulajdonnévvel

Matematikai állandók

Algebrai

Transzcendentális ,
valószínűleg transzcendentális

Ezer fok

Régi orosz számok

A tíz többi hatványa

Tizenkettő hatványai

Más egész

Egyéb számok

képzeletbeli egység