Legendre állandó

A Legendre -konstans egy olyan matematikai állandó , amely Adrien Marie Legendre által a prímszám-eloszlási függvény aszimptotikus viselkedésére javasolt hipotetikus képletben jelenik meg . Ma már tudjuk, hogy ez a szám pontosan 1 . $\pi(x)$

A prímszámokra rendelkezésre álló numerikus adatok vizsgálata arra késztette Legendre-t, hogy olyan sejtést kapjon, amely kielégíti a közelítési képletet. $\pi(x)$

Legendre 1808-ban azt javasolta

\pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)))

ahol ….( A228211 ) [1] . $\lim _{x\to \infty }B(x)=1,08366$

Vagy hasonlóan

\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-{n \over \pi (n)}\right)=B

ahol B a Legendre állandó. Feltételezte, hogy B hozzávetőlegesen 1,08366, de a pontos értékétől függetlenül B létezése magában foglalja a prímszámok eloszlását .

Pafnuty Lvovics Csebisev 1849-ben [2] bebizonyította, hogy ha létezik B határértéke , akkor annak pontosan egyenlőnek kell lennie 1-gyel. Egy egyszerűbb bizonyítékot adott 1980-ban Pintz [3] .

A prímszámok eloszlására vonatkozó tétel azonnal egy képletet tartalmaz, amelynek pontos maradéktagja van

\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\jobbra)

nál nél

x\to \infty

(valamilyen pozitív konstans a , és O (…) - O nagy ). 1899 -ben Charles de la Vallée-Poussin [4] bebizonyította, hogy B egyenlő 1-gyel. (A prímszámtételt 1896-ban egymástól függetlenül Jacques Hadamard [5] és la Vallée-Poussin [6] bizonyította , de hibabecslések nélkül).

Amikor kiderült, hogy a Legendre-konstans egy ilyen elemi szám, a Legendre-konstans fogalma többnyire csak történelmi jelentőséggel bír, de gyakran (tévesen) a konstans 1,08366 értékűnek nevezik. ...

Pierre Duzar 2010-ben bizonyított

{\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)

számára , és

x\geqslant 5393

\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1))

a [7] számára . Ezt át lehet írni így

x\geqslant 60184

\pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)))

-val .

1<B(x)<1,1

Jegyzetek

↑ Ribenboim, 2004 , p. 188.
↑ Landau, 1974 , p. 17.
↑ Pintz, 1980 , p. 733-735.
↑ La Vallée Poussin, Mém, 1899 , p. 1-74.
↑ Hadamard, 1896 , p. 199–220.
↑ La Vallée Poussin, 1896 , p. 183-256, 281-361.
↑ Dusart, Pierre NÉHÁNY FUNKCIÓ BECSLÉSE AZ RH NÉLKÜLI PRIMES FELÜTT . archive.org. Letöltve: 2014. április 22. Az eredetiből archiválva : 2021. május 6.. (határozatlan)

Irodalom

Pál Ribenboim. A Nagyobb Prímek Kis Könyve. - New York: Springer-Verlag, 2004. - ISBN 0-387-20169-6 .
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. - Harmadik (javított) kiadás, két kötet egyben. – Chelsea, 1974.
Pintz J. Legendre prímszám-képletéről // Amer. Math. Havi. - 1980. - T. 87 .
La Vallee Poussin, C. Mem. // Curonnes Acad. Roy. - Belgique, 1899. - T. 59 . - S. 1-74 .
Jacques Hadamard. Sur la Distribution des zéros de la fontction et ses conséquences arithmétiques $\zeta (s)$ // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1896. - T. 24 . – S. 199–220 . Archiválva az eredetiből 2012. július 17-én.
La Vallee Poussin. Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers // Annales de la société scientifique de Bruxelles. - 1896. - T. 20 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Legendre állandója (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Hipotézisek prímszámokról _
Hipotézisek	Hardy – Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hipotézis Brocard Bunyakovszkij Kínai hipotézis Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problémák Goldbach Legendre Ikerszámok Legendre állandó Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hipotézis H Waringa