Mersenne hipotézisei

Mersenne hipotézisei a Mersenne -számok prímszámainak leírására vonatkoznak (a kettő egység nélküli hatványaival egyenlő számok).

Mersenne eredeti sejtése

Az eredeti sejtés, amelyet Mersenne-hipotézisnek neveznek, Marin Mersenne állítása a Cogitata Physica-Mathematica című művében (1644; lásd Dickson 1919), hogy a számok prímek n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 esetén. , 67 , 127 és 257, és az összes többi pozitív egész számra összetett , n ≤ 257. E számok nagysága miatt Mersenne nem tesztelte és nem is tudta ezeket a számokat a 17. században tesztelni. Végül három évszázad elteltével és az új technikák, például a Luc-Lehmer teszt elérhetővé válása után kiderült, hogy a Mersenne-hipotézis öt hibát tartalmazott, mégpedig két összetett hibát ( n = 67, 257) és három hiányzó prímet ( n = 61, 89, 107) számok. Helyes lista: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 és 127.

Bár az eredeti Mersenne-sejtés nem helytálló, az új Mersenne-hipotézishez vezetett .

Mersenne új sejtése

Az új Mersenne-sejtés vagy Bateman, Selfridge és Wagstaff [1] sejtése kimondja, hogy bármely p páratlan természetes számra , ha az alábbi feltételek közül bármelyik kettő teljesül, akkor a harmadik is teljesül:

  1. p = 2k ± 1 vagy p = 4k ± 3 valamilyen k természetes számra . ( A122834 )
  2. 2 p − 1 prím ( Mersenne-szám ). ( A000043 )
  3. ( 2p + 1) / 3 egy prím ( Wagstaff prím ). ( A000978 )

Ha p páratlan összetett , akkor az összetett számok is azok. Így a hipotézis helyességének ellenőrzéséhez elegendő csak prímszámokat tesztelni.

Jelenleg ismert, hogy azon számok között, amelyekre mindhárom feltétel teljesül, a 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 ( A107360 ), és feltételezhető, hogy a 127-nél nagyobb számok között van nincs szám, amelyre mindhárom feltétel teljesül.

Egyszerű, amelyhez legalább egy feltétel teljesül:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 534 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 991891, 99420 , ...

Vegyük észre, hogy a két szám, amellyel Mersenne hibázott (67 és 257), beleesik a feltételekbe (67 = 2 6  + 3, 257 = 2 8  + 1), de a 89 és 107 nem. Így eredeti formájában Mersenne azt gondolhatta, hogy 2 p − 1 akkor és csak akkor prím, ha valamilyen természetes k esetén p = 2 k ± 1 vagy p = 4 k ± 3 .

A Mersenne-sejtés állapota az első 100 prímszámra
2 3 5 7 tizenegy 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
p p alakja 2 n  ± 1 vagy 4 n  ± 3
p 2 p  − 1 egyszerű
p (2 p  + 1)/3 prím
p p legalább egy feltételnek eleget tesz

Az új Mersenne-hipotézis egy évszázados Mersenne-hipotézis megoldására tett kísérletnek tekinthető, amely nem helyes. Robert D. Silverman [2] szerint azonban John Selfridge úgy véli, hogy az új Mersenne-sejtés "nyilvánvalóan igaz", mert úgy fogalmazták meg, hogy az ismert adatoknak eleget tegyen, és a sejtés körülményei között ellenpéldák rendkívül valószínűtlenek. Inkább tekinthető érdekes megfigyelésnek, mint igazolást igénylő kérdésnek.

Renaud Lifshitz kimutatta, hogy az új sejtés minden 20 996 010-nél kisebb egészre igaz [3] , az összes olyan páratlan prímszám egymás utáni tesztelésével, amelyekről ismert, hogy egy feltétel teljesül. Weboldala [4] dokumentálja az ellenőrzés eredményeit egészen addig a számig. Az új sejtésről szóló oldal másik, újabb verziója az "A New Conjecture on Mersenne Primes" [5] .

A Lenstra-Pomerans-Wagstaff hipotézis

Lenstra , Pomerans és Wagstaff azt sejtették, hogy végtelenül sok Mersenne-prím létezik . Pontosabban, az x -nél kisebb Mersenne-prímek számát aszimptotikusan közelítjük

[6] ,

hol van az Euler-Mascheroni állandó . Más szavakkal, az y -nál kisebb p kitevővel rendelkező Mersenne-prímek száma aszimptotikus

[6]

Ez azt jelenti, hogy átlagosan körülbelül ≈ 5,92 p prímszámnak kell lennie adott számú tizedesjegygel, hogy az prím legyen.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989 , p. 125-128.
  2. ↑ Téma: The New Mersenne sejtés  . mersenneforum.org . Archiválva az eredetiből 2017. június 15-én.
  3. ↑ Az új Mersenne Prime sejtés a Prime Pages-en  . Letöltve: 2018. március 20. Az eredetiből archiválva : 2018. március 6..
  4. ↑ Renaud Lifchitz. Az "Új Mersenne-sejtés  " állapota . www.prímszámok.net . Archiválva az eredetiből 2019. április 3-án.
  5. ↑ Chris K. Caldwell. Az új Mersenne-i miniszterelnök sejtése  . A Prime Pages . Az eredetiből archiválva: 2018. március 6.
  6. ↑ 1 2 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture Archivált : 2018. március 5. a Wayback Machine -nél . The Prime Pages . Letöltve: 2014-05-11.

Irodalom

Linkek

 Hipotézisek prímszámokról _
Hipotézisek