Legendre hipotézis

Legendre sejtése (Landau 3. problémája) egy olyan matematikai sejtés , amely eredmények és hipotézisek családjából származik a prímszámok közötti intervallumokról , amely szerint bármely természetes számára létezik és között prímszám . Ez Landau egyik problémája . Legendre fogalmazta meg 1808-ban, [1] 2022-ben sem bizonyított, sem cáfolhatatlan. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$

Elsődleges tartományok

A prímek eloszlására vonatkozó tételből következik, hogy a és [2] közötti prímek száma aszimptotikusan hajlik . Mivel ez a szám növekedésével növekszik , ez alapot ad Legendre hipotéziséhez. $n^{2}$ $(n+1)^2$ $n/\ln n$ $n$

Ha a sejtés igaz, akkor a tetszőleges prím és a következő prím közötti intervallumnak mindig [3] sorrendűnek kell lennie , és -jelölésben az intervallum . Két erősebb hipotézis, Andritz sejtése és Opperman sejtése, az intervallumok azonos viselkedését feltételezi. A hipotézis nem ad megoldást a Riemann-hipotézisre , hanem megerősíti az egyik következményt, ha a hipotézis igaz. $p$ $\sqrt{p}$ $O$ $O(\sqrtp)$

Ha igaz Cramer sejtése (hogy az intervallumoknak rendje van ), akkor ebből kellően nagyra Legendre sejtése következik . Cramer azt is kimutatta, hogy a legnagyobb prímszámok közötti intervallum méretének gyengébb korlátja következik a Riemann-hipotézisből [4] . ${\displaystyle (\log p)^{2))$ $n$ $O({\sqrt {p}}\log p)$

A 10 18 körüli ellenpéldának az átlagos intervallum 50 milliószorosának kell lennie.

Legendre sejtéséből az következik, hogy az Ulam-spirál minden félfordulatában legalább egy prím található .

Részeredmények

A 2000-es évek elején megállapították, hogy minden nagy [5] intervallumban van prímszám . $[x,\,x+O(x^{21/40})]$ $x$

A prímek maximális intervallumainak táblázata azt mutatja, [6] , hogy a hipotézis -ig tart . $n^{2}=4\cdot 10^{18}$

Bebizonyosodott, hogy végtelen számú szám esetén $n \in \mathbb N$

\left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)))-{\frac {n ^{2}}{\log n}}\jobbra)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\jobbra\rfloor \leq \pi \left((n +1)^{2}\jobbra)-\pi \left(n^{2}\jobbra),

ahol a prímszámok eloszlásfüggvénye [7] . $\pi$

Lásd még

Jegyzetek

↑ A LEGANDRE-HIPOTÉZIS BIZONYÍTÁSA ÉS KITERJESZTÉSE A PRÍMSZÁMOK ELMÉLETÉBEN
↑ OEIS szekvencia A014085 . _
↑ Ez annak a következménye, hogy két egymást követő négyzet közötti különbség négyzetgyökük nagyságrendje.
↑ Stewart, 2013 , p. 164.
↑ Baker, Harman, Pintz, Pintz, 2001 , p. 532-562.
↑ Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014 , p. 2033-2060.
↑ Hassani, Mehdi (2006), Prímszámok számolása az intervallumban ( n 2 , ( n + 1) 2 ), arΧiv : math/0607096 .

Irodalom

Baker RC, Harman G., Pintz G., Pintz J. Az egymást követő prímszámok különbsége, II // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - Vol. 83 , iss. 3 . - P. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
Tomás Oliveira és Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Az egyenletes Goldbach-sejtés empirikus ellenőrzése és a prímrések számítása a // Számítási matematika-ig. - 2014. - Kt. 83 , iss. 288 . - P. 2033-2060 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . $4\cdot 10^{18}$
Ian Stewart. Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems (angol) . - Alapkönyvek, 2013. - ISBN 9780465022403 . .

Linkek

Weisstein, Eric W. Legendre sejtése (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Hashimoto, Tsutomu (2008), Legendre sejtése és Bertrand posztulátuma közötti bizonyos kapcsolatról, arΧiv : 0807.3690 .
Mitra, Adway; Paul, Goutam & Sarkar, Ushnish (2009), Néhány sejtés a prímek számáról bizonyos intervallumokban, arΧiv : 0906.0104 .
Paz, német (2013), Legendre, Brocard, Andirca és Oppermann sejtéseiről, arΧiv : 1310.1323 .

Hipotézisek prímszámokról _
Hipotézisek	Hardy – Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hipotézis Brocard Bunyakovszkij Kínai hipotézis Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problémák Goldbach Legendre Ikerszámok Legendre állandó Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hipotézis H Waringa