Ábel tétele

Abel tétele a hatványsorok elméletének eredménye, amelyet Niels Abel norvég matematikusról neveztek el . Ennek az inverze az Abel-Tauber-tétel .

Nyilatkozat

Legyen egy hatványsor összetett együtthatókkal és konvergenciasugárral . ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n))$ $R$

Ha a sorozat konvergens, akkor: ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n))$

\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}

Bizonyítás

A változók változása is szóba jöhet . Szintén (a szükséges kiválasztásával ) feltételezhetjük . Jelöljük a sorozat részösszegeit . A feltételezés szerint és bizonyítani kell, hogy . $u=x/R$ $R=1$ $a_{0}$ $\textstyle \sum a_{n}=0$ $S_{n}$ $\textstyle \sum a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$

Fontolja meg . Aztán (feltételezve ): $x\in[0,1]$ $S_{-1}=0$

\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n} (x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.

Innentől kiderül . ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n))$

Egy tetszőleges számhoz létezik egy természetes szám , amely mindenre vonatkozik , tehát: $\varepsilon >0$ $N_{0}$ $|S_{n}|\leq \varepsilon$ $n>N_{0}$

\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0} ^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.

A jobb oldal 1-re hajlik, különösen kisebb , ha 1 -re megy . $\varepsilon$ $x$ $2\varepsilon$ $x$

Példák

1. példák

Vegyük . Mivel a sorozat konvergál, a következőkkel rendelkezünk: $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1 +x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{ n}}

2. példák

Vegyük . Mivel a sorozat konvergál, a következőkkel rendelkezünk: $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan (x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\ frac {(-1)^{n}}{2n+1}}

Linkek

Abel summability (angolul) a PlanetMath weboldalán . (egy általánosabb pillantás az ilyen típusú Abel-tételekre)
Weisstein, Eric W. Abel konvergenciatétele (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .