Abel tétele a hatványsorok elméletének eredménye, amelyet Niels Abel norvég matematikusról neveztek el . Ennek az inverze az Abel-Tauber-tétel .
Legyen egy hatványsor összetett együtthatókkal és konvergenciasugárral .
Ha a sorozat konvergens, akkor:
.A változók változása is szóba jöhet . Szintén (a szükséges kiválasztásával ) feltételezhetjük . Jelöljük a sorozat részösszegeit . A feltételezés szerint és bizonyítani kell, hogy .
Fontolja meg . Aztán (feltételezve ):
Innentől kiderül .
Egy tetszőleges számhoz létezik egy természetes szám , amely mindenre vonatkozik , tehát:
A jobb oldal 1-re hajlik, különösen kisebb , ha 1 -re megy .
Vegyük . Mivel a sorozat konvergál, a következőkkel rendelkezünk:
Vegyük . Mivel a sorozat konvergál, a következőkkel rendelkezünk: