Operátor (fizika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az operátor a kvantummechanikában egy lineáris leképezés , amely a hullámfüggvényre hat , amely egy komplex értékű függvény, amely a rendszer állapotának legteljesebb leírását adja. Az operátorokat nagy latin betűkkel jelöljük , felül körülírattal . Például:

${\kalap {A)],{\kalap {B)],{\kalap {C)),\pontok$

Egy operátor a tőle jobbra lévő függvényre hat (úgy is mondják, hogy egy függvényre vonatkoztatják vagy megszorozzák egy függvénnyel):

${\hat {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}$

A kvantummechanika a lineáris önadjungált (Hermitian) operátorok matematikai tulajdonságát használja fel , hogy mindegyiknek van sajátvektora és valós sajátértéke . Az adott operátornak megfelelő fizikai mennyiségek értékeként működnek .

Aritmetikai műveletek operátorokon

Egy operátort operátorok összegének (különbségének) nevezünk , ha mindhárom operátor definíciós tartományából bármelyik függvényre teljesül a következő feltétel: ${\kalap {C}}$ ${\kalap {A},{\kalap {B}}$ $\ \Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi$

Egy operátort akkor nevezünk operátorok szorzatának, ha bármely függvényre teljesül a következő feltétel: ${\kalap {C}}$ ${\kalap {A},{\kalap {B}}$ $\ \Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}({\hat {B}}\Psi )$

Általában

{\hat {A}}{\hat {B}}\not ={\hat {B}}{\hat {A}}

Ha , akkor az operátorokról azt mondják , hogy ingáznak . Az operátorkommutátort a következőképpen határozzuk meg ${\hat {A}}{\hat {B}}={\kalap {B}}{\kalap {A}}$ ${\kalap {A},{\kalap {B}}$

$[{\kalap {A)],{\kalap {B}}]={\kalap {A}}{\kalap {B}}-{\kalap {B}}{\kalap {A}}$

Az operátor sajátértékei és sajátfüggvényei

Ha van egyenlőség:

${\hat {A}}\Psi =a\Psi ,$

akkor az operátor sajátértékét hívják , a függvényt pedig az adott sajátértéknek megfelelő operátor sajátfüggvényének . Leggyakrabban egy operátornak sajátérték-készlete van: Az összes sajátérték halmazát egy operátor spektrumának nevezzük . $\a$ ${\kalap {A}}$ $\ \Psi$ ${\kalap {A}),$ $\ a_{1},a_{2},\pontok ,a_{n},\pontok$

Lineáris és önadjungált operátorok

Egy operátort lineárisnak nevezünk, ha bármelyik párra teljesül a feltétel: ${\kalap {L}}$ $\varphi _{{i}},C_{{i}}$

${\hat {L}}\sum _{{i}}C_{{i}}\varphi _{{i}}=\sum _{{i}}C_{{i}}{\hat {L} }\varphi_{{i}}.$

Egy operátort önadjungáltnak ( Hermitian ) nevezünk, ha bármelyikre teljesül a következő feltétel: ${\kalap {A}}$ $\Psi ,\varphi$

$\left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Ráadásul az önadjungált operátorok összege egy önadjungált operátor. Az önadjungált operátorok terméke önadjungált operátor, ha ingáznak. Az önadjungált operátorok sajátértékei mindig valósak. A különböző sajátértékeknek megfelelő önadjungált operátorok sajátfüggvényei ortogonálisak .

A kvantumfizikában használt operátorok

A kvantumfizikában a fizikai rendszerek fő jellemzői a megfigyelhető mennyiségek és állapotok .

A kvantumfizikában a megfigyelhető mennyiségeket lineáris önadjungált operátorokkal társítják egy komplex szeparálható Hilbert-térben , az állapotokat pedig e tér normalizált elemeinek osztályaihoz (az 1. normával). Ez elsősorban két okból történik:

A fizikai mennyiségek meghatározott értékeinek megfelelő önadjungált operátorok sajátértékei valós számok , vagyis az, amivel a kísérletezők a gyakorlatban foglalkoznak (műszerleolvasások, számítási eredmények stb.).

Egy és ugyanaz a kvantumrészecske lehet egyidejűleg kvantumállapotok halmazában , amelyeket a megfelelő operátor sajátértékeinek halmaza jellemez. Lehet véges halmaz (diszkrét értéktartomány), intervallum ( folyamatos értéktartomány ) vagy vegyes halmaz.

A kvantumfizikában létezik egy "nem szigorú" szabály a fizikai mennyiségek operátorának megalkotására : az operátorok közötti kapcsolat általában ugyanaz, mint a megfelelő klasszikus mennyiségek között. E szabály alapján a következő operátorokat vezettük be (koordinátaábrázolásban):

Koordináta operátor :

${\hat {{\mathbf {x}}}}=x$

A koordináta operátor feladata, hogy megszorozza a koordinátavektort.

Momentum operátor :

${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla$

Itt van a képzeletbeli egység és a nabla operátor . $\én$ $\nabla$

Kinetikus energia kezelő :

${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Itt van a Dirac állandó , a Laplace operátor . $\hbar$ $\Delta$

Potenciális energiaszolgáltató :

${\hat {U}}=U(x,y,z,t)$

Az operátor művelete itt egy függvénnyel való szorzásra redukálódik.

Hamilton operátor :

${\kalap {H}}={\kalap {T}}+{\kalap {U}}$

Momentum operátor :

${\hat {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar [{\mathbf {r}},\nabla ]$ . Ezt a formát a Noether-tétellel és az SO(3) csoporttal kapcsolatos okok miatt is választottuk

spin operátor :

A spin 1/2 legfontosabb esetben a spin operátor alakja: , ahol ${\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}$

${\hat {\sigma }}_{{x}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , , - ún. Pauli mátrixok . Ez a faj hasonló az előzőhöz, de az SU(2) csoporthoz kapcsolódik . ${\hat {\sigma }}_{{y}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ ${\hat {\sigma }}_{{z}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Lásd még

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. " Theoretical Physics ", 10 kötetben, 3. v., "Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet)", 5. kiadás, M., Fizmatlit, 2002, 808 p., ISBN 5-005721 -2 (3. kötet);
„Funkcionális elemzés”, szerk. 2, rev. és további ("Reference Mathematical Library" sorozat), szerzők csapata, szerk. S. G. Kerin , Moszkva, "Nauka", 1972, 517.2 F 94