Bloch gömb

A Bloch-gömb egy módja annak, hogy a qubit tiszta állapotait a gömbön lévő pontokként ábrázoljuk .

Leírás

A qubit tiszta állapotát leíró hullámfüggvény a két alapállapotának szuperpozíciójaként ábrázolható, és [1] : $|\mathbf {\psi } \rangle$ $|\mathbf {0} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$ $|\mathbf {1} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$

|\mathbf {\psi } \rangle =c_{0}|\mathbf {0} \rangle +c_{1}|\mathbf {1} \rangle ,\qquad c_{0},c_{1} \in \mathbb {C} ,\quad |c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1

Ez az ábrázolás 4 valós paraméterből áll. A korlátok miatt azonban a paraméterek száma csökkenthető.

Mivel a és együtthatók komplex számok , a polárkoordináta-rendszerben ábrázolhatók : $c_{0}$ $c_{{1}}$

c_{0}=r_{0}e^{i\phi _{0}}\qquad c_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}}

ahol és az abszolút értéke , és a szögek. $r_{0}$ ${\displaystyle r_{1))$ $\phi _{0}$ $\phi _{{1}}$

Ha az együtthatók poláris reprezentációját az eredeti kifejezésben helyettesítjük -re, a következőt kapjuk: $|\mathbf {\psi } \rangle$

|\mathbf {\psi } \rangle =r_{0}e^{i\phi _{0))|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1 }}|\mathbf {1} \rangle

Az egymástól komplex számmal való szorzásban eltérõ hullámfüggvények megkülönböztethetetlenek. Ezért, ha elfogadjuk , akkor a figyelembe vett qubit állapota így ábrázolható ${\displaystyle e^{i\xi ))$ $\xi =-\phi _{0}$

|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))\left( r_{0}e^{i\phi _{0}}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1}}|\mathbf {1} \rangle \right) =r_{0}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i(\phi _{1}-\phi _{0})}|\mathbf {1} \rangle

Így az egy qubit rendszer leírásához szükséges független valós paraméterek száma háromra csökkenthető: az abszolút értékekre és , valamint a szögkülönbségre . $r_{0}$ ${\displaystyle r_{1))$ $\phi =\phi _{1}-\phi _{0};\;\phi \in [0,2\pi )$

A fent említett korlátozásból az következik, hogy . Így az abszolút értékeket is ábrázolhatjuk $|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1$ $r_{0}^{2}+r_{1}^{2}=1$

r_{0}=\cos {\tfrac {\theta }{2}}\qquad r_{1}=\sin {\tfrac {\theta }{2}}

hol van valami szög. $\theta \in [0,\pi ]$

Így az egyetlen qubitből álló kvantumrendszer kezdeti állapota ekvivalensen leírható csak két valós paraméter, szögek és : $\phi$ $\theta$

|\mathbf {\psi } \rangle =\cos {\tfrac {\theta }{2))|\mathbf {0} \rangle +e^{i\phi }\sin {\tfrac {\theta }{2}}|\mathbf {1} \rangle

Mivel a és szögek függetlenek, hosszúságnak és szélességnek tekinthetők egy bizonyos Bloch-gömbön (lásd az ábrát). $\phi$ $\theta$

A kvantummechanika matematikai apparátusa Hilbert-et, pontosabban komplex projektív Hilbert-teret használ a fizikai rendszerek leírására. Egy kvantumrendszer tiszta állapotainak terét a Hilbert-tér egyenesei (vagy a projektív Hilbert-tér pontjai) adják meg. Egy kétdimenziós Hilbert-tér esetében ez egyszerűen az összetett projektív egyenes , amely egy gömbbel azonosítható . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {S} ^{1}$

A Bloch-gömb egyetlen kétdimenziós gömb, amelynek minden átlósan ellentétes pontpárja kölcsönösen ortogonális állapotvektoroknak felel meg. Általában feltételezik, hogy a Bloch-gömb északi és déli pólusa megfelel a bázisvektoroknak és , ami viszont megfelelhet például két elektronspin állapotnak („spin up” és „spin down”) . Ez a pontválasztás azonban önkényes. A gömb felületén lévő pontok a kvantumrendszer tiszta állapotainak, míg a gömbön belüli pontok vegyes állapotokat jelentenek. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Lásd még

Irodalom

Nielsen M., Chang I. Kvantumszámítás és kvantuminformáció: Per. angolból - M .: Mir, 2006. 824 p. ISBN 5-03-003524-9

Jegyzetek

↑ Anastasios Kyrillidis. Bevezetés a kvantumszámításba: Bloch-gömb. (angol) . http://akyrillidis.github.io _ http://akyrillidis.github.io+ ( 2018. január 14.). Letöltve: 2019. február 28. Az eredetiből archiválva : 2019. február 28.