3d gömb

A háromdimenziós gömb ( háromdimenziós hipergömb , néha 3 gömb ) egy gömb a négydimenziós térben . A négydimenziós euklideszi tér egy rögzített központi pontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmazából áll . Csakúgy, mint egy kétdimenziós gömb, amely három dimenzióban alkotja egy gömb határát , a 3-gömbnek három dimenziója van, és egy négydimenziós gömb határa.

Egyenlet

Descartes-koordinátákban egy háromdimenziós sugarú gömb adható meg az egyenlettel ${\megjelenítési stílus (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ $r$

(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2} +(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

Ha a komplex teret valósnak tekintjük , a gömb egyenlete a következőnek tekinthető $\mathbb {C} ^{2}$ $\R^4$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{ 2}|^{2}=1\jobbra\}.

Hasonlóképpen a kvaterniós térben : $\mathbb {H} ^{1}$

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Háromdimenziós sokaság lévén egy háromdimenziós gömb parametrikusan három koordinátával definiálható. Példa erre a hiperszférikus koordináták:

x_{0}=r\cos \psi ,

x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,

x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,

x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .

Tulajdonságok

A háromdimenziós gömb a négydimenziós gömb határa. $S^{3}$

A háromdimenziós gömb egy kompakt összekapcsolt háromdimenziós elosztó . Egy háromdimenziós gömb egyszerűen össze van kötve , azaz bármely rajta lévő zárt görbe folyamatosan összehúzható egy pontra.

A háromdimenziós gömb homeomorf egy háromdimenziós valós tér egypontos tömörítéséhez . $\mathbb {R} ^{3}$

Csoportstruktúra

Egységkvaterniók halmazaként a háromdimenziós gömb csoportstruktúrát örököl.

Így a gömb egy Hazugság csoport . A dimenziós gömbök közül csak és rendelkezik ezzel a tulajdonsággal . $S^{3}$ $n$ $S^{1}$ $S^{3}$

A kvaterniók mátrixreprezentációját használva Pauli-mátrixok segítségével csoportreprezentációt definiálhatunk : $S^{3}$

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Ezért a csoport izomorf a Lie mátrixcsoporttal . $S^{3}$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Az U(1) csoport és a Hopf-szál akciója

Ha csoportos műveletet határoz meg : $U(1)$

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1) ,

akkor a pályák tere homeomorf a kétdimenziós gömbhöz . Ebben az esetben a gömbön egy kötegstruktúra keletkezik, amelynek alapja és rétegei homeomorf , azaz körök . Ezt a csomagot Hopf-kötegnek hívják . [egy] $S^{2}$ $S^{3}$ $S^{2}$ $U(1)$ $S^{1}$

A Hopf-köteg egy példa egy nem triviális főcsomagra. Koordinátákban a képlet adja meg

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).

A gömb pontja ( z 1 , z 2 ) a CP 1 komplex projektív egyenes [ z 1 : z 2 ] pontjára van leképezve , amely diffeomorf a kétdimenziós gömbhöz . $S^{3}$ $S^{2}$

A gömb homotópiás csoportjai

A gömb egyszerű összekapcsolása azt jelenti, hogy az első homotópiacsoport . Szintén nulla a csoport . $\pi _{1}(S^{3})=\{0\}$ $\pi _{2}(S^{3})=\{0\}$

Jegyzetek

↑ Postnikov M. M. Előadások az algebrai topológiáról, p. 20. - Moszkva, Nauka, 1984.

Lásd még

Poincare-sejtés

Irodalom

Fomenko A. T., Fuchs D. B. A homotópia topológia kurzusa. - M. , 1989.

Linkek

Weisstein, Eric W. Hypersphere (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén . (hun.) Megjegyzés : Ez a cikk alternatív elnevezési sémákat használ a gömbökhöz, amelyekben az N-dimenziós térben lévő gömböt N - gömbnek nevezik .