Topológiai terek szorzata

A topológiai terek szorzata olyan topológiai tér , amelyet az eredeti topológiai terek derékszögű szorzataként kapunk , és egy természetes topológiával, amelyet szorzattopológiának [1] [2] vagy Tikhonov-topológiának neveznek . A "természetes" szót itt a kategóriaelmélet értelmében használjuk, és azt jelenti, hogy ez a topológia kielégít valamilyen univerzális tulajdonságot .

Ezt a topológiát először Andrej Tikhonov szovjet matematikus tanulmányozta 1926 -ban .

Definíciók

Legyen:

\{X_{\alpha }:\alpha \in A\}

topológiai terek családja,

X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }

a derékszögű termékük (készletként),

p_{\alpha }:X\-X_{\alpha }

a szorzat rávetítése a megfelelő tényezőre.

A Tihonov-topológia a legdurvább topológia (azaz a legkevesebb nyitott halmazzal rendelkező topológia ), amelyre minden vetítés folyamatos . Ennek a topológiának a nyílt halmazai a formájú halmazok összes lehetséges uniója , ahol mindegyik nyitott részhalmaz és csak véges számú indexhez. Konkrétan, véges számú tér szorzatának nyílt halmazai egyszerűen az eredeti terek nyitott részhalmazai szorzatainak uniói. $x$ $p_{\alpha }$ $\prod _{i\in I}U_{i}$ $U_{i}$ $X_{i}$ $U_{i}\neq X_{i}$

A Tikhonov-topológia a következőképpen írható le: a halmazok egy családját tekintjük a topológia előbázisának . A topológia alapja a -ból származó halmazok összes lehetséges véges metszéspontja, a topológia pedig az alapból származó halmazok összes lehetséges uniója. $x$ ${\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}$ ${\mathfrak {P}}$

A Tikhonov topológia gyengébb , mint az úgynevezett "doboz" topológia, amelynél a topológia alapját a szorzóterek nyitott részhalmazainak minden lehetséges szorzata alkotja. Egy ilyen topológia nem rendelkezik a fenti univerzális tulajdonsággal, és Tyihonov tétele nem igaz rá .

Példák

A szokásos topológia (a metrika által indukált topológia) a szorzat derékszögű topológiája $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} .$

A Cantor-halmaz a {0,1} diszkrét tér megszámlálható számú másolatának szorzatával, az irracionális számok tere pedig a természetes számok megszámlálható számú terének szorzatával (diszkrét topológiával) homeomorf.

Tulajdonságok

A topológiai tér az egyes komponensekre vonatkozó vetületekkel együtt az univerzális tulajdonság segítségével definiálható : ha egy tetszőleges topológiai tér és mindegyikhez folyamatos leképezés van megadva, akkor létezik egy egyedi leképezés , amelyre az alábbi diagramok kommutatívak: $x$ $X_{i}$ $Y$ $i\in I$ $Y\to X_{i},$ $Y\-X,$ $i\in I$

Ez azt mutatja, hogy a Tikhonov termék a topológiai terek kategóriájába tartozik . Az univerzális tulajdonságból következik, hogy egy leképezés akkor és csak akkor folytonos, ha minden leképezés folytonos , sok esetben könnyebben ellenőrizhető a folytonosság. $f:Y\-X$ $f_{i}=p_{i}\circ f,$ $f_{i}$

A vetítések nemcsak folyamatosak, hanem nyitott leképezések is (vagyis a termék minden nyitott halmaza, ha egy komponensre vetítjük, egy nyitott halmazba kerül). Ennek fordítottja általában véve nem igaz (ellenpélda egy részhalmaz, amely egy nyitott kör komplementere). Ezenkívül a vetületek nem feltétlenül zárt leképezések (ellenpélda, hogy egy zárt halmaz koordinátatengelyekre vetítéseinek képei nem az egyenes zárt részhalmazai). $p_{i}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\},$

Egy termék topológiáját néha pontszerű konvergencia topológiájának is nevezik. Ennek oka a következő: egy termékből származó elemsorozat akkor és csak akkor konvergál, ha a képe az egyes komponensekre vetítve konvergál. Például egy szorzat topológiája a valós értékű függvények terén egy olyan topológia, amelyben egy függvénysorozat pontszerű konvergálásakor konvergál. $\mathbb {R} ^{I},$ $én$

Kapcsolat más topológiai fogalmakkal

Elválaszthatósági axiómák :

A -terek szorzata rendelkezik a tulajdonsággal . $T_{0}$ $T_{0}$
A -terek szorzata rendelkezik a tulajdonsággal . $T_{1}$ $T_{1}$
A Hausdorff terek terméke a Hausdorff.
A szabályos terek szorzata szabályos.
A teljesen szabályos terek szorzata teljesen szabályos.
A normál terek szorzata nem mindig normális .

Kompaktság :

A kompakt terek szorzata kompakt .
A lokálisan kompakt terek terméke nem mindig lokálisan kompakt. Azonban egy olyan lokálisan kompakt terek családjának terméke, amelyben véges számú komponens kivételével minden alkatrész kompakt, lokálisan kompakt.

Csatlakozás :

Az összefüggő (ill. úthoz kötődő) terek szorzata összefüggő (illetve útkapcsolatos).
A teljesen szétválasztott terek szorzata teljesen le van választva.

A Tikhonov termékek kompaktsága

Tyihonov tétele : ha minden halmaz kompakt , akkor a Tyihonov-szorzatuk is kompakt. $X_{\alpha }$

Az állítás bizonyításához Alexander előbázis-tétele szerint elegendő annak bizonyítása, hogy az előbázis elemei általi minden lefedés enged egy véges részborítót. Bármely , legyen az összes olyan halmaz uniója, amelyekhez a halmaz a borítóban található. Ekkor az X tér fedetlen részét a következő képlettel fejezzük ki: ${\mathfrak {P}}$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $U\in X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }^{-1}(U)$

\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }

Mivel ez a halmaz üres, legalább egy tényezőnek üresnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy egyesek számára a szóban forgó burkolat tartalmazza a tér lefedésének -előképét . A tér tömörsége miatt a fedőjétől megkülönböztethető egy véges alborító, majd ennek a leképezéshez viszonyított inverz képe a tér véges alborítója lesz . $\alpha$ $\pi _{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }$ $x$

Lásd még

Tyihonovszkij kocka

Jegyzetek

↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. N. Fomenko. Bevezetés a topológiába. 2. kiadás, add. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 . S. 107.
↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elemi topológia. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 . S. 158.

Irodalom

Engelking R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.