Az általános topológia szószedete

Ez a szószedet meghatározza az általános topológiában használt főbb kifejezéseket . A szószedetben található hivatkozások dőlt betűvel vannak szedve.

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V Y Z _ _ _ _ _ _ _

A

Antidiszkrét topológia A tér topológiája , amelyben csak két halmaz nyitott: maga a térés az üres halmaz.

x

x

B

Topológia alap Nyitott halmazok halmaza úgy, hogy bármely nyitott halmaz az alapban lévő halmazok uniója.

A

Topológiai térsúly A térben lévő összes bázis minimális kapacitása . Tényleg teljes tér Egy tér, amely homeomorf a valódi vonal valamely erejének zárt alteréhez. belső A halmaz összes belső pontjának halmaza . Egy adott halmaz legnagyobb befogadás szerinti nyitott részhalmaza. Egy készlet belső pontja Egy pont, amely az adott halmazban benne van a szomszédságával együtt . Feliratos fedezet A borító akkor van beírva a borítóba , ha mindegyik halmaz benne van a borítóban

A

B

A

B

Teljesen leválasztott tér Olyan tér, amelyhez nem kapcsolódik egynél több pontot tartalmazó részhalmaz . Mindenhol sűrű halmaz Egy készlet, amelynek zárása egybeesik a teljes térrel. kivájt környék Egy adott pont környéke , ahonnan ezt a pontot eltávolították.

G

Homeomorfizmus Olyan bijekció , hogy és folytonosak .

f

f

f^{-1}

Homeomorf terek Olyan terek, amelyek között homeomorfizmus van . Homotópia Folyamatos leképezéshez olyan folyamatos leképezést , hogy bármely . A jelölést gyakran használják , különösen .

f\kettőspont X\Y-ra

F\colon[0,\;1]\X\-szor Y

F(0,\;x)=f(x)

x\X-ben

f_t(x)=F(t,\;x)

f_0=f

Homotopikus leképezések A leképezéseket homotópiának nevezzük, vagy ha van olyan homotópia , hogy és .

f,\;g\kettőspont X\-ig

g\sim f

f_t

f_0=f

f_1=g

Topológiai terek homotópiás ekvivalenciája A és topológiai terek homotopikusan ekvivalensek, ha létezik olyan folytonos leképezés pár , amely és itt a leképezések homotópiás ekvivalenciáját jelöli , vagyis a homotópiával való ekvivalenciát . Azt is mondják, hogy és ugyanaz a homotópia típus .

x

Y

f\kettőspont X\Y-ra

g\kettőspont Y\-től X-ig

f\circ g\sim \mathrm{id}_Y

g\circ f\sim \mathrm{id}_X

\sim

x

Y

Homotópia invariáns A topológiai terek homotópiás ekvivalenciája alatt megőrzött tér jellemzője . Vagyis ha két tér homotopikusan ekvivalens, akkor ugyanaz a jellemzőjük. Például a kapcsolat , az alapcsoport , az Euler-karakterisztika homotópia invariánsok. Homotop típus A topológiai terek homotópia ekvivalencia osztályát , vagyis a homotópia ekvivalens tereket azonos homotópia típusú tereknek nevezzük. A határ 1. Relatív határ . 2. Ugyanaz, mint az elosztó széle .

D

ajtótér Olyan tér, amelyben minden részhalmaz nyitott vagy zárt. Kettőspont Két pontból álló topológiai tér; Három lehetőség van a topológia megadására – a diszkrét topológia egyszerű kettőspontot , az antidiszkrét egy ragadós kettőspontot , az egy pontból álló nyitott topológia pedig egy összefüggő kettőspontot képez . Deformáció visszahúzódása A topológiai tér olyan részhalmaza , amelynek az a tulajdonsága, hogy a tér azonosságleképezésének homotópiája létezik valamilyen leképezésre , amely alatt a halmaz összes pontja rögzített marad .

A

x

\mathrm{id}_X

X\-nek A

A

Diszkrét topológia Egy topológia , amelyben minden halmaz nyitott . diszkrét készlet Egy halmaz, amelynek minden pontja elszigetelt .

W

zárt készlet Egy halmaz, amely egy nyitott kiegészítése . Zárt kijelző Olyan leképezés, amely alatt bármely zárt halmaz képe le van zárva. bezárás Az adott legkisebb zárt halmaza .

És

Indukált topológia Topológia a topológiai tér egy részhalmazán , amelyben a nyílt halmazokat a környezeti tér nyitott halmazainak metszéspontjainak tekintjük .

A

A

Elszigetelt beállítási pont Egy pontot izoláltnak nevezünk egy topológiai tér halmazához, ha létezik olyan szomszédság , amely .

a

A

x

O(a)

A\cap O(a) = a

K

Kardinális invariáns Topológiai invariáns , kardinális számként kifejezve. Baer kategória Egy topológiai tér jellemzője, amely két érték egyikét veszi fel; az első Baire-kategória azokat a tereket tartalmazza, amelyek megszámlálható fedést engednek meg a sehol sem sűrű részhalmazoknak, a többi szóköz a második Baire-kategóriához tartozik. Tömörítés A tér tömörítése egy pár , ahol egy kompakt tér, egy térnek egy térbe való homeomorf beágyazódása , és mindenütt sűrű a Szintén magát a teret nevezzük tömörítésnek .

x

(Y,f)

Y

f

x

Y

f(X)

Y

Y

Kompakt kijelző Topológiai terek leképezése úgy, hogy az egyes pontok inverz képe kompakt legyen . kompakt tér Egy topológiai tér, amelyben a nyílt halmazok bármely fedője tartalmaz egy véges alborítót . Pontcsatlakozási komponens Az ezt a pontot tartalmazó maximális csatlakoztatott készlet. Folytonosság Összekapcsolt kompakt Hausdorff topológiai tér. Kúp a topológiai tér felett Egy tér esetében (amelyet a kúp alapjának nevezünk ) az a tér, amelyet a szorzatból kapunk, ha az alteret egyetlen pontra zsugorítjuk, amelyet a kúp csúcsának nevezünk .

x

\mathrm{C}X

X\times[0,\;1]

X\time\{0\}

L

Lindelof tér Egy topológiai tér, amelyben a nyílt halmazok bármely fedele tartalmaz megszámlálható alborítót. úthoz kapcsolódó tér Olyan tér, amelyben bármely pontpár görbével összekapcsolható. Helyileg kompakt tér Olyan tér, amelyben bármely pontnak kompakt környezete van . Részhalmazok lokálisan véges családja Egy topológiai tér részhalmazainak családja úgy, hogy ebben a térben minden pontnak van olyan környéke, amely ennek a családnak csak véges számú elemét metszi. Helyileg összekapcsolt tér Olyan tér, amelyben bármely pontnak összefüggő szomszédsága van . Helyileg összehúzható tér Olyan tér, amelyben bármely pontnak összehúzható szomszédsága van . Lokális homeomorfizmus Topológiai terek leképezése úgy, hogy minden ponthoz van egy szomszédság , amelyre homeomorf módon van leképezve . Néha egy követelmény automatikusan bekerül a lokális homeomorfizmus definíciójába, és ezen felül a leképezést nyitottnak feltételezzük.

f\kettőspont X\Y-ra

x\X-ben

U_x

f

Y

f(X)=Y

f

M

masszív készlet Egy topológiai tér részhalmaza , amely megszámlálható számú nyitott sűrű részhalmaz metszéspontja . Ha minden masszív halmaz sűrű -ben van , akkor Baire-térről van szó .

S

x

x

x

x

A teljes metrikával mérhető tér Egy tér homeomorf egy teljes metrikus térhez . Mérhető tér Egy metrikus térrel homeomorf tér . Elosztó Hausdorff topológiai tér lokálisan homeomorf az euklideszi térrel . Többszörösen összekapcsolt terület Egy útvonalhoz kapcsolódó tér olyan régiója , amelynek alapvető csoportja nem triviális. A második Baer kategória készlete Minden olyan halmaz, amely nem az első Baer-kategória halmaza . Az első Baer kategória készlete Egy halmaz, amely a sehol sem sűrű halmazok megszámlálható uniójaként ábrázolható. Típuskészlet

F_\sigma

Zárt halmazok megszámlálható uniójaként ábrázolható halmaz. Típuskészlet

G_\delta

Nyitott halmazok megszámlálható metszéspontjaként ábrázolható halmaz.

H

burkolat Útvonalhoz kapcsolódó terek leképezése , amely alatt bármely pontnak van szomszédsága , amelyre van homeomorfizmus , ahol van egy diszkrét tér , amelyre a feltétel mellett a természetes vetületet jelöli, akkor .

p:X\-ig

y\-ban Y

U\Y részhalmaz

h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma

\Gamma

\pi:U\times \Gamma\to U

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

örökletes tulajdon Egy topológiai tér olyan tulajdonsága, hogy ha egy tér rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, akkor bármelyik alterének is megvan ez a tulajdonsága. Például: metrizálhatóság és Hausdorffness . Ha egy tér bármely alterében van a tulajdonság , akkor azt mondják, hogy örökletesen rendelkezik a tulajdonsággal . Például egy topológiai térről azt mondják, hogy örökletesen normális, örökletesen Lindelöf, örökletesen elválasztható.

x

P

x

P

folyamatos megjelenítés Olyan leképezés, amely alatt bármely nyitott halmaz inverz képe nyitva van. Sehol sem sűrű halmaz Olyan készlet, amelynek zárja nem tartalmaz nyitott készleteket (a záróelemnek üres a belseje). normál tér Egy topológiai tér, amelyben az egypontos halmazok zártak, és bármely két zárt diszjunkt halmaznak diszjunkt környezetei vannak .

Oh

Vidék Egy topológiai tér nyílt összekapcsolt részhalmaza . Egyszerűen összekapcsolt tér Összefüggő tér , egy olyan kör bármilyen leképezéseamelybe homotopikus egy állandó leképezés. Szomszédság Nyitott környék vagy egy nyitott szomszédságot tartalmazó halmaz . nyitott környék Pont vagy halmaz esetén az adott pontot vagy adott halmazt tartalmazó nyitott halmaz. nyitott készlet Egy halmaz, amelynek minden eleme valamilyen szomszédsággal együtt benne van, a topológiai tér definíciójában használt fogalom . nyitott kijelző Olyan leképezés , amely alatt bármely nyitott halmaz képe nyitva van . Nyitott-zárt készlet Nyitott és zárt készlet . Nyitott-zárt leképezés Nyitott és zárt leképezés . Relatív határ A topológiai tér egy részhalmazának a metszéspontja a komplementere záródásával . Egy halmaz határát általában jelöli .

E

\részleges E

Relatív topológia Ugyanaz, mint az indukált topológia . Viszonylag kompakt készlet Egy topológiai tér részhalmaza, amelynek zárása kompakt. Az ilyen halmazt precompactnak is nevezik .

P

Helypár Egy rendezett pár , ahol egy topológiai tér és egy altér ( altér topológiával ).

{\megjelenítési stílus (X,A)}

x

A

Parakompakt tér Egy topológiai tér, amelybe bármely nyitott fedőbe beírható egy lokálisan véges nyitott fedő (vagyis olyan, hogy bármely ponthoz találhatunk olyan környéket , amely ennek a fedőnek véges számú elemével metszi egymást). Topológiai térsűrűség Egy tér mindenütt sűrű részhalmazainak minimális számossága . sűrű halmaz Egy topológiai térben lévő halmaz, amelynek nem üres metszéspontja van egy tetszőleges pont bármely környezetével .

x

x\X-ben

Titkos Borító esetén az alborító a , ahol az if maga is borító.

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

\{V_\beta\}

\beta\a B\A részhalmazban

\{V_\beta\}

altér A topológiai tér indukált topológiával ellátott részhalmaza . Bevonat Egy részhalmaz vagy tér esetében ez a halmazok uniójaként való ábrázolása, pontosabban halmazok halmaza , úgy, hogy . Leggyakrabban a nyitott borítókat veszik figyelembe, vagyis azt feltételezik, hogy mindegyik nyitott készlet.

x

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

X\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha

\{V_\alpha\}

Cseh komplett tér Egy teret Cech befejezettnek nevezünk, ha létezik a tér tömörítése úgy, hogy az egy típushalmaz a térben .

x

(Y,f)

x

f(X)

G_\delta

Y

Rendelési topológia Topológia egy tetszőleges rendezett halmazon , amelyet a form és a halmazok előbázisa vezet be , ahol minden elemen keresztül fut .

\langle X, \sqsubseteq \rangle

\{x\in X\mid x \sqsubseteq a, x\neq a\}

\{x\in X\mid a \sqsubseteq x, x\neq a\}

a

x

előbázis Egy topológiai tér nyitott részhalmazainak családja úgy, hogy az összes olyan halmaz halmaza, amely véges számú elem metszéspontja, bázist alkot .

Y

x

Y

x

határpont Egy topológiai tér részhalmazához egy olyan pont , amelynek bármely c szúrt környezetében van legalább egy pont -tól .

A

x

a\in X

A

A

Származtatott készlet Az összes határpont halmaza . Egyszerű vastagbél Két pontból álló topológiai tér, amelyben mindkét egypontos halmaz nyitott. Közvetlen Aleksandrova Egy jól rendezett halmaz derékszögű szorzata feletti topológiai tér és egy valós félintervallum a lexikográfiai rendezés alatti sorrendtopológiával egy normál Hausdorff -féle nem- metrizálható tér, amely számos topológiai érvelésben fontos ellenpélda.

A\times[0, 1)

Straight Suslin Egy hipotetikus (léte független a ZFC -től ) teljes lineárisan rendezett sűrű halmaz, amely rendelkezik a közönséges vonal néhány tulajdonságával, de nem izomorf vele. Topológiai tér pszeudokaraktere Egy topológiai tér pszeudokaraktereinek felsőbbsége minden pontban. Topológiai tér pszeudokarakterje egy pontban Egy pont összes szomszédságcsaládjának minimális kardinalitása , amelyek egy pontban metszik egymást.

R

szabályos tér Egy topológiai tér, amelyben az egypontos halmazok zártak, és minden zárt halmazhoz és egy abban nem szereplő ponthoz léteznek nem metsző környezeteik . Visszavonás Egy topologikus tér visszahúzása ennek a térnek egy olyan altere , amelyre a -n van visszahúzás .

x

A

x

A

visszahúzás A visszahúzás egy folyamatos leképezés egy topológiai térből ennek a térnek egy alterére , amely megegyezik a -val .

x

A

A

C

Összekapcsolt kettőspont Topologikus kétpontos tér, amelyben az egypontos halmazok közül csak az egyik nyitott. összefüggő tér Olyan tér, amelyet nem lehet két nem üres, nem metsző zárt halmazra felosztani . elválasztható tér Topológiai tér, amelyben mindenütt megszámlálható sűrű halmaz található . A topológiai tér hálózati súlya Az űrben lévő összes hálózat minimális kapacitása . Háló A topologikus tér hálózata a tér részhalmazainak családja , úgy, hogy bármely pontra és bármely szomszédságára létezik , úgy, hogy .

x

N

x

x

U

V\in N

x\in V\U részhalmaz

Összetapadt vastagbél Két pont antidiszkrét topológiai tere. Topológiai tér terjedése Az összes diszkrét alterek kardinalitásainak felsőbbsége. összehúzódott tér Egy ponttal homotopikusan egyenértékű tér. A topológiai terek összege A topológiai terek családjának összege ezeknek a topológiai tereknek mint halmazoknak diszjunkt uniója a topológiával , amely az összes olyan halmazból áll, ahol mindegyik nyitott -ben . Kijelölve .

\{A_s\}_{s\in S}

\coprod_{s\in S}A_s

\coprod_{s\in S}U_s

Minket

Mint

\bigoplus_{s\in S}A_s

T

A topológiai tér feszessége A topológiai tér feszességének felsőbbsége minden ponton. Topológiai térfeszesség egy pontban Egy topologikus tér feszessége egy pontban a legkisebb kardinális , amelyre ha , akkor legfeljebb olyan kardinalitás létezik , hogy .

x

x

\alpha

x\in \bar{A}

B\A részhalmaz

\alpha

x\in\bar{B}

Tikhonov tér Egy topológiai tér, amelyben az egypontos halmazok zártak, és minden ponthoz és bármely pontot nem tartalmazó zárt halmazhoz létezik egy folytonos valós függvény, amely egyenlő a halmazon és a ponton .

x

F

x

0

F

egy

x

Topológiai invariáns A homeomorfizmus alatt megőrzött tér jellegzetessége . Azaz, ha két tér homeomorf, akkor ugyanaz az invariáns jellemzőjük. Például a topológiai invariánsok a következők: tömörség , összekapcsoltság , alapcsoport , Euler karakterisztikája . Topológiailag injektív leképezés Folyamatos térkép, amely homeomorfizmust valósít meg a definíciós tartomány és annak teljes képe között. Topológiai tér Egy adott topológiájú halmaz , azaz meghatározásra kerül, hogy mely részhalmazai nyitottak . Topológia Egy halmaz részhalmazainak családja, amely egy tetszőleges uniót és elemeinek véges metszetét, valamint az üres halmazt és önmagát tartalmazza . A család elemeit nyílt halmazoknak nevezzük . A topológia a bázison keresztül is bevezethető , mint egy család, amely az alap elemeinek tetszőleges uniójából áll.

x

x

A kompakt konvergencia topológiája A folytonos valós függvények halmazán adott topológiát, amelyet prenormák családja határoz meg , kompakt konvergencia topológiájának nevezzük.

p_n(x)=\sup_{-n\leqslant t\leqslant n}|x(t)|,\;n\in\N

Pontszerű konvergencia topológiája A topológiai tértől a topológiai térig tartó folytonos függvények halmazán definiált topológiát , amelynek alapja az összes olyan alak halmaza, ahol -pontok -ból nyitott halmazok - pontszerű konvergencia topológiájának nevezzük. Az ilyen topológiájú halmazt jelöli .

C(X,Y)

x

Y

\{f: f(x_1) \in U_1, f(x_2) \in U_2, \dots, f(x_n) \in U_n\},

x_1 , x_2,\pontok x_n

X, U_1 , U_2,\pontok U_n

Y

C(X,Y)

C_p(X,Y)

Az egyenletes konvergencia topológiája Legyen egy norma a folytonos függvények vektorterén egy kompakt topológiai téren . Az ilyen metrika által generált topológiát egyenletes konvergencia topológiának nevezzük.

L(K)

f

K

\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|

Scott topológia Egy teljes, részben rendezett halmaz feletti topológia , amelyben a felső halmazok nyitottnak tekinthetők, amelyek nem érhetők el a közvetlen kapcsolatok számára. Felhalmozódási pont Ugyanaz, mint a határérték . Teljes felhalmozási pont Egy halmaz esetében a topológiai tér olyan pontja , ahol bármely szomszédság metszéspontja ugyanolyan kardinalitású , mint a teljes halmazé .

M

x\-ben M

x

M

x

M

érintési pont Egy halmazhoz egy olyan pont, amelynek bármely szomszédságában van legalább egy pont -ból . Az összes érintési pont halmaza egybeesik a zárással .

M

M

\overline{M}

Triviális topológia Ugyanaz, mint az antidiszkrét topológia

Wu

Univerzális homeomorfizmus Fóka Folyamatos bijekció .

F

Tényezőtér Topológiai tér ekvivalenciaosztályok halmazán: Topológiai tér és ekvivalenciareláció esetén a hányadoshalmaz topológiáját úgy vezetjük be, hogy a nyílt halmazokat minden olyan halmaz családjaként definiáljuk, amelyek inverz képe nyitott a hányadosleképezésben (egy elemet társít ekvivalencia osztály ).

x

\sim

X/\!\sim

x

x\X-ben

[x]_{\sim} = \{y\in X\mid x\sim y\}

Alapvető szomszédsági rendszer A pont szomszédságainak alapvető rendszere a pont szomszédságainak családja , így a pont bármely szomszédságára létezik , úgy, hogy .

x

B

x

U

x

V\in B

V\alhalmaz U

X

Topológiai tér karaktere A topológiai tér karaktereinek felsőbbsége minden ponton. Topológiai tér karaktere egy pontban Ennek a pontnak az összes alapvető szomszédságrendszerének minimális kardinalitása . Hausdorff tér Egy topológiai tér, amelyben bármely két különálló pontnak nem metsző szomszédsága van .

C

Henger a topológiai tér felett Egy tér esetében a szorzataként megszerkesztett tér .

x

{\mathrm Z}X

X\times[0,\;1]

kijelző henger Leképezéshez egy hányadostér, amelyet az összegből szerkesztünk, és egy pontot azonosítunk egy ponttal mindenre .

f:X\Y-ig

{\mathrm Z}_{f}

X\times[0,\;1]

Y

(x,1)\in X\szor [0,\;1]

f(x)\Y-ban

x\X-ben

H

Egy topológiai tér Lindelöf száma A legkisebb bíboros olyan, hogy bármilyen nyitott fedőből ki lehet húzni egy alborítót, legfeljebb kardinalitás mellett .

\alpha

\alpha

Egy topológiai tér Suslin-száma Nem metsző, nem üres nyitott halmazok családjainak kardinalitási felsőbbsége .

E

Topológiai tér kiterjedése Az összes zárt diszkrét részhalmaz kardinalitásainak felsőbbsége.

Irodalom

Bourbaki, N. A matematika elemei. Általános topológia. Alapvető szerkezetek. - M .: Nauka, 1968.
Aleksandrov, PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Általános topológia. - M .: Nauka, 1968.
Viro, O. Ya., Ivanov, O. A., Kharlamov, V. M., Netsvetaev, N. Yu. Problémakönyv a topológiáról .
Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.