Indukált topológia

Az indukált topológia természetes módja a topológia meghatározásának egy topológiai tér részhalmazán.

Definíció

Legyen adott egy topológiai tér , ahol egy tetszőleges halmaz és egy topológia , amely a -n definiált . Hadd is . A részhalmazok családját a következőképpen határozzuk meg: $(X,\;\mathcal{T})$ $x$ $\mathcal{T}$ $x$ $Y\X részhalmaz$ ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$

{\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.

Könnyű ellenőrizni, hogy mi a topológia . Ezt a topológiát indukált topológiának nevezzük . A topológiai teret altérnek nevezzük . ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$ $\mathcal{T}$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $(X,\;\mathcal{T})$

Ez a konstrukció általánosítható. Legyen tetszőleges halmaz, topológiai tér és tetszőleges leképezés -ben . Ezután vesszük a ( ) form összes lehetséges halmazát , ahol nyílt halmazok vannak a -ban . A topológiát leképezés által indukált topológiának nevezzük . Ez azért jó, mert ebben a topológiában a megjelenítés automatikusan folyamatossá válik. Ez a leggyengébb (ez tartalmazza a legkevesebb halmazt) az összes lehetséges tértopológia közül, amelyre a leképezés folyamatos lesz. $x$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $f:X\Y-ig$ $x$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f^{-1}$ $V$ $V$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f$ $f$ $x$ $f$

Példa

Adjunk meg egy valós egyenest standard topológiával . Ekkor az összes természetes szám halmazán utoljára indukált topológia diszkrét . $\mathbb {R}$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$