Közvetlen Aleksandrova

Az Alekszandrov -vonal (vagy hosszú vonal ) egy topológiai tér , a topológiában használt egyik fő ellenpélda [1] : egy közönséges valós vonal megszámlálható számú, egymás után elhelyezkedő szakaszból áll, és az Alekszandrov-vonal egy megszámlálhatatlan számú ilyen szegmens. Pavel Alekszandrov építette 1924 - ben [2] . $[0,1)$

A zárt Alekszandrov-sort az első megszámlálhatatlan sorszám és a félintervallum derékszögű szorzataként definiáljuk, amely a lexikográfiai sorrend által indukált sorrendtopológiával van ellátva (vagyis alapja az intervallumok ) . Nyitott sort kapunk a legkisebb elem eltávolításával . $L$ $\omega_{1}$ $[0,1)$ ${\displaystyle \{x\mid a<x<b\))$ $\omega _{1}\times [0,1)$ $(0, 0)$

Az Alekszandrov-sor teljesítményében egyenértékű a valódi sorral, és normál tér , mint minden sorrend topológiájú tér, azonban számos szokatlan tulajdonsága van. Pontosabban a topológiája nem metrizálható , szekvenciálisan kompakt , de nem kompakt, útvonalhoz kapcsolódó , lokálisan csatlakoztatott , és egyszerűen csatlakoztatható , de nem összehúzható . Ráadásul az Alekszandrov-vonal egy elválaszthatatlan topológiai sokaság szerkezete [3] , annak ellenére, hogy nem parakompakt , és kielégíti az első megszámlálhatósági axiómát , de nem a másodikat . Ezen egy differenciálható [4] , sőt analitikus [5] sokaság szerkezetét is bemutathatjuk.

Jegyzetek

↑ Steen, Lynn Arthur. Ellenpéldák a topológiában / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. - Dover -reprint 1978. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - P. 71–72. - ISBN 978-0-486-68735-3 .
↑ P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume // Math. Ann. - 1924. - T. 92 . - S. 295-301 . - doi : 10.1007/BF01448011 .
↑ Egyes szerzők megkövetelik, hogy a bázis legyen elválasztható és megszámlálható a topológiai sokaság definíciójában, lásd Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology , CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632 , < https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ&pg=PA122 > .
↑ Nyikos, Peter J. (1992). "A hosszú zsinór különféle simításai és érintőkötegeik". Előrelépések a matematikában . 93 , 129-213. DOI : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . MR 1164707 .
↑ Kneser, Hellmuth; Kneser, Martin (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archive der Mathematik . 11 , 104-106. DOI : 10.1007/BF01236917 .