Topológia összehasonlítás

A topológiák összehasonlítása egy olyan fogalom, amely lehetővé teszi különböző topológiai struktúrák "összehasonlítását" ugyanazon a halmazon . Az összes topológia halmaza egy rögzített halmazon egy részlegesen rendezett halmazt alkot ehhez a relációhoz képest .

Definíció

Legyen és két topológia egy olyan halmazon , amely benne van $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $x,$ $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2:$

\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.

Ez azt jelenti, hogy az első topológiai tér minden nyitott halmaza a második nyílt halmaza. Ebben az esetben a topológiát durvábbnak (néha gyengébbnek vagy kisebbnek ) nevezzük , ennek megfelelően a topológiát finomabbnak ( erősebb , nagyobb ). Egyes szerzők, különösen a számítástechnikai tankönyvekben, az "erős topológia" és a "gyenge topológia" kifejezéseket ellentétes jelentéssel használják. [egy] $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2.$ $\mathcal T_2$

A bináris reláció egy részleges sorrendi struktúrát határoz meg a halmaz összes lehetséges topológiájának halmazán $\subseteq$ $x.$

Példák

A legjobb topológia a diszkrét topológia , amelyben minden halmaz nyitott. Ennek megfelelően a legdurvább topológia a triviális (vagy antidiszkrét) topológia. $x$

A legdurvább topológiát, amelyen megfelel a T 1 elválasztási axióma , T 1 -topológiának nevezzük . Ilyen topológia mindig létezik, kifejezetten olyan topológiaként írható le, amelynek zárt halmazai véges halmazok , és minden $x,$ $x$ $x.$

Tulajdonságok

Legyen és két topológia egy halmazon Ekkor a következő utasítások ekvivalensek: $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $x.$

$\mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2$
Az identitásleképezés folyamatos . $\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\to (X,\mathcal T_1)$
Az identitásleképezés nyílt leképezés (vagy ennek megfelelője zárt leképezés ). $\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\to (X,\mathcal T_2)$

Ezenkívül ezek az állítások közvetlenül következnek a definíciókból:

A folyamatos leképezés akkor is folyamatos marad, ha az on topológiát durvábbra cseréljük (illetve a on topológiát finomabbra cseréljük). $f:X\Y-ig$ $Y$ $x$
A nyitott leképezés nyitva marad, ha a bekapcsolt topológiát finomabbra cseréljük (illetve a bekapcsolt topológiát egy durvábbra cseréljük). Hasonló állítás igaz a zárt leképezésekre is. $f:X\Y-ig$ $Y$ $x$

Rács topológiák

A topológiák halmaza nem alkot teljes rácsot a relációhoz képest, ez azt jelenti, hogy egy tetszőleges topológiacsaládnak van legjobb korlátja és legjobb alsó korlátja. A pontos infimum egyszerűen a topológiák metszéspontja. Másrészt a topológiák uniója nem feltétlenül topológia, és a topológiák családjának legkisebb felső korlátja az a topológia, amelynek egyesítése előbázisa . $x$ $\subseteq.$

Bármely teljes rács is korlátos , topológiák esetén ez a diszkrét és az antidiszkrét topológia fogalmának felel meg.

Jegyzetek

↑ Munkres, James R. (2000). Topológia (2. kiadás). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. ISBN 0-13-181629-2 .