Sándor előbázistétele

Az Alexander-albázis tétel [1] az általános topológia tétele , amely egy topológiai tér tömörségének kritériumát támasztja alá.

Egy teret akkor nevezünk kompaktnak, ha minden fedőjéből nyílt halmazok engednek be egy véges alborítást . Alexander tétele jelentősen leszűkíti azon burkolatok osztályát, amelyeket csak a tömörség megállapításához kell figyelembe venni.

A tétel megfogalmazása a topológia előbázisának fogalmát használja – olyan nyitott részhalmazok családját, amelyek véges metszéspontjai alkotják a topológia alapját .

Tétel (J. Alexander, 1939 [2] ). Egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha egy véges részborító kiválasztása minden olyan fedelet befogad, amely a topológiája valamely albázisának elemeiből áll.

Bizonyíték. Ennek a tömörségi kritériumnak az igénye nyilvánvaló, mivel az előbázis minden eleme nyitott halmaz. Az elégségességet ellentmondás bizonyítja. Legyen az X tér nem kompakt, bár a topológiája előbázisának elemeiből álló bármely fedőfelület megenged egy véges alborítót. Legyen az ezen előbázis által alkotott X tér topológiájának alapja. Minden eleme az előbázis elemeinek véges metszéspontja. ${\mathfrak {P}}$ ${\mathfrak {B}}$

Az X tér összes lehetséges lefedésének halmaza (azaz alapelemekből álló ), amely nem tesz lehetővé véges részborítót, induktívan rendezett és nem üres, ezért Zorn lemmája vonatkozik rá . Ezért létezik egy maximális (nem bővíthető) ilyen burkolat. A benne lévő előbázis elemei nem képezik az X tér fedelét, ezért bizonyos pontot lefed az alap elem , de a fedő nem tartalmazza az előbázis elemeit . ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {P}}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$

Továbbá a figyelembe vett maximális lefedettség kerül felhasználásra. Miután hozzáadtuk a készletet, kibonthatjuk a végső alborítót. Mindezeket az alborítókat kombinálva, halmazokat ledobva belőlük, és hozzáadva a készletet , megkapjuk az X tér véges borítóját, amely az eredeti borító alborítója. Egy ellentmondás (az eredeti borító nem engedte meg a véges részborítókat) bizonyítja a tételt. $P_{i}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$

Az Alexander-tétel egyszerű bizonyítása a következő tömörségi feltétellel érhető el: egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha a halmaz minden ultraszűrőjének van legalább egy határértéke $x$ $x$ [3] .

Alexander tétele rácselméleti (mivel egy topológiai tér nyitott részhalmazainak családjának tulajdonságai alapján van megfogalmazva, amely egy teljes disztributív rács), és különféle általánosításokat tesz lehetővé a részlegesen rendezett halmazok speciális osztályaira [4] [5] [6] .

Jegyzetek

↑ Gyakran Alexander (előzetes) lemmának is nevezik .
↑ Alexander JW Rendezett készletek, komplexek és a tömörítések problémája. — Proc. Nat. Acad. sci. USA 25 (1939), pp. 296-298. ( eredeti cikk ).
↑ Egy ilyen bizonyítás diagramja. Legyen olyan részbázisa a térnek , hogy a tér bármely elemei általi lefedése véges részborítást tartalmazzon. Legyen egy ultraszűrő a , aminek nincs határa. Ekkor minden pontnak van egy olyan környéke, amely a családhoz tartozik és nem tartozik hozzá . Ezért a teret a család olyan elemei fedik le , amelyek egyike sem tartozik az ultraszűrőhöz . Ebből a borítóból választhatunk véges alborítót . Ekkor , de a véges család egyetlen eleme sem tartozik a szűrőhöz , ami ellentmond annak maximalitásának. ${\mathfrak {P}}$ $x$ $x$ ${\mathcal {F}}$ $x$ $x\X-ben$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ $x$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathcal {F}}$
↑ Abian A. Alexander részalaptételének részleges rendű általánosítása Archiválva : 2022. január 19. a Wayback Machine -nél . – Rand. Circ. Mat. Palermo 38 (1989), pp. 271-276.
↑ Erné M. Szemidisztribúció, elsődleges ideálok és az albázis-lemma Archiválva : 2022. január 19., a Wayback Machine -nél . – Rand. Circ. Mat. Palermo 41 (1991) No. 2, pp. 241-250.
↑ Roy és Mukherjee bevezették a Choquet-rácsok (rácsok) által meghatározott tömörség speciális típusát, és bebizonyították az Alexander-féle előbázis és Tyihonov-féle tömörségi tétel analógját: lásd B. Roy, MN Mukherjee. Egyfajta tömörségről grilleken keresztül Archivált : 2014. február 19. a Wayback Machine -nál . – Matem. Vesn. 59. (2007), 3. sz. 3, pp. 113-120.

Irodalom

Engelking, R. Általános topológia / Per. angolból - M . : Mir, 1986. - 3.12.2. feladat (331. o.)