Bordizmus

Bordizmus , vagy bordizmus is - topológia kifejezés , amelyet önmagában vagy standard kifejezések részeként használnak több kapcsolódó értelemben, szinte mindegyikben a bordizmus helyettkobordizmusról beszéltek , a régi terminológiát is megőrizték.

Irányítatlan bordizmusok

Az irányítatlan bordizmusok a bordizmusok legegyszerűbb változatai. Két sima zárt dimenziós elosztó , és határosak (korlátozottak vagy belső homológok), ha létezik egy sima, kompakt dimenziós elosztó (úgynevezett film ), amelynek határa két elosztóból és , (pontosabban osztóból és diffeomorfból áll, ill . néhány diffeomorfizmus és ). Az egymással bordáló sokaságok halmazát bordizmus osztályoknak , a hármast pedig bordizmusnak nevezzük (helyesebb lenne ötről beszélni ). $n$ $M$ $M'$ $(n+1)$ $W$ $M$ $M'$ $M_{0}$ $M_{1}$ $M$ $M'$ $g_{0}\colon M\to M_{0}$ ${\displaystyle g_{1}\colon M'\to M_{1))$ $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$

A -dimenziós sokaságok bordizmusosztályainak halmaza egy viszonylag szétválasztott unió Abel-csoportját alkotja , amelyet bordizmus csoportnak neveznek . A nulla benne a bordizmusok osztálya, amely olyan sokaságokból áll, amelyek valamilyen sokaság határát képezik (más elnevezések: - határoló sokaság , - belsőleg homológ vagy nullához határos ). A bordizmusok adott osztályának inverze eleme maga ez az osztály (mivel két másolat egyesülése diffeomorf a közvetlen szorzat határával ). A csoportok közvetlen összege egy kommutatív fokozatú gyűrű, amelynek szorzatát a sokaságok direkt szorzata indukálja , a pont bordizmusosztálya által megadott mértékegységgel. $n$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M\times [0,\;1]$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{O}$

Bordizmusok kiegészítő szerkezettel

Orientált bordizmusok

Az orientált bordizmusok a sima zárt elosztók legegyszerűbb típusai, kiegészítő szerkezettel. Két orientált sokaság és orientált határos , ha az előbbi értelemben határosak, és a film orientált, és (az előbbi jelöléssel) az orientáció által indukált orientáció a és (a határ egyes részein) diffeomorfizmusok és , rendre a kezdeti tájolásra és az eredeti tájolással ellentétes tájolásra . Hasonlóképpen bevezetjük az orientált bordizmusok csoportjait és a körgyűrűt . $M$ $M'$ $W$ $W$ $M_{0}$ $M_{1}$ $g_{0}$ $g_{1}$ $M$ $M'$ $\Omega _{n}^{O}$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{SO}$ $\Omega _{*}^{SO}$

Egyéb lehetőségek

A többletszerkezetű sokaságbordizmusok további változatai a kvázi összetett sokaságok nagyon fontos bordizmusai (más néven unitárius bordizmusok), azok a sokaságok bordizmusai, amelyekre transzformációk csoportja hat, a bordizmusok. Léteznek némileg eltérő változatok is, darabonként lineáris vagy topológiai sokaságokhoz, Poincaré-komplexusokhoz stb. Különleges helyet foglalnak el a foliációs bordizmusok és -bordizmusok (korábban -ekvivalenciák); ez utóbbiak a differenciális és homotópia topológia összekapcsolását szolgálják. $\mathrm {Spin}$ $J$

Tulajdonságok

Két sokaság akkor és csak akkor határos, ha azonos karakterisztikus számokkal rendelkeznek ( nem orientálható esetben Stiefel-Whitney számok , orientálható esetben Stiefel-Whitney számok és Pontryagin számok ).

Történelem

Az első példa a keretes sokaságok bordizmusa, amelyet 1938-ban mutatott be Pontrjagin , aki kimutatta, hogy ezeknek a bordizmusoknak a besorolása egyenértékű a gömbök homotópiás csoportjainak kiszámításával , és így sikerült megtalálnia és . Az orientálatlan és orientált bordizmusokat 1951-53-ban vezette be Rokhlin , aki . Pontrjagin bebizonyította, hogy ha két sokaság határos, akkor azonos karakterisztikus számokkal rendelkeznek . Utólag kiderült, hogy ennek az ellenkezője is igaz. $\pi _{i}(S^{n})$ $\pi _{n+1}(S^{n})$ $\pi _{n+2}(S^{n})$ $\Omega _{n}^{SO}$ $n\leqslant 4$

Irodalom

Milnor J., Wallace A. Differenciál topológia / Per. angolról. — M .: Mir, 1972. — 280 p.

Lásd még

$h$ - kobordizmus