Proj építés

A Proj az affin sémák gyűrűk spektrumaként való felépítéséhez hasonló konstrukció , melynek segítségével olyan sémákat készítenek, amelyek projektív terek és projektív változatok tulajdonságaival rendelkeznek .

Ebben a cikkben az összes gyűrűt kommutatív gyűrűnek tételezzük fel.

Proj egy osztályozott gyűrű

Proj készletként

Legyen egy osztályozott gyűrű , ahol $S$

{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i))

az osztályozáshoz kapcsolódó közvetlen összegfelbontás .

Ideál jelölése A Proj S halmazt az összes homogén egyszerű ideál halmazaként definiáljuk , amely nem tartalmaz $S_+$ $\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ $S_{+}.$

A következőkben a rövidség kedvéért a Proj S -t néha X -ként jelöljük .

Proj mint topológiai tér

Meghatározhatunk egy topológiát, az úgynevezett Zariski topológiát a Proj S -en úgy, hogy a zárt halmazokat az űrlap halmazaiként határozzuk meg.

V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},

ahol a S homogén ideálja . Akárcsak az affin sémák esetében, könnyen ellenőrizhető, hogy V ( a ) valamilyen topológia zárt halmaza X -en .

Valóban, ha ideálcsalád, akkor és ha az I halmaz véges, akkor . ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I))$ $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$

Ezzel egyenértékűen lehet kezdeni nyitott halmazokkal és definiálni

D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.

A szabványos gyorsírás D ( Sf )-t D ( f )-ként jelöli, ahol Sf az f által generált ideál . Bármely a esetén D ( a ) és V ( a ) nyilvánvalóan komplementerek, és a fenti bizonyíték azt mutatja, hogy D ( a ) topológiát alkot a Proj S -en . Ennek a megközelítésnek az az előnye, hogy D ( f ), ahol f áthalad S minden homogén elemén , képezi ennek a topológiának az alapját , amely a gyűrűspektrumokhoz hasonlóan a Proj S tanulmányozásához szükséges eszköz .

Proj mint séma

A Proj S -en egy szelvényt is készítünk, amelyet szerkezeti kötegnek hívnak, és amely áramkörré alakítja. A Spec konstrukcióhoz hasonlóan ennek is többféle módja van: a legközvetlenebb, amely a klasszikus algebrai geometriában a reguláris függvények projektív sokaságon való felépítésére is hasonlít, a következő. A Proj S bármely nyitott U halmazához egy gyűrűt definiálunk az összes függvény halmazaként $O_{X}(U)$

{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)))

(ahol a pont helyi gyűrűjének egy részgyűrűjét jelöli , amely azonos fokú részleges homogén elemekből áll), úgy, hogy minden U -beli p prímideálra : $S_{(p)}$ $S_p$ $p$

f(p) eleme ; $S_{(p)}$
az U halmaznak van egy nyitott V részhalmaza, amely p -t és az S gyűrű azonos fokú s , t homogén elemeit tartalmazza úgy, hogy minden V -beli q prímideálra :
- t nincs q -ban ;
- f(q) = s/t .

A definícióból azonnal következik, hogy a Proj S -en gyűrűk köteget alkotnak , és kimutatható, hogy a (Proj S , ) pár egy séma (sőt a D(f) minden részhalmaza egy affin séma). $O_{X}(U)$ $O_{X}$ $O_{X}$

Osztályozott modulhoz társított köteg

Az S lényeges tulajdonsága a fenti konstrukcióban az volt , hogy S - ben minden p prímideálra lokalizációt szerkeszthetünk . Ezzel a tulajdonsággal rendelkezik az S feletti M fokozatú modul is , ezért a fenti szakaszból származó konstrukció, kis változtatásokkal, lehetővé teszi, hogy ilyen M -re egy -modul -köteget állítsunk elő a Proj S -en , amelyet jelöl . Szerkezetileg ez a gerenda kvázi koherens . Ha S -t véges számú 1-es fokú elem generálja (vagyis egy polinomgyûrû vagy annak tényezõje), akkor a Proj S összes kvázi-koherens tárcsa az ezzel a konstrukcióval osztályozott modulokból származik. [1] A megfelelő osztályozott modul nem egyedi. $S_{(p)}$ $O_{X}$ ${\tilde {M}}$

Serra csavaró gerendája

Speciális esete egy osztályozott modulhoz társított kévének, amikor magát S -t M -nek vesszük más osztályozással: nevezetesen az M modul ( d + 1) fokozatú elemeit tekintjük a ( d + 1 ) fokozat elemeinek. az S gyűrűből , és jelölje M = S (1). A Proj S -en egy kvázi-koherens kévet kapunk , amelyet egyszerűen O -val (1) jelölünk, és csavarodó Serre-kévének nevezzük . Igazolható, hogy O (1) egy megfordítható kéve . ${\tilde {M}}$ $O_{X}(1)$

Az egyik ok , amiért az O (1) hasznos, az az, hogy lehetővé teszi az S -re vonatkozó algebrai információk helyreállítását, amelyek elvesztek a konstrukció során, amikor a 0 hatvány hányadosaira megyünk. Az A gyűrűre vonatkozó Spec A esetén a szerkezet globális szakaszai kéve maga az A , akkor mint esetünkben a kéve globális szakaszai 0 fokú S elemekből állnak . Ha definiáljuk $O_{X}$ $O_{X}$

O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)

akkor minden O ( n ) fokszám- n információt tartalmaz S -ről. Hasonlóképpen egy N modulból álló köteghez , amely egy M S modulhoz van társítva , definiálhatjuk $O_{X}$

N(n)=N\times O(n)

és számíts arra, hogy ez a csavart köteg tartalmazza az elveszett információkat M -ről . Ez arra utal, bár helytelenül, hogy S rekonstruálható ezekből a kévékből; ez valójában igaz, ha S egy polinomgyűrű, lásd alább.

n -dimenziós projektív tér

Ha A gyűrű, akkor egy n - dimenziós projektív teret definiálunk A felett sémaként

\mathbb {P} _{A}^{n}=\operátornév {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].

A gyűrűn egy osztályozást úgy határozunk meg, hogy feltételezzük, hogy mindegyiknek 1-es foka van, és A minden elemének 0-s foka. Összehasonlítva ezt az O (1) fent megadott definíciójával, azt látjuk, hogy az O (1) szakaszai lineárisan generált homogén polinomok. az elemek által . $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $x_i$ $x_{i}$

Példák

Ha alapgyűrűnek vesszük , akkor kanonikus projektív morfizmusa van az affin egyenesre , melynek rostjai elliptikus görbék , kivéve a pontok feletti rétegeket, amelyek felett a rétegek csomóponti görbékké degenerálódnak. $A=\mathbb {C} [\lambda ]$ ${\text{Proj))(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z)))$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1))$ $\lambda =0,1$
A projektív hiperfelület egy példa a 3D Fermat-kvintikára, amely egyben Calabi-Yau sokaság is . ${\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^ {5})\jobbra)$
Ha egy triviális osztályozást vesszük figyelembe , azaz -ra , akkor . $A$ $A_{0}=A$ $A_{i}=0$ $i\neq 0$ ${\text{Proj}}(A)={\text{Spec}}(A)$
Súlyozott projektív terek megszerkeszthetők nem szabványos fokozatú változókkal rendelkező polinomgyűrűk segítségével. Például a súlyozott projektív térmegfelel annak agyűrűnekaholfoka van, míg2 foka van. $\mathbb {P} (1,1,2)$ ${\text{proj))$ $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ $X_{0},X_{1}$ $egy$ $X_{2}$
A kettéosztott gyűrű a projektív terek szorzatának alrendszerének felel meg. Például egy olyan nagyszámú algebra, ahol van fokozat és van fokozat megfelel a . $\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]$ $X_{i}$ $(1,0)$ $Y_{i}$ $(0,1)$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1))$

Jegyzetek

↑ Ravi Vakil. Az algebrai geometria alapjai . — 2015. , Következmény 15.4.3.

Irodalom

Hartshorne R. Algebrai geometria / ford. angolról. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Elements de geometrie algebrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publikációk Mathématiques de l'IHES. 1961. 8.