Séma (matematika)

A séma egy matematikai absztrakció , amely lehetővé teszi az algebrai geometria , a kommutatív algebra és a differenciálgeometria összekapcsolását, valamint ötletek átvitelét egyik területről a másikra. A séma fogalma elsősorban lehetővé teszi a geometriai intuíció és geometriai konstrukciók, például tenzormezők , kötegek és differenciálok gyűrűelméletbe való átvitelét . Történelmileg a sémaelmélet azzal a céllal jött létre, hogy általánosítsa és egyszerűsítse a 19. századi olasz iskola klasszikus algebrai geometriáját, amely a polinomiális egyenletek tanulmányozásával foglalkozott .

A sémaelmélet fő apparátusa a kategóriák elmélete , a tekercsek elmélete , a kommutatív és homológ algebra .

A továbbiakban a "gyűrű" szó mindig "egységgel rendelkező kommutatív asszociatív gyűrűt" jelent.

A meghatározás története és motivációja

Az olasz iskola algebrai geometriái a " közös pont " meglehetősen homályos fogalmát használták az algebrai változatokra vonatkozó tételek bizonyításakor . Feltételezték, hogy azok az állítások, amelyek egy általános pontra igazak, igazak a sokaság összes pontjára, kivéve néhány "speciális" pontra. Emmy Noether az 1920-as években egy módot javasolt ennek a fogalomnak a tisztázására: egy algebrai variáns koordinátagyűrűjében (vagyis a variáns polinomiális függvényeinek gyűrűjében ) a maximális ideálok a variáció pontjainak felelnek meg , a nem maximális ideálok pedig a változatosság pontjainak felelnek meg . különböző közös pontokhoz, mindegyik alváltozathoz egyet. Noether azonban nem dolgozta ki ezt a megközelítést.

Az 1930-as években Wolfgang Krull megtette a következő lépést: egy teljesen tetszőleges kommutatív gyűrű felvételével figyelembe veheti annak elsődleges ideáljait, megadhatja a Zariski topológiát , és fejlesztheti ezeknek az általánosabb objektumoknak a geometriáját. Más matematikusok nem látták értelmét egy ilyen nagy általánosságnak, és Krull elvetette ezt az elképzelést.

Az 1950 -es években Jean-Pierre Serre , Claude Chevallet és Masayoshi Nagata , hogy közelebb kerüljenek a Weyl-sejtés bizonyításához , hasonló megközelítést kezdtek alkalmazni, az elsődleges ideálokat pontként kezelve. Pierre Cartier szerint a séma szót először 1956 -ban használták Chevalley szemináriumán [1] .

Ezt követően Alexander Grothendieck megadta az áramkör modern definícióját, összefoglalva a korábbi kísérleti javaslatokat. A kommutatív gyűrű spektrumát továbbra is elsődleges ideálok halmazaként határozza meg a Zariski topológiával, de ellátja egy köteg gyűrűvel is: a spektrum minden nyitott részhalmaza egy kommutatív gyűrűhöz van társítva, a polinom gyűrűjével analóg módon. funkciók ezen a készleten. Az eredményül kapott objektumok affin sémák; az általános sémákat több affin séma összeragasztásával kapjuk, analóg módon azzal, ahogyan az általános algebrai változatokat affin fajták ragasztásával , a közönséges változatokat pedig nyitott részhalmazok ragasztásával kapjuk . $\mathbb {R} ^{n}$

Sokan kritizálták ezt a definíciót, mert túl általános: néhány ilyen értelemben vett sémának nincs nyilvánvaló geometriai értelmezése. Ezeknek a sémáknak a figyelembevétele azonban az összes séma kategóriájának tulajdonságait "ésszerűbbé" teszi. Ezenkívül a modulusterek tanulmányozása olyan sémákhoz vezet, amelyek nem „klasszikusak”. Az önmagukban nem algebrai változatok (hanem változatokból felépülő) sémák mérlegelésének szükségessége egy új definíció fokozatos elfogadásához vezetett.

Definíció

A sémaelmélet egyik alapfogalma a lokálisan gyűrűzött terek .

A gyűrűs tér egy topológiai tér , amelyen egy gyűrűköteg van megadva, amelyet szerkezeti kötegnek nevezünk . Egy teret lokálisan gyűrűsnek nevezünk , ha a köteg szála minden pontban egy lokális gyűrű . A differenciálgeometria és topológia fő vizsgálati tárgyai a lokálisan gyűrűzött terek; ebben az esetben a megfelelő függvényköteg szerkezeti kötegként működik . Például a topológiai terek folytonos függvények kötegének , a sima sokaságok sima függvények kötegének , az összetett sokaságok holomorf függvények kötegének felelnek meg . Az az állítás, hogy a kéve levél lokális gyűrű, azt jelenti, hogy a szerkezeti köteg gyűrűjének bármely elemére meg lehet határozni annak értékeit minden egyes mezőhöz tartozó pontban , így a szerkezeti kéve elemei valóban funkcióknak tekintendők. Megjegyezzük, hogy az ilyen „függvényt” általában nem pontszerű értékei határozzák meg, bár ennek a jelenségnek nincs analógja a klasszikus geometriában.

Az affin séma egy lokálisan gyűrűzött tér , amely izomorf valamely gyűrű spektrumához a megfelelő szerkezeti köteggel . Ezek a definíciók lehetővé teszik, hogy bármilyen nyitott részhalmazt sémának tekintsünk, míg az affin sémáknál az azonosság érvényesül , ami a gyűrű geometriai és algebrai nézeteinek egyenértékűségét jelenti (tehát bármely gyűrű társítható egy affin sémához, és az affin séma egyedileg visszaállíthatja az eredeti gyűrűt). ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathrm {Spec}}\;A}}({\mathrm {Spec}}\;A)=A$

A séma egy lokálisan gyűrűzött tér , amely lefedhető nyílt halmazokkal úgy, hogy mindegyik , a struktúra köteg rá vonatkozó korlátozásával együtt affin séma. Ezt a definíciót többféleképpen is felfoghatjuk: úgy tekinthetjük, hogy a séma minden pontjának van egy szomszédsága , ami egy affin séma, és úgy is felfogható a séma, mint egy affin séma halmaz összeragasztásának eredményeként, összhangban a kéve szerkezete. $(X,{\mathcal O}_{X})$ $U_{i}$ $U_{i}$ ${\mathcal O}_{X}$

Sémák kategóriája

A sémák egy kategóriát alkotnak, amelynek morfizmusai a lokálisan gyűrűzött terek morfizmusai .

A spektrumot szerkezeti köteggel felruházó konstrukció egy kontravariáns függvényt határoz meg :

{\mathrm {Spec}}\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Aff}}

a gyűrűk kategóriájától az affin sémák kategóriájáig. Van egy inverz kontravariáns függvény is:

{\mathcal {O}}\colon {\mathrm {Aff}}\to {\mathrm {CRing}}

( globális szekció függvény ),

amely egy lokálisan gyűrűzött térhez rendeli a szerkezeti kötegének gyűrűjét . Ez a függvénypár határozza meg a kategória egyenértékűségét . A globális szakaszfüggvény tetszőleges sémákhoz definiálható, mivel bármely séma egy lokálisan gyűrűzött tér. Ebben az általánosságban a spektrumfüggvény pontosan konjugált a globális szakaszfüggvényhez: $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ ${\mathrm {CRing^{{op))))\simeq {\mathrm {Aff}}$

{\mathrm {Hom}}_{{{\rm {Sémák}}}}(X,\;{\mathrm {Spec}}\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\rm {CRing^{{op))))))({\mathcal {O}}(X),\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{({\rm {CRing}}}}( A,\;{\mathcal {O}}(X))

Feltételezzük, hogy a spektrum megfelelő konjugátum, mivel az affin sémák összeragasztása nem affin sémákat hozhat létre. Az áramkörök ragasztása üres részáramkörrel kolimit az áramkörök kategóriájában. Mivel kokomplett , akkor a spektrum bal konjugálásának feltétele mellett az affin sémák bármilyen ragasztása affin lenne, és nem triviális (gyűrűelméletre nem redukálható) sémák elmélete egyszerűen nem létezhetne. Az elmondottak fényében azt is megjegyezzük, hogy bár az affin sémák egy alsémával való ragasztásának diagramja az affin sémák kokomplett kategóriájába tartozik, határát egy nagyobb kategóriába, az összes séma kategóriájába kell számítani. Ez egy tanulságos példa arra, hogy a kategóriabeágyazó függvénynek nem szükséges a korlátok megőrzése. ${\mathrm {CRing}}^{{op}}$

A fenti adjunkt funktorok létezése lehetővé teszi, hogy morfizmusokat írjunk le egy tetszőleges sémából egy affin sémába gyűrűhomomorfizmusok segítségével . Például, mivel a kommutatív gyűrűk kategóriájának kezdeti objektuma , a sémák kategóriájának végső objektuma . $\mathbb {Z}$ ${\mathrm {Spec}}\;{\mathbb Z}$

A sémák kategóriájának véges szorzatai vannak , ezek használatánál azonban óvatosnak kell lenni, mivel a sémának megfelelő topológiai tér nem mindig izomorf a topológiai térrel , hanem gyakran "több" ponttal rendelkezik. Például, ha K egy kilenc elemből álló mező , akkor: $(X,{\mathcal O}_{X})\times (Y,{\mathcal O}_{Y})$ $X\-szer Y$

{\mathrm {Spec}}\;K\times {\mathrm {Spec}}\;K\cong {\mathrm {Spec}}\;K\otimes _{({\mathbb Z}}}K\cong { \mathrm {Spec}}\;K\times K

—

két pontból áll, míg a Spec K egy pontból áll (a nullideál).

Egy S fix sémára az S feletti sémák kategóriájának is vannak szálas termékei, és abból, hogy van egy S terminális objektuma , az következik, hogy minden véges korlát létezik benne , vagyis az adott séma feletti sémák kategóriája végleg teljes .

A sémák második meghatározása

Az algebrai geometriában a sémákat általában a fent leírt módon határozzák meg. Egyes alkalmazásaiban (például a lineáris algebrai csoportok elméletében ) azonban hasznosabb egy másik megközelítés, amely sokkal absztraktabb, és a kategóriaelmélet jó ismeretét igényli. Ezen a nyelven a sémát nem geometriai objektumként, hanem a gyűrűk kategóriájából származó funktorként definiálják. Ezzel a megközelítéssel itt nem foglalkozunk részletesen, a részletekért lásd a [2] könyvet .

Az affin séma egy reprezentatív függvény : ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathrm {Spec}}\;A\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$

({\mathrm {Spec}}\;A)(R)={\text{Hom}}(A,R)

Az összes funktor közül kiemelkedik egy különösen fontos és könnyen tanulható osztály, a sémák. A séma ugyanis egy olyan funktor , amely a Grothendieck-topológiához képest a gyűrűk Zariski-nyílt epimorfizmusai által generált halmazok kötegét képezi, és a függvények kategóriába tartozó affin sémák Zariski-nyílt leképezései által lefedett . A nem affin sémák nem reprezentálható szereplők a gyűrűk kategóriájában. A sémamorfizmust a megfelelő függvények természetes átalakulásaként definiáljuk . Yoneda lemmája szerint $x$ $X\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $\left[{\mathcal {R}}ing;{\mathcal {S}}et\right]$

X(A)=\left[(A;\cdot );X\right]=\left[{\mathrm {Spec}}A;X\right]

Ez az állítás kapcsolatot létesít a fentebb megadott sémák geometriai elméletével, mivel a sémák morfizmusának alaptétele kimondja, hogy a függvény

Y\colon {\mathrm {Sémák}}\balra[{\mathrm {Aff}}^{{op}};{\mathrm {Set}}\right]

Y(X)=\bal(\cdot ;X\jobb)

meglehetősen univalens . Sőt, a beágyazás képe pontosan az affin sémák azon funktorai, amelyek kielégítik a fenti feltételeket.

Példák

Az affin vonal egy felejtő funkció , amely minden gyűrűhöz hozzárendeli a tárgykészletét . A rajta lévő gyűrű szerkezete bármely sémához meghatározza a halmaz gyűrűjének szerkezetét , ezért ezt a funkciógyűrűnek nevezzük . Az affin egyenes egy affin séma, a polinomiális gyűrű spektrumának felel meg . $O$ $O\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $[X;O]$ $x$ $[X;O]$ $x$ $\mathbb{Z } [T]$
A Grassmann ( a Grassmann dimenziója) egy olyan függvény, amely egy gyűrűhöz rendeli a modulban lévő közvetlen rangösszegzőket . A nyíl a kijelzőhöz kapcsolódik . Különösen egy n-dimenziós projektív tér , egy projektív vonal . $G_{{r,n}}$ $n$ $R$ $P$ $r$ $R^{{r+n}}$ $\phi :R\to S$ $P\mapsto P\otimes _{R}S$ $\mathbb {P} _{n}=G_{1,n}$ $\mathbb {P} _{1}$

Jegyzetek

↑ A Chevalley értelemben vett séma a modern séma speciális esete: definíciója csak az irreducibilis sokaságokra működik. Lásd Cartier, Pierre , Egy őrült napi munka: Grothendiecktől Connes-ig és Kontsevichig. A tér- és szimmetriafogalmak alakulása. - Bika. amer. Math. Soc., 38 (2001), no. 4. o. 398.
↑ M. Demazure, P. Gabriel. Bevezetés az algebrai geometriába és az algebrai csoportokba. - North-Holland Publishing Company, 1980. - 357 p. - ISBN 0-444-85443-6 .

Irodalom

Mumford D. A fajták és sémák vörös könyve. — M .: MTSNMO , 2007. — 296 p. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebrai geometria = Algebrai Geometria. — M .: Mir , 1981. — 597 p.
Shafarevich I. R. Az algebrai geometria alapjai. - 2. kiadás - M .: Nauka , 1988. - V. 2. Sémák. Összetett elosztók. — 304 p. - 5900 példány. - ISBN 5-02-014412-4 .
David Eisenbud; Joe Harris . A sémák geometriája. Springer-Verlag, 1998 - ISBN 0-387-98637-5 .

Linkek

Ravi Vakil , Math 216: Az algebrai geometria alapjai (2013. 11. 06. verzió) – jegyzetek a Stanford Egyetemen tartott algebrai geometria tanfolyamról .