Nem, Emmy

Emmy Noether
német  Amalie Emmy Noether
Születési név német  Amalie Emmy Noether
Születési dátum 1882. március 23.( 1882-03-23 ​​) [1] [2] [3] […]
Születési hely Erlangen , Német Birodalom
Halál dátuma 1935. április 14.( 1935-04-14 ) [4] [1] [2] […] (53 éves)
A halál helye
Ország
Tudományos szféra matematika
Munkavégzés helye
alma Mater Erlangeni Egyetem
Akadémiai fokozat doktori ( 1907 ) és habilitációs [6] ( 1919 )
tudományos tanácsadója Paul Gordan
Diákok Van der Waerden, Barthel Leendert
ismert, mint Noether tételének szerzője
Díjak és díjak Ackermann-Töbner-díj
 Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Amalie Emmy Noether ( németül:  Amalie Emmy Noether ; 1882–1935) német matematikus , aki leginkább az absztrakt algebrához és az elméleti fizikához való hozzájárulásáról ismert . Pavel Aleksandrov , Albert Einstein , Jean Dieudonné , Hermann Weyl és Norbert Wiener a matematika történetének legjelentősebb nőjének tartották [7] [8] [9] . A huszadik század egyik legnagyobb matematikusaként forradalmasította a gyűrűk , mezők és algebrák elméletét . A fizikában Noether tétele fedezte fel először a kapcsolatot a természeti szimmetria és a megőrzési törvények között .

Noether egy zsidó családban született Erlangen frank városában . Szülei, Max Noether matematikus és Ida Amalia Kaufman gazdag kereskedőcsaládokból származtak. Noethernek három testvére volt: Alfred, Robert és Fritz ( Fritz Maximilianovics Noether ), német és szovjet matematikus.

Emmy eredetileg angol és francia nyelvet akart tanítani, miután letette a megfelelő vizsgát, de ehelyett az Erlangeni Egyetemen kezdett matematikát tanulni , ahol apja előadásokat tartott. Miután 1907-ben megvédte disszertációját, amelyet Paul Gordan felügyelete alatt írt, hét évig ingyen dolgozott az Erlangeni Egyetem Matematikai Intézetében (akkor szinte lehetetlen volt, hogy nő akadémiai állást vállaljon).

1915-ben Noether Göttingenbe költözött , ahol a híres matematikusok, David Hilbert és Felix Klein folytatták a relativitáselmélet kidolgozását , és Noether invariáns elméleti ismerete szükséges volt számukra. Hilbert a göttingeni egyetemen próbálta Noethert privatdozentté tenni , de minden próbálkozása kudarcot vallott a professzori előítéletek miatt, főleg a filozófiai tudományok területén. Noether azonban hivatal nélkül gyakran tartott előadást Hilbertnek. Csak az első világháború végén válhatott Privatdozent  - 1919 -ben , majd szabadúszó professzor (1922).

Egyik sem ragaszkodott a szociáldemokrata nézetekhez. Életének 10 évében együttműködött a Szovjetunió matematikusaival ; az 1928/1929-es tanévben a Szovjetunióba érkezett, és a Moszkvai Egyetemen tartott előadást , ahol nagy hatással volt L. S. Pontrjaginra [10] és különösen P. S. Aleksandrovra , aki korábban gyakran járt Göttingenben.

Noether a Göttingeni Egyetem Matematika Tanszékének egyik vezető tagja volt , tanítványait néha "Noether fiúknak" nevezik. 1924-ben Barthel van der Waerden holland matematikus csatlakozott köréhez, és hamarosan Noether gondolatainak vezető képviselője lett: munkája volt az alapja a híres, 1931-ben megjelent, Modern Algebra Mire Noether felszólalt a Nemzetközi Matematikusok Kongresszusának plenáris ülésén 1932-ben Zürichben, finom algebrai érzékét az egész világon felismerték. Tanítványával , Emil Artinnal együtt megkapja az Ackermann-Töbner díjat a matematika terén elért eredményeiért.

Miután a nácik 1933-ban hatalomra kerültek, a zsidókat eltávolították az egyetemi oktatásból, Noethernek pedig az Egyesült Államokba kellett emigrálnia, ahol a Bryn Mawr-i ( Pennsylvania ) női főiskola tanára lett .

Noether matematikai munkáit három periódusra osztják [11] . Az első időszakban (1908-1919) az invariánsok és a számmezők elméletét dolgozta ki. Differenciális invariáns tételét a variációszámításban , Noether tételét "a modern fizika egyik legfontosabb matematikai tételének" [12] nevezték . Második periódusában (1920-1926) olyan munkát végzett, amely "megváltoztatta az [absztrakt] algebra arculatát" [13] . Klasszikus Idealtheorie in Ringbereichenben ("Theory of Ideals in Rings", 1921) [1] , 2017. október 3-án archiválva a Wayback Machine -nél, Noether kidolgozta a kommutatív gyűrűk ideáljának elméletét, amely számos alkalmazásra alkalmas. Talált egy ügyes módszert a felszálló lánc feltétel használatára , és azokat a tárgyakat, amelyek megfelelnek ennek a feltételnek, róla nevezik Noetheriannak. A harmadik időszakot (1927-1935) a nem kommutatív algebráról és a hiperkomplex számokról szóló publikációi jellemzik. Noether a csoportreprezentációk elméletét a modulok és ideálok elméletével kombinálta. Saját publikációi mellett Noether nagylelkűen megosztotta ötleteit más matematikusokkal. Ezen elképzelések némelyike ​​távol állt Noether kutatásának fő irányától, például az algebrai topológia területén .

Eredet és személyes élet

Aleksandrov Pavel Szergejevics

Mindannak a csúcsa, amit ezen a nyáron Göttingenben hallottam, Emmy Noether előadásai voltak az általános ideálelméletről ... Természetesen az elmélet legelejét Dedekind fektette le , de csak a legelejét: az ideálelméletet minden ötleteinek és tényeinek gazdagsága, amely elmélet olyan hatalmas hatást gyakorolt ​​a modern matematikára, Emmy Noether alkotása. Ezt azért tudom megítélni, mert ismerem Dedekind munkáját és Noether fő ideálelméleti munkáit is.
Noether előadásai engem és Urysohnt is magával ragadtak. Formában nem brillíroztak, de tartalmuk gazdagságával meghódítottak bennünket. Emmy Noethert folyamatosan oldott légkörben láttuk, és sokat beszélgettünk vele, mind az ideálelmélet témáiról, mind a munkánk témáiról, ami azonnal érdekelte.
Idén nyáron élénken kezdődött ismeretségünk a következő nyáron nagyon elmélyült, majd Urysohn halála után az a mély matematikai és személyes barátság lett, amely Emmy Noether és köztem élete végéig fennállt. Ennek a barátságnak az utolsó megnyilvánulása részemről az Emmy Noether emlékére mondott beszéd volt a Moszkvai Nemzetközi Topológiai Konferencia ülésén 1935 augusztusában.

Emmy apja, Max Noether (1844–1921) egy gazdag mannheimi hardver-nagykereskedő családból származott  – nagyapja, Elias Samuel alapította meg a családi kereskedelmi céget Bruchsalban 1797-ben. 14 évesen gyermekbénulás miatt lebénult. Később visszanyerte képességét, de az egyik lába mozdulatlan maradt. 1868-ban Max Noether hét év, többnyire független tanulmányozás után doktorált a Heidelbergi Egyetemen . Max Noether a bajor Erlangen városában telepedett le , ahol megismerkedett és feleségül vette Ida Amalia Kaufmannt (1852-1915), Markus Kaufmann gazdag kölni kereskedő lányát [14] [15] [16] . Alfred Clebsch nyomdokait követve Max Noether jelentős mértékben hozzájárult az algebrai geometria fejlődéséhez . Munkájának leghíresebb eredménye a Brill–Noether tétel és az AF + BG tétel .

Emmy Noether 1882. március 23-án született, négy gyermek közül ő volt a legidősebb. A közhiedelemmel ellentétben az "Emmy" nem az Amalia név rövidített változata, hanem a Noether középső neve. Az "Amália" nevet anyja és apai nagyanyja, Amalia (Malchen) Würzburger (1812-1872) tiszteletére kapta; de a lány már elég korán a középső nevet részesítette előnyben, bár a hivatalos dokumentumokban Amalia Emmy vagy Emmy Amalia [17] [18] [19] [20] néven szerepel . Emmy bájos gyerek volt, intelligencia és barátságos volt. Egyiküknek sem volt rövidlátása , és gyerekkorában kicsit nyüzsögött. Évekkel később egy családi barát elmesélte, hogy a fiatal Noether egy gyerekbulin könnyedén megtalálta a megoldást egy rejtvényre, és már ilyen korán megmutatta logikai érzékét.[ pontosítás ] [21] . Noether gyerekkorában zongoraleckéket vett , míg a legtöbb fiatal lány főzni és takarítani tanult. De nem érzett szenvedélyt az ilyen típusú tevékenységek iránt, de szeretett táncolni [22] [23] .

Egyiknek sem volt három öccse. A legidősebb, Alfred 1883-ban született, és 1909-ben doktorált kémiából az Erlangeni Egyetemen. 9 év után meghalt. Fritz Noether , 1884-ben született, müncheni tanulmányait követően lett sikeres az alkalmazott matematikában . 1941. szeptember 8-án Orel közelében lelőtték . 1889-ben született egy öccse, Gustav Robert, akinek életéről nagyon keveset tudunk; krónikus betegségben szenvedett és 1928-ban halt meg [24] [25] .

Noether magánélete nem jött össze. Az el nem ismerés, a száműzetés, a magány egy idegen országban, úgy tűnik, el kellett volna rontania jellemét. Ennek ellenére szinte mindig nyugodtnak és jóindulatúnak tűnt. Hermann Weil azt írta, hogy még boldog is.

Tanulás és tanítás

Erlangeni Egyetem

Senki sem tanult meg könnyen franciául és angolul. 1900 tavaszán sikeres tanári vizsgát tett ezekből a nyelvekből, és összességében "nagyon jó" minősítést kapott. Noether végzettsége lehetővé tette számára, hogy nyelveket tanítson leányiskolákban, de úgy döntött, hogy továbbtanul az Erlangeni Egyetemen .

Bölcs döntés volt. Két évvel korábban az egyetem Akadémiai Tanácsa bejelentette, hogy az együttnevelés [en] bevezetése " fogja rombolni a tudományos alapokat" [26] . Az egyetemen 986 hallgatóból mindössze két lány tanult, egyikük Noether. Ugyanakkor csak vizsgajog nélkül látogathatott előadásokat , emellett szüksége volt azoknak a professzoroknak az engedélyére, akiknek előadásain részt akart venni. Ezen akadályok ellenére 1903. július 14-én sikeres záróvizsgát tett a nürnbergi reálgimnáziumban [27] [26] [28] .

1903–1904 téli szemeszterében Noether a Göttingeni Egyetemen tanult , ahol Karl Schwarzschild csillagász, valamint Hermann Minkowski , Otto Blumenthal , Felix Klein és David Hilbert matematikusok előadásaira hallgatott . Hamarosan feloldották a nők oktatására vonatkozó korlátozásokat ezen az egyetemen.

Noether visszatért Erlangenbe, és 1904. október 24-én hivatalosan visszahelyezték az egyetemre. Bejelentette, hogy kizárólag matematikát szeretne tanulni. Paul Gordan irányításával Noether 1907-re disszertációt írt a hármas bikvadratikus formák invariánsainak teljes rendszerének felépítéséről. Bár a művet jól fogadták, Noether később "szemétnek" nevezte [29] [30] [31] .

A következő hét évben (1908-1915) ingyenesen tanított az Erlangeni Egyetem Matematikai Intézetében , néha helyettesítve apját, amikor egészségi állapota lehetetlenné tette az előadást.

Gordan 1910 tavaszán nyugdíjba vonult, de alkalmanként továbbra is tanított utódjával, Erhard Schmidttel , aki röviddel ezután Wrocławba költözött . Gordan végül 1911-ben, helyére Ernst Fischer érkezésével befejezte tanári pályafutását, és 1912 decemberében meghalt.

Hermann Weyl szerint Fischer jelentős hatással volt Noetherre, különösen azáltal, hogy megismertette őt David Hilbert munkásságával . 1913 és 1916 között Noether számos közleményt publikált, amelyek Hilbert módszereit általánosították és alkalmazták matematikai objektumok, például racionális függvénymezők és véges csoportinvariánsok tanulmányozására . Ez az időszak jelzi az absztrakt algebrával kapcsolatos munkásságának kezdetét, a matematika azon területét, amelyben forradalmi felfedezéseket fog tenni.

Noether és Fischer igazán élvezték a matematikát, és gyakran megbeszélték az előadásokat azok befejezése után. Ismeretes, hogy Noether képeslapokat küldött Fischernek, amelyek megmutatják, hogyan működik tovább a matematikai gondolkodása [32] [33] [34] .

Göttingeni Egyetem

1915 tavaszán Noether meghívást kapott David Hilberttől és Felix Kleintől, hogy térjen vissza a Göttingeni Egyetemre . Vágyukat azonban megakadályozták a filozófiai kar filológusai és történészei , akik úgy vélték, hogy egy nő nem lehet Privatdozent. Az egyik tanár tiltakozott: "Mit fognak gondolni a katonáink, amikor visszatérnek az egyetemre, és rájönnek, hogy egy nő lábánál kell tanulniuk?" [35] [36] [37] Hilbert felháborodottan válaszolt, és kijelentette: "Nem értem, hogy egy jelölt neme miért lehet érv az ellen, hogy megválasztsák Privatdozentnek . Hiszen ez egyetem, nem férfifürdő! [35] [36] [37] .

Noether április végén indult Göttingenbe; két héttel később édesanyja hirtelen meghalt Erlangenben . Korábban orvosokhoz fordult a szemével kapcsolatban, de a betegség természete és a halállal való összefüggése ismeretlen maradt. Körülbelül ugyanebben az időben Noether apja nyugdíjba vonult, bátyja pedig beállt a német hadseregbe, hogy harcoljon az első világháborúban . Noether néhány hétre visszatért Erlangenbe, hogy vigyázzon öregedő apjára .

Göttingenben tanító korai éveiben Noether nem kapott fizetést a munkájáért, és nem volt hivatalos pozíciója; családja fizette a szállást és az étkezést, és ez lehetővé tette az egyetemi munkát. Azt hitték, hogy az előadások Hilbert előadásai voltak, és Noether az asszisztenseként működött.

Nem sokkal azután, hogy megérkezett Göttingenbe, Noether bebizonyította képességeit egy, ma Noether -tételként ismert tétel bizonyításával , amely valamilyen megmaradási törvényt kapcsolt egy fizikai rendszer minden differenciálható szimmetriájához [37] [39] . Leon M. Lederman és Christopher T. Hill amerikai fizikusok „Szimmetria és a szép világegyetem” című könyvükben azt írják, hogy Noether tétele „minden bizonnyal az egyik legfontosabb matematikai tétel, amelyet a modern fizikában használnak, talán egy szinten van a Pitagorasz -tétellel tétel " [40] .

Az első világháborút az 1918-1919-es német forradalom követte , amely jelentős változásokat hozott a társadalmi kapcsolatokban, beleértve a nők jogainak kiterjesztését. 1919-ben a göttingeni egyetemen Noether habilitációs eljáráson ment keresztül, hogy állandó állást kapjon. Noether szóbeli vizsgája május végén volt, júniusban sikeresen megvédte doktori disszertációját.

Három évvel később Noether levelet kapott a porosz tudományos, művészeti és közoktatási minisztertől, amelyben korlátozott belső adminisztratív jogokkal és funkciókkal rendelkező professzori címet kapott [41] . Bár munkája fontosságát elismerték, Noether továbbra is ingyen dolgozott. Egy évvel később a helyzet megváltozott, és kinevezték a Lehrbeauftragte für Algebra ("algebra oktató") pozíciójába [42] [43] [44] .

Alapvető munkák az absztrakt algebra területén

Bár Noether tétele mély hatást gyakorolt ​​a fizikára, a matematikusok elsősorban az általános algebrához való óriási hozzájárulása miatt emlékeznek rá . Noether dolgozatgyűjteményének előszavában Nathan Jacobson azt írja, hogy "az általános algebra fejlesztése, amely a huszadik század egyik legfigyelemreméltóbb újításává vált a matematikában, nagyrészt Noether érdeme - publikált dolgozatai, előadásai , személyes befolyása a kortársakra” [45] .

Noether 1920-ban kezdte úttörő munkáját az algebrával kapcsolatban, amikor Schmeidlerrel közös cikket adott ki, amelyben meghatározták a bal és a jobb gyűrű ideálját . A következő évben publikált egy tanulmányt Idealtheorie in Ringbereichen ("Az ideálok elmélete a gyűrűkben") címmel, amelyben elemezte az ideálok felszálló láncainak áttörési feltételeit . Irving Kaplansky algebraista "forradalminak" nevezte ezt a művet [46] . A cikk megjelenése után megjelent a " Noether-gyűrűk " fogalma, és néhány más matematikai objektumot is " Noether -nek " [46] [47] [48] kezdtek nevezni .

1924-ben a fiatal holland matematikus, Barthel van der Waerden megérkezett a Göttingeni Egyetemre. Azonnal dolgozni kezdett Noetherrel. Van der Waerden később azt mondta, hogy eredetisége "teljesen felülmúlhatatlan" [49] . 1931-ben kiadta a „Modern algebra” című tankönyvet; tankönyve második kötetének megírásakor sokat kölcsönzött Noether munkájából. Bár Noether nem kért elismerést szolgálataiért, a hetedik kiadásban van der Waerden egy megjegyzéssel egészítette ki, hogy könyve "részben E. Artin és E. Noether előadásain alapul" [50] [51] . Ismeretes, hogy Noether számos ötletét először kollégái és tanítványai publikálták [52] [53] [19] . Hermann Weil írta:

Van der Waerden Modern algebra ( most egyszerűen Algebra ) második kötetének tartalmának nagy része Emmy Noethernek köszönhető.

Van der Waerden látogatása egyike volt a matematikusoknak a világ minden tájáról érkező nagyszámú látogatásának Göttingenben, amely a matematikai és fizikai kutatások fő központjává vált. 1926 és 1930 között Pavel Szergejevics Alekszandrov orosz topológus tartott előadásokat az egyetemen; ő és Noether gyorsan jó barátok lettek. Megpróbált professzori állást szerezni Göttingenben, de csak a Rockefeller Alapítvány ösztöndíját tudta megoldani [54] [55] . Rendszeresen találkoztak, és szívesen beszélgettek az algebra és a topológia összefüggéseiről. 1935-ben Alekszandrov a tudós emlékének szentelt beszédében Emmy Noethert "minden idők legnagyobb női matematikusának" [56] nevezte .

Előadások és hallgatók

Göttingenben a Noether több mint egy tucat posztgraduális hallgatót képezett ki; az első diplomás Greta Herman volt , aki 1925 februárjában fejezte be disszertációját. Később tisztelettel Noethert "anyadolgozatoknak" nevezte. Noether felügyelte Max Duering , Hans Fitting és Zeng Ching Jie munkáját is. Szorosan együttműködött Wolfgang Krull -lal is, aki jelentős mértékben hozzájárult a kommutatív algebra fejlesztéséhez , bizonyítva a fő ideális tételt , és kidolgozta a kommutatív gyűrűk dimenzióelméletét [57] .

Matematikai belátása mellett Noethert tisztelték mások iránti figyelméért. Bár néha durván viselkedett azokkal, akik nem értettek egyet vele, kedves és türelmes volt az új hallgatókkal szemben. A matematikai pontosságra való törekvése miatt egyik kollégája „súlyos kritikusnak” nevezte Noethert. Ugyanakkor az emberek iránti gondoskodó attitűd is együtt élt benne [58] . Egy kolléga később így jellemezte: „Egyáltalán nem önző vagy beképzelt, semmit sem tett önmagáért, tanítványai munkáját helyezte mindenek fölé” [59] .

Eleinte szerény életmódja annak volt köszönhető, hogy munkáját nem fizették ki. Azonban még azután is, hogy 1923-ban az egyetem csekély fizetést kezdett neki fizetni, továbbra is egyszerű és takarékos életmódot folytatott. Később a munkájáért bőkezűbb javadalmazást kezdett kapni, de fizetése felét félretette, hogy azt később unokaöccsére, Gottfried E. Noetherre hagyja [60] .

Noether nem sokat törődött megjelenésével és modorával, az életrajzírók azt sugallják, hogy teljesen a tudományra összpontosított. A kiváló algebraista , Olga Todd egy vacsorát írt le, amely során Noether, teljesen elmerülve a matematika vitájában, "őrülten gesztikulált, állandóan kiöntötte az ételt, és a ruhájával törölgette" [61] .

Van der Waerden gyászjelentése szerint Noether nem követte az óravázlatot előadásaiban, ami néhány diákot felzaklatott. Ehelyett az előadások idejét spontán beszélgetésekre használta a diákokkal, hogy átgondolja és tisztázza a matematika élvonalában lévő fontos kérdéseket. Munkájának néhány legfontosabb eredménye ezekből az előadásokból származott, és hallgatói jegyzetei képezték az alapját van der Waerden és Duering tankönyveinek. Ismeretes, hogy egyik sem tartott legalább öt félévi kurzust Göttingenben [62] :

Ezek a kurzusok gyakran megelőzték az ezeken a területeken megjelent jelentősebb publikációkat.

Noether gyorsan beszélt, ami nagy figyelmet igényelt a diákoktól. Azok a hallgatók, akiknek nem tetszett a stílusa, gyakran elidegenedettnek érezték magukat [63] [64] . Néhány diák észrevette, hogy túlságosan hajlamos a spontán beszélgetésekre. A legodaadóbb hallgatók azonban csodálták azt a lelkesedést, amellyel matematikát mutatott be, különösen akkor, ha előadásai az ezekkel a diákokkal korábban végzett munkán alapultak.

Noether a tantárgy és a hallgatói iránti elkötelezettségét bizonyította azzal, hogy az előadások után tovább tanulta őket. Egy napon, amikor az egyetem épülete nemzeti ünnep miatt bezárt, összegyűjtötte a hallgatókat a verandán, átvezette őket az erdőn, és előadást tartott egy helyi kávézóban . Miután a nemzetiszocialista kormány 1933-ban hatalomra került, Noethert elbocsátották az egyetemről. Meghívta a diákokat a házába, hogy megvitassák a matematika jövőbeli terveit és kérdéseit [66] .

Moszkva

1928–29 telén Noether elfogadta a felkérést, hogy a Moszkvai Állami Egyetemen dolgozzon , ahol továbbra is Pavel Szergejevics Aleksandrovval dolgozott. A kutatások mellett Noether absztrakt algebrát és algebrai geometriát tanított . Dolgozott Lev Szemjonovics Pontrjaginnal és Nyikolaj Grigorjevics Csebotarevvel is, akik később a Galois-elmélet kidolgozásához való hozzájárulásáért is elismerték [67] [68] [56] .

A politika nem volt központi Noether életében, de nagy érdeklődést mutatott az 1917-es forradalom iránt. Úgy vélte, hogy a bolsevikok hatalomra jutása hozzájárult a matematika fejlődéséhez a Szovjetunióban. A Szovjetunióhoz való hozzáállása problémákhoz vezetett Németországban: ezt követően kilakoltatták a panzió épületéből, miután a hallgatók vezetői azt mondták, hogy nem akarnak egy fedél alatt élni egy "marxista beállítottságú zsidóval" [ 56] .

Noether nem tervezte, hogy visszatér Moszkvába, ahol támogatást kapott Alexandrovtól. Miután 1933-ban távozott Németországból, megpróbált katedrát szerezni neki a Moszkvai Állami Egyetemen. Bár ezek az erőfeszítések nem jártak sikerrel, Noether és Alekszandrov levelet folytattak Moszkvába költözésének lehetőségéről [56] . Ugyanakkor testvére, Fritz, miután elveszítette állását Németországban, állást kapott a tomszki Matematikai és Mechanikai Kutatóintézetben [69] [70] .

Elismerés

1932-ben Noether tanítványával , Emil Artinnal együtt megkapta az Ackermann-Töbner-díjat matematikai eredményekért [71] . A díj 500 birodalmi márka volt készpénzben , és hivatalos elismerése (bár hosszú késéssel) az e területen végzett jelentős munkájának. Munkatársai azonban csalódottságukat fejezték ki amiatt, hogy Noethert nem választották be a Göttingeni Tudományos Akadémiára, és soha nem nevezték ki professzori posztra [72] [73] .

Noether kollégái 1932-ben a matematikusokra jellemző stílusban ünnepelték ötvenedik születésnapját. Helmut Hasse egy cikket szentelt neki a Mathematische Annalen folyóiratban , amelyben a nem kommutatív reciprocitás törvényének [74] bizonyításával megerősítette gyanúját, miszerint a nem kommutatív algebra egyes aspektusai egyszerűbbek, mint a kommutatív algebrában . Hihetetlenül tetszett neki. Adott neki egy matematikai rejtvényt is – egy szótagok rejtvényét, amit azonnal megfejtett [72] [73] .

Ugyanezen év novemberében Noether a zürichi Matematikusok Nemzetközi Kongresszusának plenáris ülésén felszólalt a „hiperkomplex rendszerekről és a kommutatív algebrával való kapcsolataikról” szóló jelentésével. A kongresszuson 800-an vettek részt, köztük Noether kollégái, Hermann Weyl, Edmund Landau és Wolfgang Krull. A kongresszuson 420 hivatalos résztvevő és 21 plenáris jelentés hangzott el. Noether első előadása a matematikához való hozzájárulása fontosságának elismerése volt. Az 1932-es kongresszuson való részvételt néha Noether karrierje csúcspontjának tekintik [75] [76] .

Száműzetés Göttingenből

Miután Hitler 1933-ban hatalomra került Németországban , a nácik tevékenysége drámaian megnövekedett az egész országban. A göttingeni egyetemen a zsidó professzorokkal szemben ellenséges légkör uralkodott . Egy fiatal tüntető kijelentette: "Az árja diákok árja matematikát akarnak tanulni, nem zsidót" [77] .

A hitleri adminisztráció egyik első lépése a „hivatásos közszolgálat helyreállításáról szóló törvény” elfogadása volt, amelynek értelmében a zsidókat elbocsátották közalkalmazotti tisztségükből, ha „nem bizonyították hűségüket az új hatalomhoz”. Németországban." 1933 áprilisában Noether értesítést kapott a Porosz Tudományos, Művészeti és Oktatási Minisztériumtól, amelyben megtiltották a göttingeni egyetemi tanítástól. Noether több kollégáját, köztük Max Bornt és Richard Courantot is felfüggesztették [78] [79] . Ezt a döntést egyik sem vette nyugodtan. A matematikára összpontosított, összegyűjtötte a diákokat a lakásában, és megbeszélte velük az osztályterep elméletét . Amikor az egyik tanítványa náci egyenruhában jelent meg, semmi jelét nem mutatta, és állítólag utána még nevetett is [80] [79] .

Bryn Mawr

Amikor több tucat munkanélküli professzor kezdett Németországon kívül munkát keresni, amerikai kollégáik erőfeszítéseket tettek, hogy segítséget nyújtsanak és munkahelyeket teremtsenek számukra. Így például Albert Einstein és Hermann Weyl a Princeton - i Institute for Advanced Study -ban kapott állást . Noether fontolóra vette, hogy két oktatási intézményben dolgozik: az Egyesült Államokban a Bryn Mawr College -ban és az angliai Oxfordi Egyetem Somerville College-jában. A Rockefeller Alapítvánnyal folytatott tárgyalások sorozata után Noether támogatást kapott a Bryn Mawrnál, és 1933 végétől kezdett ott dolgozni [81] [82] .

A Bryn Mawrban Noether megismerkedett Anna Wheelerrel, aki Göttingenben tanult, mielőtt Noether megérkezett volna, és összebarátkozott vele. Noether másik főiskolai támogatója volt Bryn Mawr elnök, Marion Edwards. Noether tanulók egy kis csoportjával dolgozott van der Waerden I. modern algebráján és Erich Hecke algebrai számelméletének [83] első fejezetein .

1934-ben Noether előadásokat kezdett a Princeton-i Institute for Advanced Study-ban. Albert Michelsonnal és Harry Vandiverrel is dolgozott [84] . A Princeton Egyetemről azonban megjegyezte, hogy nem fogadták jól ezen a "férfi egyetemen, ahol nincs semmi nő" [85] .

1934 nyarán Noether rövid időre visszatért Németországba, hogy lássa Emil Artint és testvérét, Fritz -et . Bár sok egykori kollégája kénytelen volt elhagyni a német egyetemeket, még mindig lehetősége volt "külföldi tudósként" használni a könyvtárat [86] [87] .

Halál

1935 áprilisában az orvosok rákot diagnosztizáltak Noethernél. Ugyanebben az évben, 53 évesen, röviddel a műtét után meghalt.

Az egyik orvos ezt írta:

Nehéz megmondani, mi történt Noetherrel. Lehetséges, hogy ez valami szokatlan és veszélyes fertőzés egy formája volt, amely az agynak azt a részét érintette, ahol a hőközpontok helyezkedtek el [88] .

Néhány nappal Noether halála után barátai és társai kis megemlékezést tartottak a Bryn Mawr College elnökének otthonában. Hermann Weil és Richard Brouwer Princetonból érkezett, és sokat beszélgettek Wheelerrel és Olga Todddal elhunyt kollégájukról.

Emmy Noether holttestét elhamvasztották, hamvait pedig a bryn mawri Cary Thomas Könyvtár falai alá temették .

P. S. Alexandrov akadémikus ezt írta [90] :

Ha a matematika fejlődése manapság kétségtelenül az algebraizáció, az algebrai fogalmak és algebrai módszerek behatolása a legkülönfélébb matematikai elméletek jegyében zajlik, akkor ez csak Emmy Noether munkái után vált lehetségessé.

A. Einstein a haláláról szóló feljegyzésében Noethert a matematika legnagyobb alkotó géniuszainak tulajdonította [91] .

Hozzájárulások a matematikához és a fizikához

A matematikusok számára mindenekelőtt Noethernek az absztrakt algebra és topológia területén végzett munkája fontos . A fizikusok nagy figyelmet fordítanak Noether tételére . Munkássága nagyban hozzájárult az elméleti fizika és a dinamikus rendszerek elméletének fejlődéséhez . Noether hajlamos volt az absztrakt gondolkodásra, ami lehetővé tette számára, hogy matematikai problémákat új és eredeti módszerekkel oldjon meg [92] [32] . Noether barátja és kollégája, Hermann Weyl három időszakra osztotta tudományos munkáját: [93]

  1. relatív függőség időszaka, 1907-1919;
  2. tanulmányok az általános ideálelmélet köré csoportosítva , 1920-1926;
  3. a nem kommutatív algebra tanulmányozása és alkalmazása a kommutatív számmezők tanulmányozására és aritmetikájára, 1927-1935.

Az első időszakban (1907-1919) Noether elsősorban differenciális és algebrai invariánsokkal dolgozott . Matematikai látóköre kitágult, és munkája elvontabbá vált, amit David Hilbert munkáinak való kitettsége befolyásolt.

A második időszakot (1920-1926) a gyűrűk matematikai elméletének kidolgozásának szentelték [94] .

A harmadik időszakban (1927-1935) Noether a nem kommutatív algebra, a lineáris transzformációk és a számmezők tanulmányozására összpontosította figyelmét [95] .

Történelmi kontextus

1832-től Noether 1935-ös haláláig a matematika algebrának nevezett területe mélyreható változásokon ment keresztül. A matematikusok a korábbi évszázadokban gyakorlati módszereken dolgoztak bizonyos típusú egyenletek, például köbegyenletek megoldására, valamint a szabályos sokszögek iránytű és egyenes él segítségével történő felépítésének problémájára . Kezdve Carl Friedrich Gauss munkájával , aki 1832-ben bebizonyította, hogy az olyan prímszámok, mint például az öt, beszámíthatók Gauss-egészek szorzatába [96] , Evariste Galois 1832-ben vezette be a permutációs csoport fogalmát (aminek köszönhetően halála, munkája csak 1846-ban jelent meg Liouville gondozásában ), William Rowan Hamilton 1843-ban felfedezte a kvaterniókat , és 1854-ben megjelent az Arthur Cayley által javasolt absztrakt csoport koncepciója, a kutatás az elvontabb tulajdonságok meghatározására fordult. és általános rendszerek. Noether ennek az új, absztrakt algebrának nevezett terület kifejlesztésével tette a legfontosabb hozzájárulását a matematika fejlődéséhez [97] .

Absztrakt algebra és begriffliche Mathematik (fogalmi matematika)

Az absztrakt algebra alapvető tárgyai a csoportok és a gyűrűk.

Egy csoport elemek halmazából és egy bináris műveletből áll, amely ennek a halmaznak minden egyes rendezett elempárjára egy harmadik elemet képez le. A műveletnek meg kell felelnie bizonyos megkötéseknek – rendelkeznie kell az asszociativitási tulajdonsággal, és kell lennie egy semleges elemnek is , és minden elemhez kell lennie egy inverz elemnek .

A gyűrű ehhez hasonlóan sok elemet tartalmaz, de most két művelet van definiálva rajta - összeadás és szorzás. Egy gyűrűt kommutatívnak nevezünk, ha a szorzás művelete kommutatív (általában az asszociativitására és az egység létezésére is utalnak). Azt a gyűrűt, amelyben van egy azonossági elem, és minden nullától eltérő elemnek van egy inverz eleme a szorzás szempontjából (vagyis egy x elem , amelyre ax \ u003d xa \u003d 1), testnek nevezzük. A mezőt kommutatív testként határozzuk meg.

A csoportokat gyakran reprezentációikon keresztül tanulják meg . A legáltalánosabb esetben egy G csoport reprezentációja  egy tetszőleges halmaz a G csoport akciójával ezen a halmazon. Általában egy halmaz egy vektortér , és egy csoport reprezentálja ennek a térnek a szimmetriáit. Például létezik egy csoport térelforgatás valamely fix ponthoz képest. A forgás a tér szimmetriája, mert maga a tér nem változik elforgatva, még akkor sem, ha a benne lévő tárgyak helyzete megváltozik. Noether hasonló szimmetriákat használt a fizika invariánsaival foglalkozó munkájában.

A gyűrűk megismerésének hatékony módja a felettük lévő modulok segítségével. A gyűrű feletti modul egy halmazból áll, amely általában különbözik a gyűrű elemeinek halmazától, és amelyet modulelemek halmazának neveznek, egy bináris művelet a modulelemek halmazán, és egy művelet, amely egy gyűrűelemet és egy modulelemet vesz fel. és egy modulelemet ad vissza. A modul fogalma analóg a gyűrűk esetében alkalmazott reprezentáció fogalmával: ha elfelejtjük a szorzás műveletét egy gyűrűben, egy csoport reprezentációját rendeli hozzá a gyűrű feletti modulhoz. A modulok valódi előnye, hogy a különböző modulokat egy adott gyűrűn és azok kölcsönhatásait tanulmányozva feltárjuk a gyűrű szerkezetét, amely nem látható, ha magát a gyűrűt nézzük. Ennek a szerkezetnek egy fontos speciális esete az algebra . (Az "algebra" szó egyszerre jelenti a matematika egy ágát és az egyik vizsgálati tárgyat ebben a részben.) Az algebra két gyűrűből és egy műveletből áll, amely mindegyik gyűrűből vesz egy elemet, és visszaadja a második gyűrű egy elemét, így a második csengessen egy modult az első fölé. Gyakran az első gyűrű egy mező.

Az olyan szavak, mint az "elem" és a "bináris művelet", nagyon általánosak, és sok konkrét és elvont helyzetben használhatók. Az objektumok bármely halmaza, amely kielégíti egy (vagy két) rajta meghatározott művelet összes axiómáját, egy csoport (vagy gyűrű), és engedelmeskedik a csoportokra (vagy gyűrűkre) vonatkozó összes tételnek. Az egész számok és az összeadás és szorzás műveletei csak egy példa. Például az elemek lehetnek gépi szavak , az első bináris művelet a „kizárólagos vagy”, a második pedig egy kötőszó. Az absztrakt algebra-tételek erősek, mert sok rendszert írnak le. Noether tehetsége az volt, hogy meghatározza azon tulajdonságok maximális halmazát, amelyek egy adott halmaz következményei, és fordítva, hogy meghatározza az adott megfigyelésekért felelős tulajdonságok minimális halmazát. A legtöbb matematikussal ellentétben Noether nem az ismert példák általánosításával szerzett absztrakciót; hanem közvetlenül az absztrakciókkal dolgozott. Van der Waerden egy gyászjelentésben emlékezett rá [98] :

Az Emmy Noether által munkája során végig követett maxima a következőképpen fogalmazható meg: a számok, függvények és műveletek közötti bármilyen kapcsolat csak akkor válik átláthatóvá, általánosíthatóvá és produktívvá, ha elválasztják bármely konkrét objektumtól és univerzálisan érvényes fogalmakká redukálják.

Eredeti szöveg  (angol)[ showelrejt] A számok, függvények és műveletek közötti bármilyen kapcsolat csak akkor válik átláthatóvá, általánosan alkalmazhatóvá és teljes mértékben produktívvá, ha elkülönül az adott objektumtól, és univerzálisan érvényes fogalmakként fogalmazódik meg.

Ez a Noetherre jellemző tisztán fogalmi matematika ( begriffliche Mathematik ). Ezt az irányt más matematikusok is választották, különösen azok, akik akkoriban az absztrakt algebrát tanulmányozták.

Egész számok és gyűrűk

Az egész számok kommutatív gyűrűt alkotnak az összeadás és szorzás műveleteihez képest . Bármely egész számpár összeadható vagy szorozható, ami valamilyen harmadik számot eredményez. Az összeadási művelet kommutatív , azaz az a + b = b + a gyűrű bármely a és b elemére . A második művelet, a szorzás is kommutatív, de ez nem igaz minden gyűrűre. A nem kommutatív gyűrűkre példák a mátrixok és a kvaterniók . Az egész számok nem alkotnak testet, mert az egész számok szorzásának művelete nem mindig reverzibilis – például nincs olyan egész szám , amelyre 3 ×  a = 1.

Az egész számok további tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek nem vonatkoznak minden kommutatív gyűrűre. Fontos példa erre az aritmetika alaptétele , amely szerint bármely pozitív egész szám felbontható prímszámok szorzatára , méghozzá egyedi módon. Gyűrűkre nem mindig létezik ilyen felbontás, de Noether bebizonyította a sok gyűrűre vonatkozó ideálok faktorizálásának létezéséről és egyediségéről szóló tételt , amelyet ma Lasker–Noether-tételnek neveznek . Noether munkájának jelentős része az összes gyűrűre érvényes tulajdonságok meghatározásából , az egész számokra vonatkozó tételek analógjainak megtalálásából, valamint a feltételezések minimális halmazának megtalálásából állt, hogy bizonyos tulajdonságokat levonjunk belőlük.

Első időszak (1908–1919)

Az algebrai invariánsok elmélete

Emmy Noether tudományos pályafutása első szakaszában végzett munkáinak nagy része az invariánselmélethez , főként az algebrai invariánsok elméletéhez kapcsolódott. Az invariáns elmélet azokat a kifejezéseket vizsgálja, amelyek változatlanok (invariánsak) maradnak a transzformációk valamely csoportja tekintetében . Példa a mindennapi életből: ha elforgatunk egy fém vonalzót, akkor a végeinek ( x 1 , y 1 , z 1 ) és ( x 2 , y 2 , z 2 ) koordinátái megváltoznak, de az L képlettel meghatározott hosszúság 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 változatlan marad. Az invariánsok elmélete a 19. század végén aktív kutatási terület volt Felix Klein beszédének, az úgynevezett Erlangen-programnak a hatására , amely szerint a különböző geometriákat a bennük lévő transzformációs invariánsokkal kell jellemezni, mint pl. Például a kettős arány a projektív geometriában . Az invariáns klasszikus példája az Ax 2 + Bxy + Cy 2 bináris másodfokú alak B 2 − 4 AC diszkriminánsa . A diszkriminánst invariánsnak nevezzük, mert nem változik x → ax + , y → cx + dy lineáris permutáció esetén ad − bc = 1 determinánssal . Ezek a permutációk alkotják az SL 2 speciális lineáris csoportot . Általánosságban tekinthetjük az A 0 x r y 0 + … + A r x 0 y r homogén polinomok magasabb fokú invariánsait, amelyek polinomok az A 0 , …, A r együtthatókban . És még általánosabban, tekinthetünk homogén polinomokra kettőnél több változóval.

Az algebrai invariánsok elméletének egyik fő feladata a „véges bázisprobléma” megoldása volt. Bármely két invariáns összege vagy szorzata invariáns, és a véges bázisprobléma azt kérdezi, hogy meg lehet-e szerezni az összes invariánst, kezdve az invariánsok véges listájával, úgynevezett generátorokkal , ha az összeadás és szorzás műveleteit alkalmazzuk rájuk. Például a diszkrimináns véges (egy elemből álló) bázist ad a bináris másodfokú formák invariánsainak . Paul Gordan , Noether felügyelője az "invariáns elmélet királyaként" volt ismert, és fő hozzájárulása a matematikához a homogén polinomok invariánsainak véges bázisproblémájának megoldása volt két változóban [100] . Ezt bebizonyította azzal, hogy konstruktív módszert kínált az összes invariáns és generátoraik megtalálására, de ezt a megközelítést nem tudta használni három vagy több változós invariánsokra. 1890-ben David Hilbert hasonló állítást bizonyított a homogén polinomok invariánsaira tetszőleges számú változóban [101] [102] . Sőt, módszere nemcsak a speciális lineáris csoportra, hanem annak egyes alcsoportjaira is bevált, például a speciális ortogonális csoportra [102] . Első bizonyítása nem adott módot a generátorok megkonstruálására, de a későbbi munkák során konstruktívabbá tette módszerét. Disszertációjában Neter kiterjesztette Gordan számítási bizonyítását három vagy több változós homogén polinomokra. Noether konstruktív megközelítése lehetővé tette az invariánsok közötti kapcsolatok vizsgálatát. Később, ahogy az elvontabb módszerek felé fordult, Noether a disszertációját Ködnek ( "szemét") és Formelngestrüppnek ("egyenletek dzsungele") nevezte el.

Galois elmélet

A Galois-elmélet olyan számmezők transzformációit vizsgálja, amelyek átrendezik valamely egyenlet gyökereit. Tekintsünk egy n fokú x változóban lévő polinomot , amelynek együtthatói valamilyen mögöttes mezőhöz tartoznak – például valós számok , racionális számok vagy maradékok mezőjéhez modulo 7. Ebben a mezőben lehet olyan x érték, amely nullává teszi a polinomot. . Az ilyen értékeket, ha léteznek, gyökérnek nevezzük . Például az x 2 + 1 polinomnak nincs gyökere a valós számok mezőjében, mivel x bármely értéke nagyobb vagy egyenlő egynél. Ha azonban a mezőt kibontjuk , akkor bármelyik polinomnak kezdődhet gyöke, és ha a mezőt eléggé kiterjesztjük, akkor n gyöke lesz. Folytatva az előző példát, ha a mezőt komplex számokra bővítjük , akkor a polinomnak két gyöke lesz, i és −i , ahol i  az imaginárius egység , azaz i  2 = −1 .

A polinom Galois-csoportja a dekompozíciós mező minden olyan transzformációjának gyűjteménye, amely megőrzi az alapmezőt. Az x 2 + 1 polinom Galois-csoportja két elemből áll: az azonosságleképezésből , amely minden komplex számot önmagára képez le, és a komplex konjugációból, amely i -t - i -re képez . Mivel a Galois-csoport megőrzi a talajmezőt, a polinom együtthatói változatlanok maradnak, így a gyökhalmaz sem változik. Ennek a polinomnak a gyöke azonban mehet a másik gyökére, így a transzformáció n gyökből álló permutációt határoz meg egymás között. A Galois-csoport jelentősége a Galois-elmélet alaptételéből következik , amely szerint a főmező és a dekompozíciós mező között elhelyezkedő mezők egy az egyben megfelelnek a Galois-csoport alcsoportjainak.

1918-ban Noether alapvető tanulmányt adott ki a Galois-elmélet inverz problémájáról [103] . Ahelyett, hogy egy adott mezőhöz és annak kiterjesztéséhez definiált volna egy Galois-csoportot, Noether megkérdezte, hogy mindig lehet-e találni egy adott mezőnek olyan kiterjesztését, amelynél az adott csoport Galois-csoportként szerepel. Megmutatta, hogy ez a probléma az úgynevezett "Noether problémára" redukálódik: igaz-e, hogy az S n csoport G alcsoportjához képest rögzített elemmező a k mezőre hat ( x 1 , ... , x n ) mindig tisztán transzcendentális térkiterjesztés k . (E problémát először egy 1913-as cikkében említi [104] , és munkatársának, Fishernek tulajdonítja.) Noether kimutatta, hogy ez az állítás igaz n = 2 , 3 vagy 4-re. 1969-ben R. Swan talált egy ellenpéldát a Nem probléma, ahol n = 47 és G  egy 47-es rendű ciklikus csoport [105] (bár ez a csoport más módon is megvalósítható Galois-csoportként a racionális számok mezején). A Galois-elmélet inverz problémája megoldatlan marad [106] .

Fizika

Noether 1915-ben érkezett Göttingenbe David Hilbert és Felix Klein kérésére, akik az invariánselmélet ismeretei iránt érdeklődtek, hogy segítsenek nekik megérteni az általános relativitáselméletet  , a gravitáció geometriai elméletét nagyrészt Albert dolgozta ki. Einstein . Hilbert észrevette, hogy az általános relativitáselméletben megsérteni látszik az energiamegmaradás törvénye , mivel a gravitációs energia maga is gravitációs forrásként szolgálhat. Noether megoldást talált erre a paradoxonra Noether első tételével , amelyet 1915-ben bebizonyított, de csak 1918-ban publikálták [107] . Nemcsak ezt a problémát oldotta meg az általános relativitáselméletben, hanem meghatározta a megmaradt mennyiségeket minden olyan fizikai törvényrendszerhez, amelynek valamilyen folytonos szimmetriája volt .

Miután megkapta munkáját, Einstein ezt írta Hilbertnek [108] :

Tegnap kaptam egy nagyon érdekes cikket Mrs. Noethertől az invariánsok felépítéséről. Lenyűgözött, hogy az ilyen dolgokat ilyen általános nézőpontból is lehet tekinteni. Nem ártana a régi göttingeni gárdának, ha Madame Noetherhez küldenék kiképzésre. Úgy tűnik, jól tudja a dolgát.

– Kimberling, 1981 , p. 13

Szemléltetésképpen, ha egy fizikai rendszer ugyanúgy viselkedik, függetlenül attól, hogy a térben hogyan van orientálva, akkor az azt irányító fizikai törvények forgásszimmetrikusak; ebből a szimmetriából Noether tétele szerint az következik, hogy a rendszer forgási nyomatékának állandónak kell lennie [109] . Előfordulhat, hogy maga a fizikai rendszer nem szimmetrikus; Az űrben forgó csipkézett aszteroidák aszimmetriájuk ellenére megtartják szögimpulzusukat . Inkább a rendszert szabályozó fizikai törvények szimmetriája a felelős a megmaradási törvényekért . Egy másik példa, ha egy fizikai kísérlet bárhol és bármikor ugyanazt az eredményt adja, akkor a törvényei szimmetrikusak a tér és az idő folyamatos eltolódása esetén ; Noether tétele szerint ezeknek a szimmetriáknak a meglétéből következik a lendület és az energia megmaradásának törvénye ezen a rendszeren belül, ill. Noether tétele a megmaradási törvények elméleti megértésének köszönhetően a modern elméleti fizika egyik fő eszközévé, valamint a számítások gyakorlati eszközévé vált.

Második időszak (1920–1926)

Bár Noether munkásságának első periódusának eredményei lenyűgözőek voltak, matematikuskénti hírneve nagyrészt a második és harmadik időszakban végzett munkáján nyugszik, amint azt Hermann Weyl és Barthel Warden is megjegyezte a róla szóló gyászjelentéseikben.

Ekkor már nemcsak a korábbi matematikusok ötleteit és módszereit alkalmazta, hanem új matematikai definíciós rendszereket dolgozott ki, amelyeket a jövőben is alkalmazni fognak. Konkrétan egy teljesen új elméletet dolgozott ki a gyűrűk ideáljairól Dedekind korábbi munkájának általánosításával . Arról is híres, hogy kifejlesztette a felszálló lánclezáró feltételt, egy egyszerű végességi feltételt, amellyel erőteljes eredményeket tudott elérni. Az ilyen feltételek és az ideális elmélet lehetővé tették, hogy Noether általánosítson sok múltbeli eredményt, és új pillantást vethessen a régi problémákra, például a kizáráselméletre és az apja által tanulmányozott algebrai variációkra .

Növekvő és csökkenő láncok

Munkásságának ebben az időszakában Noether arról vált híressé, hogy ügyesen alkalmazta a feltételeket a felszálló és leszálló láncok megszüntetésére. Az S halmaz A 1 , A 2 , A 3 ... nem üres részhalmazainak sorozatát növekvőnek nevezzük, feltéve, hogy mindegyik a következő részhalmaza.

Ezzel szemben az S részhalmazainak sorozatát csökkenőnek nevezzük, ha mindegyik tartalmazza a következő részhalmazt:

A sorozat véges számú lépés után stabilizálódik, ha létezik n úgy, hogy minden m ≥ n esetén . Egy adott halmaz részhalmaza teljesíti a növekvő láncok megszakításának feltételét, ha bármely növekvő sorozat véges számú lépés után állandóvá válik. Ha bármely csökkenő sorozat véges számú lépés után állandóvá válik, akkor a részhalmazok teljesítik a csökkenő láncfeltételt.

A felszálló és ereszkedő láncok megszakításának feltételei általánosak - abban az értelemben, hogy sokféle matematikai objektumra alkalmazhatók -, és első pillantásra nem tűnnek túl hatékony eszköznek. Noether bemutatta, hogyan lehet az ilyen feltételeket maximálisan kihasználni: például hogyan lehet megmutatni, hogy az alobjektumok minden halmazának van egy maximális vagy minimális eleme, vagy hogy egy összetett objektum kevesebb szülőelemből építhető fel. Ezek a következtetések gyakran a bizonyítások legfontosabb lépései.

Az absztrakt algebrában sokféle objektum teljesítheti a láncvégi feltételeket, és általában, ha teljesítik a növekvő láncvégi feltételt, akkor Noether-nek nevezzük őket. Definíció szerint a Noether-gyűrű kielégíti az ideálok felemelkedő láncainak megszakítási feltételét. A Noether-csoport olyan csoport, amelyben az alcsoportok minden szigorúan növekvő lánca véges. A Noether-modul egy olyan modul, amelyben az egyes növekvő részmodulok sorozata véges számú lépés után állandóvá válik. A Noether-tér  egy topologikus tér , amelyben a nyílt terek minden növekvő sorozata véges számú lépés után állandóvá válik; ez a meghatározás a Noether-gyűrű spektrumát Noether-féle topológiai térré teszi.

A törési feltételeket gyakran "öröklik" az alobjektumok. Például egy noetheri tér összes altere noetheri; a Noether-csoport minden alcsoportja és faktorcsoportja szintén noetheri; ugyanez igaz egy Noether-modul almoduljaira és faktormoduljaira is . A Noether-gyűrű minden faktorgyűrűje noetheri, de ez nem feltétlenül igaz az algyűrűkre. A törési feltételeket egy Noether-objektum kombinációi vagy kiterjesztése is örökölheti. Például a Noether-gyűrűk véges direkt összegei noetheriek, akárcsak a Noether- gyűrű feletti formális hatványsorok gyűrűje.

A lánclezáró feltételek másik alkalmazása a Noether-indukció , amely a matematikai indukció általánosítása. A Noether-indukciót gyakran használják arra, hogy egy objektumgyűjteményre vonatkozó utasítást a gyűjteményben lévő konkrét objektumokra vonatkozó utasításokká redukálják. Tegyük fel, hogy S egy részben rendezett halmaz. Az S - ből származó tárgyakra vonatkozó állítás bizonyításának egyik módja az, hogy feltételezzük egy ellenpélda létezését, és ellentmondást kapunk. A Noether-indukció alapfeltevése az, hogy S minden nem üres részhalmaza tartalmaz egy minimális elemet; különösen az összes ellenpélda halmaza tartalmaz egy minimális elemet. Ezután az eredeti állítás bizonyításához elegendő annak bizonyítása, hogy bármely ellenpéldára van egy kisebb ellenpélda.

Kommutatív gyűrűk, ideálok és modulok

Noether 1921 -es „The Theory of Ideals in Rings” [110] című cikke kidolgozta a kommutatív gyűrűk általános elméletének alapjait, és megadta a kommutatív gyűrűk egyik első általános definícióját [111] . Korábban a kommutatív algebrában sok eredmény a kommutatív gyűrűkre korlátozódott, például polinomiális gyűrűkre egy mező felett vagy algebrai egész számok gyűrűire . Noether bebizonyította, hogy egy olyan gyűrűben, amelynek ideáljai kielégítik a felszálló láncfeltételt, minden ideál végesen generálódik. 1943-ban Claude Chevalley francia matematikus megalkotta a " Noetherian ring " kifejezést ennek a tulajdonságnak a leírására [111] . Noether 1921-es cikkének fő eredménye a Lasker–Noether-tétel , amely általánosítja Lasker tételét az ideálok polinomiális gyűrűkben történő elsődleges dekompozíciójáról. A Lasker-Noether tétel az aritmetika alaptételének általánosításaként tekinthető, amely kimondja, hogy bármely pozitív egész szám ábrázolható prímszámok szorzataként, és ez az ábrázolás egyedi.

Noether algebrai számmezők ideálelméletének absztrakt felépítéséről szóló munkája (1927) [112] olyan gyűrűket jellemez, amelyekben az ideálok egyedileg bomlanak fel elsődleges ideálokra, mint Dedekind-gyűrűkre  , 0 vagy 1-es dimenziójú Noether-féle integráltan zárt gyűrűkre. tartalmazza azt a tényt, hogy jelenleg izomorfizmusnak nevezett tételeket írnak le, amelyek néhány alapvető természetes izomorfizmust írnak le , valamint néhány egyéb eredményt a Noether- és Artin-modulokra.

Kizáráselmélet

1923-1924-ben Noether a kirekesztés elméletére alkalmazta ideális elméletét – a tanítványának, Kurt Hentzeltnek tulajdonított megfogalmazásban –, megmutatva, hogy a polinomok kiterjesztésére vonatkozó alapvető tételek közvetlenül általánosíthatók. Hagyományosan az eliminációs elmélet egy vagy több változó eliminálását veszi figyelembe egy polinomiális egyenletrendszerből, általában az eredő módszerrel . Szemléltetésképpen egy egyenletrendszert gyakran úgy írhatunk le, hogy " egy M mátrix (amely nem tartalmazza az x változót ) és egy v oszlopvektor (amelynek összetevői x -től függ ) szorzata egyenlő a nulla vektorral ". Ezért az M mátrix determinánsának nullának kell lennie, ami lehetővé teszi, hogy egy új egyenletet kapjunk, amely nem függ az x változótól .

A véges csoportok invariánsainak elmélete

Hilbert módszerei a véges bázisprobléma nem konstruktív megoldásai voltak, és nem használhatók kvantitatív információk megszerzésére az algebrai invariánsokról, ráadásul nem voltak alkalmazhatók minden csoportműveletre. 1915 -ös cikkében [113] Noether megoldást talált a véges bázisproblémára egy véges G csoportra , amely egy véges dimenziós vektortérre hat karakterisztikus nulla mező felett. Megoldása azt mutatja, hogy az invariánsok gyűrűjét olyan homogén invariánsok állítják elő, amelyek foka nem haladja meg a csoport sorrendjét; ezt nevezik Noether-határnak . Dolgozata két bizonyítékot szolgáltat a Noether-határ létezésére, mindkettő akkor is működik, ha a talajmező karakterisztikája megegyezik a( a G csoport sorrendjének faktoriálisa ). A generátorok számát nem feltétlenül a csoport sorrendjében becsüljük meg abban az esetben, ha a mező karakterisztikája oszt | G | [114] , de Noether nem tudta eldönteni, hogy ez a becslés alkalmazható-e abban az esetben, ha a mező karakterisztikája osztódik , de nem. 2000-ben Martin Fleischman és 2001-ben Brian Fogarty bebizonyította, hogy a Noether-határ ebben az esetben is érvényes [115] [116] .

1926-os cikkében [117] Noether kiterjesztette Hilbert tételét arra az esetre, amikor egy mező karakterisztikája osztja a csoport sorrendjét. Ezt a tételt később kiterjesztették egy tetszőleges reduktív csoport esetére William Habosh [ Mumford sejtésének [118] bizonyításával . Ebben a cikkben Noether bebizonyította a Noether-féle normalizációs lemmát is, amely azt mondja, hogy egy k mező felett végesen generált A integritástartomány tartalmaz algebrailag független x1, …, x 1 , ... , x n elemeket úgy, hogy A teljes vége. k [ x 1 , ... , x n ] .

Hozzájárulások a topológiához

Hermann Weyl és P. S. Alexandrov gyászjelentéseikben rámutatnak arra, hogy Noether hozzájárulása a topológiához illusztrálja azt a nagylelkűséget, amellyel ötleteket osztott meg, valamint azt, hogy meglátásai a matematika egész területeit átalakíthatták. A topológiában a matematikusok olyan objektumok tulajdonságait vizsgálják, amelyek deformáció esetén változatlanok maradnak, például a tér összekapcsolhatóságát . Viccesen mondják, hogy a topológus nem tudja megkülönböztetni a fánkot a bögrétől, hiszen azok folyamatosan egymásba deformálódhatnak.

Noether nevéhez fűződik az algebrai topológia kialakulásához hozzájáruló alapvető gondolatok szerzője , nevezetesen a homológiacsoportok gondolata [119] . 1926 és 1927 nyarán Noether részt vett Hopf és Alexandrov topológiai kurzusain, ahol "folyamatosan tett megjegyzéseket, gyakran mély és finom" [120] . Aleksandrov írta:

Amikor előadásainkon először megismerkedett a kombinatorikus topológia szisztematikus felépítésével, azonnal észrevette, hogy célszerű közvetlenül egy adott poliéder algebrai komplexeinek és ciklusainak csoportjait, illetve a ciklusok csoportját, a ciklusok egy homológ alcsoportját tekinteni. nulla; A Betti-számok szokásos definíciója helyett azt javasolta, hogy a Betti-csoportot azonnal a nullával homológ ciklusok alcsoportja feletti összes ciklus csoportjának komplementer csoportjaként (faktorcsoportjaként) határozzák meg. Ez a megjegyzés ma már magától értetődőnek tűnik. De azokban az években (1925-28) ez teljesen új nézőpont volt […]

- P. S. Alekszandrov [121]

Noether javaslatát, miszerint a topológiát algebrai módszerekkel kell tanulmányozni, Hopf, Alexandrov és más matematikusok azonnal elfogadták [121] , és gyakori vitatéma lett a göttingeni matematikusok körében . Noether megjegyezte, hogy a Betti-csoport fogalmának szisztematikus használata egyszerűvé és átláthatóvá teszi az általános Euler-Poincaré-formula bizonyítását, és Hopf e témával foglalkozó munkája [122] „maga viseli ezen Emmy Noether-megjegyzések bélyegét” [123] ] .

Harmadik időszak (1927–1935)

Hiperkomplex számok és reprezentációelmélet

A 19. században és a 20. század elején sok munka folyt a hiperkomplex számokkal és a csoportábrázolásokkal kapcsolatban, de továbbra is heterogének. Noether ezeket az eredményeket egyesítette, és megalkotta az első általános elméletet a csoportok és algebrák ábrázolásáról [124] . Röviden, Noether az asszociatív algebrák szerkezeti elméletét és a csoportreprezentációk elméletét egyesítette a felszálló láncfeltételt kielégítő gyűrűk moduljainak és ideáljainak egyetlen aritmetikai elméletévé . Noethernek ez a munkája alapvető fontosságú volt a modern algebra fejlődése szempontjából [125] .

Nem kommutatív algebra

Noether számos egyéb fejlesztésért is felelős volt az algebra területén. Emil Artinnal , Richard Brouwerrel és Helmut Hasse -val megalkotta a központi egyszerű algebrák elméletét [126] .

Noether, Helmut Hasse és Richard Brouwer tanulmányukban az osztási algebrákat vizsgálta [127] . Bebizonyítottak két fontos tételt: azt a tételt, miszerint ha egy véges központi osztásalgebra egy számmező felett lokálisan hasad mindenhol, akkor globálisan hasad (és ezért triviális), és az ebből következő "főtételt": minden véges dimenziós centrális. osztásalgebra az F algebrai számmező felett egy ciklikus körkiterjesztésen hasít . Ezek a tételek lehetővé teszik az összes véges dimenziós osztási algebra osztályozását egy adott számmezőn.

Értékelés és elismerés

Noether munkái továbbra is relevánsak az elméleti fizika és a matematika fejlődése szempontjából. A huszadik század egyik legnagyobb matematikusa. Barthel van der Waerden holland matematikus gyászjelentésében azt írta, hogy Noether matematikai eredetisége "teljesen páratlan" [128] , Hermann Weyl pedig azt mondta, hogy Noether "művével megváltoztatta az algebra arculatát" [13] . Élete során és a mai napig sokan Noethert tartják a történelem legnagyobb női matematikusának [129] [7] , köztük Pavel Alexandrov [130] , Hermann Weyl [131] és Jean Dieudonné [132] .

1935. január 2-án, néhány hónappal a halála előtt Norbert Wiener matematikus azt írta, hogy [133]

Miss Noether […] a legnagyobb női matematikus, aki valaha élt […], és legalább Madame Curie -val egyenrangú tudós .

Eredeti szöveg  (angol)[ showelrejt] Miss Noether... a valaha élt legnagyobb matematikus nő; és a jelenleg élő legnagyobb tudós nő, és legalábbis Madame Curie repülőgépének tudósa.

Az 1964-es Modern Matematikai Világkiállításon Noether volt az egyetlen női képviselő a modern világ fontos matematikusai között [134] .

Noethert számos emlékművel tüntették ki:

  • A Női Matematikusok Szövetsége évente Noether-előadást hozott létre a női matematikusok tiszteletére; Az egyesület úgy jellemzi Noethert, mint „korának egyik nagy matematikusát; Noether nem dolgozott és küzdött azért, amit szeretett és amiben hitt .
  • A Siegeni Egyetem matematika és fizika tanszékei az "Emmy Noether Campuson" [136] találhatók .
  • A Német Kutatási Alapítvány „ Deutsche Research Society ” létrehozta az Emmy Noether-ösztöndíjat, amely finanszírozást biztosít ígéretes fiatal tudósok számára további kutatási és oktatási gyakorlatukhoz [137] .
  • Noether szülővárosában, Erlangenben egy utcát neveztek el róla és apjáról, Max Noetherről .
  • Az erlangeni középiskola az Emmy Noether School nevet kapta [132] .
  • Az Institute for Theoretical Physics (Kanada) évente ítéli oda az Emmy Noether-díjat kiemelkedő [138] elméleti fizikusnőknek. Az intézet területén található az Emmy Noether Tanács [138] .
  • 1970-ben a Nemzetközi Csillagászati ​​Unió az Emmy Noether nevet adta egy kráternek a Hold túlsó oldalán .

Doktoranduszok névsora

dátum Tanuló név A szakdolgozat címe és fordítása orosz nyelvre egyetemi Megjelenés dátuma
1911.12.16 Falkenberg, Hans Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
Nemlineáris differenciálegyenletek megoldásainak elágazása §
Erlangen Lipcse 1912
1916.03.04 Seidelman, Fritz Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich
Köbös és másodfokú egyenlet, amely a racionalitás bármely területére hatással van
Erlangen Erlangen 1916
1925.02.25 német, Greta Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt
A polinomideálelmélet véges számú lépésének kérdése Kurt Henselt tételével §
Göttingen Berlin 1926
1926.07.14 Grell, Heinrich Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe
A különböző gyűrűk ideáljai közötti kapcsolatok §
Göttingen Berlin 1927
1927 Dorota, Wilhelm Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff
A csoport általánosított fogalmáról §.
Göttingen Berlin 1927
védelem előtt halt meg Holzer, Rudolf Zur Theorie der primären Ringe
A prímgyűrűk elméletéről §
Göttingen Berlin 1927
1929.06.12 Weber, Werner Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen
Tetszőleges természetes számok másodfokú formák szerinti ábrázolásának ideális elméleti értelmezése §
Göttingen Berlin 1930
1929.06.26 Levitsky, Yaakov Über vollständig redusible Ringe und Unterringe
Teljesen szűkíthető gyűrűkön és algyűrűkön §
Göttingen Berlin 1931
1930.06.18 közben, Max Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen
Az algebrai függvények aritmetikai elméletéről §
Göttingen Berlin 1932
1931.07.29 Szerelvény, Hans Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen
Az Abel-csoportok gyűrűjének automorfizmusának elméletéről és analógjairól a nem kommutatív csoportokra §
Göttingen Berlin 1933
1933.07.27 Witt, Ernest Riemann-Rochscher Satz és Zeta-Funktion im Hypercomplexen
A Riemann-Roch tétel és a hiperkomplex számok zéta-függvénye §
Göttingen Berlin 1934
1933.12.06 Ching Ze Zeng Algebren über Funktionenkorpern
Algebrák függvénymezők felett §
Göttingen Göttingen 1934
1934 Schilling, Ottó Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper
A hiperkomplex számrendszerek aritmetikája és az algebrai számmezők közötti néhány összefüggésről §
Marburg Brunswick 1935
1935 Stauffer, Ruth Normál bázis kiépítése elválasztható terepbővítésben Bryn Mawr Baltimore 1936
1935 Forbeck, Werner Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme
Egyszerű rendszerek dekompozíciói, amelyek nem Galois-mezők §
Göttingen
1936 Wichmann, Wolfgang Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen
A p -adikus elmélet alkalmazása nem kommutatív algebrában §
Göttingen Monthly Mathematics and Physics (1936) 44 , 203-24.

Azonos nevű matematikai témák

Főbb munkák

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 3 Encyclopædia Britannica 
  2. ↑ 1 2 MacTutor Matematikatörténeti archívum
  3. ↑ Emmy Noether // FemBio : Figyelemre méltó nők adatbankja
  4. ↑ Noether Emmy // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / szerk. A. M. Prohorov – 3. kiadás. - M .: Szovjet Enciklopédia , 1974. - T. 17: Morshin - Nikish. - S. 523.
  5. ↑ https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math
  6. ↑ 1 2 http://cwp.library.ucla.edu/Phase2/[email protected]
  7. ↑ 1 2 Alexandrov, 1936 , p. 255.
  8. ↑ A KÉSŐ EMMI NEM.; Einstein professzor egy matematikustárs elismerésével ír. . Letöltve: 2021. május 24. Az eredetiből archiválva : 2021. május 24.
  9. ↑ Hermann Weyl beszéde Emmy Noether temetésén . Letöltve: 2021. május 24. Az eredetiből archiválva : 2021. május 24.
  10. ↑ Lev Szemjonovics Pontrjagin matematikus életrajza, amelyet saját maga állított össze. RÉSZ II. Egyetemi. . Letöltve: 2012. szeptember 8. Az eredetiből archiválva : 2012. február 6..
  11. ↑ Weyl, 1935
  12. ↑ Lederman & Hill, 2004 , p. 73
  13. ↑ 12. Dick , 1981 , p. 128
  14. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 3–5.
  15. ↑ Autumn, 1974 , p. 142.
  16. ↑ Dick, 1981 , pp. 7–9.
  17. ↑ Noether kézzel írt összefoglalója .
  18. ↑ MacTutor .
  19. ↑ 1 2 Emmy Noether archiválva 2019. április 17-én a Wayback Machine -nél // Encyclopædia Britannica Online
  20. ↑ Matematika. Mechanika, 1983 .
  21. ↑ Dick, 1981 , pp. 9–10.
  22. ↑ Autumn, 1974 , p. 142.
  23. ↑ Dick, 1981 , pp. 10–11.
  24. ↑ Dick, 1981 , pp. 25, 45.
  25. ↑ Kimberling, 1981 , p. 5.
  26. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 8–10.
  27. ↑ Dick, 1981 , pp. 11–12.
  28. ↑ Lederman & Hill, 2004 , p. 71
  29. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 10–11.
  30. ↑ Dick, 1981 , pp. 13–17.
  31. ↑ Lederman & Hill, 2004 , p. 71
  32. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 11–12.
  33. ↑ Dick, 1981 , pp. 18–24.
  34. ↑ Autumn, 1974 , p. 143.
  35. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , p. tizennégy.
  36. ↑ 12. Dick , 1981 , p. 32.
  37. ↑ 1 2 3 Autumn, 1974 , pp. 144–45.
  38. ↑ Dick, 1981 , pp. 24–26.
  39. ↑ Lederman & Hill, 2004 , p. 72
  40. ↑ Lederman & Hill, 2004 , p. 73
  41. ↑ Dick, 1981 , p. 188.
  42. ↑ Kimberling, 1981 , p. 14–18.
  43. ↑ Autumn, 1974 , p. 145.
  44. ↑ Dick, 1981 , p. 33–34.
  45. ↑ Noether, 1983 .
  46. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , p. tizennyolc.
  47. ↑ Dick, 1981 , pp. 44–45.
  48. ↑ Autumn, 1974 , pp. 145–46.
  49. ↑ van der Waerden, 1985 , p. 100.
  50. ↑ Dick, 1981 , pp. 57–58.
  51. ↑ Kimberling, 1981 , p. 19.
  52. ↑ Lederman & Hill, 2004 , p. 74
  53. ↑ Autumn, 1974 , p. 148.
  54. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 24–25.
  55. ↑ Dick, 1981 , pp. 61–63.
  56. ↑ 1 2 3 4 Alekszandrov, 1936 .
  57. ↑ Dick, 1981 , pp. 53–57.
  58. ↑ Dick, 1981 , pp. 37–49.
  59. ↑ van der Waerden, 1985 , p. 98.
  60. ↑ Dick, 1981 , pp. 46–48.
  61. ↑ Taussky, 1981 , p. 80.
  62. ↑ Scharlau, W. "Emmy Noether hozzájárulásai az algebrák elméletéhez" Teicher, 1999 , p. 49.
  63. ↑ Mac Lane, 1981 , p. 77.
  64. ↑ Dick, 1981 , p. 37.
  65. ↑ Mac Lane, 1981 , p. 71.
  66. ↑ Dick, 1981 , p. 76.
  67. ↑ Dick, 1981 , pp. 63–64.
  68. ↑ Kimberling, 1981 , p. 26.
  69. ↑ Autumn, 1974 , p. 150.
  70. ↑ Dick, 1981 , pp. 82–83.
  71. ↑ Emmy Amalie Noether . UK: St And.. Letöltve: 2008. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2019. május 11.
  72. ↑ 12. Dick , 1981 , pp. 72–73.
  73. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 26–27.
  74. ↑ Hasse, Helmut (1933), Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper , Mathematische Annalen T. 107: 731–760, doi : 10.1007/BF01448916- , < ublingu.de.de . /index.php?id=11&PPN=GDZPPN002276062&L=1 > . Letöltve: 2015. november 16. Archiválva : 2016. március 5. a Wayback Machine -nél . 
  75. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 26–27.
  76. ↑ Dick, 1981 , pp. 74–75.
  77. ↑ Kimberling, 1981 , p. 29
  78. ↑ Dick, 1981 , pp. 75–76.
  79. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 28–29.
  80. ↑ Dick, 1981 , pp. 75–76.
  81. ↑ Dick, 1981 , pp. 78–79.
  82. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 30–31.
  83. ↑ Dick, 1981 , pp. 80–81.
  84. ↑ Dick, 1981 , pp. 81–82.
  85. ↑ Dick, 1981 , p. 81.
  86. ↑ Dick, 1981 , p. 82.
  87. ↑ Kimberling, 1981 , p. 34.
  88. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 37–38.
  89. ↑ Kimberling, 1981 , p. 39.
  90. ↑ Alexandrov P. S. Emmy Noether emlékére, „Advances in the Mathematical Sciences”, 1936, 1. sz. II.
  91. ↑ Einstein, A. Emmy Noether emlékére // Tudományos közlemények gyűjteménye négy kötetben. - M . : Nauka, 1967. - T. IV. - S. 198-199. — 600 s. - (A tudomány klasszikusai).
  92. ↑ Autumn, 1974 , pp. 148–49.
  93. ↑ Weyl, 1935 : "Eredeti szöveg  (angol)[ showelrejt] Emmy Noether tudományos munkája három jól elkülöníthető korszakra esett:

    (1) a relatív függőség időszaka, 1907–1919;
    (2) az általános ideálelmélet köré csoportosuló vizsgálatok 1920–1926;

    (3) a nem kommutatív algebrák tanulmányozása, lineáris transzformációkkal való ábrázolása, valamint alkalmazása kommutatív számmezők és aritmetikája tanulmányozására. ".
  94. ↑ Gilmer, 1981 , p. 131.
  95. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 10–23.
  96. ↑ C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. szoc. Reg. sci. Göttingen 7 (1832) 1-34; újranyomtatva: Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-148.
  97. ↑ Noether, 1987 , p. 168.
  98. ↑ Dick, 1981 , p. 101.
  99. ↑ Noether, 1908 .
  100. ↑ Noether, 1914 , p. tizenegy.
  101. ↑ Weyl, Hermann (1944), David Hilbert és matematikai munkája , Bulletin of the American Mathematical Society , 50. kötet (9): 612–654 , DOI 10.1090/S0002-9904-1944-08178-0 
  102. ↑ 1 2 Hilbert, David (1890. december), Ueber die Theorie der algebraischen Formen , Mathematische Annalen vol. 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , < unidz- goettening. http://unidz.sgoetten. de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0036&DMDID=DMDLOG_0045&L=1 > . Letöltve: 2015. november 16. Archiválva : 2014. szeptember 3. a Wayback Machine -nél 
  103. ↑ Noether, 1918 .
  104. ↑ Noether, 1913 .
  105. ↑ Swan, Richard G (1969), Invariant rational functions and a problem of Steenrod , Inventiones Mathematicae 7 (2): 148–158 , DOI 10.1007/BF01389798 
  106. ↑ Malle, Gunter és Matzat, Bernd Heinrich (1999), Inverse Galois elmélet , Springer-monográfiák a matematikában, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62890-3 
  107. ↑ Noether, 1918b
  108. ↑ Hypatiától Emmy Noetherig .
  109. ↑ Lederman & Hill, 2004 , pp. 97–116.
  110. ↑ Noether, 1921 .
  111. ↑ 12 Gilmer , 1981 , p. 133.
  112. ↑ Noether, 1927 .
  113. ↑ Noether, 1915 .
  114. ↑ Fleischmann, 2000 , p. 24.
  115. ↑ Fleischmann, 2000 , p. 25.
  116. ↑ Fogarty, 2001 , p. 5.
  117. ↑ Noether, 1926 .
  118. ↑ Haboush, WJ (1975), A reduktív csoportok geometriailag reduktívak , Annals of Mathematics 102(1): 67–83 , DOI 10.2307/1970974 
  119. ↑ Hilton, Peter (1988), A homológia és a homotópiaelmélet rövid, szubjektív története ebben a században, Mathematics Magazine 60. kötet (5): 282–91. 
  120. ↑ Dick, 1981 , p. 173.
  121. ↑ 12. Dick , 1981 , p. 174.
  122. ↑ Hopf, Heinz (1928), Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch - Physikalische Klasse 2. kötet : 127–36 
  123. ↑ Dick, 1981 , pp. 174–75.
  124. ↑ Noether, 1929 .
  125. ↑ van der Waerden, 1985 , p. 244.
  126. ↑ Lam, 1981 , pp. 152–53.
  127. ↑ Brauer, Hasse & Noether, 1932 .
  128. ↑ Dick, 1981 , p. 100.
  129. ↑ Autumn, 1974 , p. 152.
  130. ↑ Dick, 1981 , pp. 154.
  131. ↑ Dick, 1981 , pp. 152.
  132. ↑ 12 Noether , 1987 , p. 167.
  133. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 35.
  134. ↑ Duchin, Moon (2004. december), The Sexual Politics of Genius , University of Chicago , < http://www.math.lsa.umich.edu/~mduchin/UCD/111/readings/genius.pdf > . Letöltve: 2011. március 23. Archiválva : 2011. július 18. a Wayback Machine -nél (Noether születésnapja). 
  135. ↑ Bevezetés , Profiles of Women in Mathematics , The Emmy Noether Lectures, Association for Women in Mathematics , 2005 Archivált 2011. május 23-án a Wayback Machine -nél . 
  136. ↑ Emmy-Noether-Campus , DE : Universität Siegen , < http://www.uni-siegen.de/uni/campus/wegweiser/emmy.html > . Letöltve: 2008. április 13. Archiválva : 2009. október 8. a Wayback Machine -nél . 
  137. ↑ "Emmy Noether Program: Röviden"  (a hivatkozás nem elérhető) . Kutatási finanszírozás . Deutsche Forschungsgemeinschaft . Letöltve: 2008. szeptember 5.
  138. ↑ 1 2 Emmy Noether látogatási ösztöndíjak http://www.perimeterinstitute.ca/emmy-noether-visiting-fellowships Archiválva : 2017. október 29. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Tematikus oldalak
Szótárak és enciklopédiák
Genealógia és nekropolisz